Bonjour,
Voici ma question: dans un anneau non factoriel, existe-il une méthode systématique pour trouver les différentes décompositions en facteurs irréductibles ? (Rappel : la non factorialité implique que certains éléments ont plusieurs décompositions en irréductibles)
Je prends cet exemple dans Z[iV5]: Comment puis-je trouver tous les facteurs irréductibles de a = 2(1-2iV5) ?
Une méthode que j'ai essayée : J'utilise l'application "conjugaison" N: Z[iV5] -> Z, N(x+yiV5) = x²+5y². J'ai alors N(a).N(b) = N(ab) d'où :
2-4iV5 = (x+yiV5)(x'+y'iV5), x,y,x',y' inconnues (x' et y' jouant un rôle symétrique vis à vis de x et y).
En prenant l'application N:
2².3.7 = (x²+5y²)(x'²+5y'²).
Là il y a tellement de possibilités que je coince...
Je peux écrire par exemple :
x² mod 5 € {2,4,3,7 mod 5} ...?
On doit pouvoir trouver en "tatonnant" mais je voudrais une méthode systématique qui marche dans tous les anneaux non factoriels.
La réponse à cet exemple est les irréductibles 2, 1+iV5, 1-2iV5, 3+iV5, comme on peut le vérifier à postériori, mais comment trouver cette réponse sans tatonner ?
Merci à ceux qui auront une réponse.
-----