Un DL

[inviteda3529a9]

Bonjours.
Pourriez vous m'aider à calculer le développement limité de :
arccos[sqrt(x/tan(x))] en 0 au rang 3
En effet, on vient de faire les DL et je ne connais pas celui de arccos.
Merci d'avance
A très bientôt.
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[albanxiii]

Bonjour,

Si vous connaissez la dérivée de arccos et le DL de cette dérivée, vous pouvez vous en sortir en l'intégrant. Sinon, Google donne tout cela.

[Tiky]

Bonjour,

Votre énoncé doit contenir une erreur. Votre fonction n'est pas dérivable en 0. Elle ne peut pas avoir un développement limité d'ordre 1 et donc d'ordre 3.

Pour le développement limité de arccos. Il suffit d'utiliser sa forme intégrale et le fait que l'on peut intégrer les développements limités.

http://www.wolframalpha.com/input/?i...x%29%29%29%2Fx

[breukin]

Non, il n'y a pas d'erreur.
Si est voisin de 0, est voisin de 1 par valeurs inférieures, donc idem pour la racine. Donc on doit chercher un où est voisin de 0 et positif, et qui est de l'ordre de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Et bien sûr, le DL de la racine ne va avoir que des termes de puissances paires.

[breukin]

Donc au premier ordre, on a , obtenu par le fait que
A l'ordre suivant, on cherche , ce qui conduit, en ne prenant que les termes d'ordre 2 en , à :

d'où l'on déduit
En fait l'analyse ultérieure montre que c'est suffisant : .

Maintenant, que vaut : on va voir qu'il n'est composé que de termes en puissances paires de . Ceci explique pourquoi il n'est pas besoin d'aller plus loin ci-dessus.
Mais pour avoir tous les termes d'ordre 3, comme un terme va être extrait de la racine , il faut obtenir en fonction de à l'ordre 4.

On a donc :




Donc :


Et finalement

[Tiky]

Alors comment expliquer le fait que n'admet pas de limite en 0 mais une limite à gauche et à droite différentes ?

[Tiky]

D'ailleurs votre développement est faux et ça se voit simplement en remarquant que pour x voisin de 0, la fonction est positive. Or ce n'est pas le cas de votre développement limité.

[breukin]

Effectivement, ce n'est un "DL" que pour les valeurs positives.
Il n'en reste pas moins que la formule ainsi corrigée est rigoureusement exacte :


Et c'était évidemment l'intérêt de l'exercice que de savoir manipuler les calculs afin d'obtenir une expression approchée à un certain ordre, et non pas un piège sur la définition...

[Tiky]

Je n'ai pas remis en cause la suite .

[breukin]

avec 4/45 comme dans le message précédent, erreur de copié-collé.

[inviteda3529a9]

merci beaucoup de vos réponses mais je n'ai pas très bien comprit le passage avec "a".
Pourriez vous me l'expliquer svp ?
Et bien sur, joyeux noel a tous ...

[breukin]

Le DL de montre qu'il est de la forme , où est voisin de 0 quand est voisin de 0. Plus précisément, on trouve :

Donc si on sait trouver une approximation de pour les petits , on saura trouver une approximation de pour les petits , simplement en remplaçant par son DL.

On cherche donc une approximation de pour les petits . Comme , on recherche donc sous la forme d'un petit nombre (car l' est positif).
On doit donc avoir . Or au premier ordre, pour les petits , . Il faut donc que , d'où au premier ordre, , c'est-à-dire est équivalent à .
On cherche donc ensuite une précision sur cet équivalent, en recherchant, à l'ordre suivant (rigoureusement, on ne sait pas encore que le terme correctif est linéaire en , mais si ce n'est pas le cas, le calcul suivant conduirait à une impossibilité). En passant au cosinus, on doit donc avoir au second ordre en :
,
et en ne prenant que les termes d'ordre 2 en : , soit .
Donc finalement :
Il ne reste plus qu'à évaluer en fonction de , en prenant garde à son signe, qui fait que stricto sensu, le résultat n'est pas un DL. L'expression qui a un DL en 0, c'est , prolongé par 0 en 0.