exercice les mesures

[invitea9634717]

1) On veut montrer qu'on definit une relation d'equivalence sur [0,1]
en decretant que x y si et seulement si x-y Q

2) la famille de les classes d'equivalences pour
la relation .
Pour chaque i I, on choisit un point
et on pose
V est une partie de [0,1] qui rencontre chaque classe d'equivalence
en exactement 1 point.

a) une enumeration injective de l'ensemble
des rationnels de [-1,1]

Montrer que


b) Montrer que les ensembles sont deux a deux disjoints

voila :

1)
réflexivité :
x-x = 0 Q
Donc xx

symetrique :
xy => x-y Q
=> -(x-y) Q
=> -x+y Q
=> yx
Donc xy => yx

transitivite :
xy => x-y Q
yz => y-z Q
x-z = (x-y)+(y+z) Q => x-z Q
Donc xy et yz => xz

2) a)
J'ai :
Q
donc x-y

Donc

je ne sais pas comment proceder pour montrer :

et montrer 2) b)

Merci a l'avance de votre aide
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[gg0]

Bonsoir.

Ok pour le début. par contre :
donc x-y
est manifestement faux. par exemple, si on a x=0,1, et que le x_i choisi dans la classe de x est 0,5 (donc y=0,5), x-y=0,4. Par contre, 0,1 s'écrit de façon évidente sous la forme x_i+r_n puisque -0,4 est un des r_n.

Pour l'inclusion dans [0;2] les éléments de V sont entre 0 et 1 et on leur ajoute un nombre entre -1 et 1.

Pour la question b, une preuve par contraposition (ou par l'absurde) est facile. Suppose que .

Cordialement.

[invitea9634717]

Sur mon brouillon j'avais mis :

.....

....;

[invitea9634717]

Je me suis trompé, voila ce que j'avais sur mon brouillon :


donc x-y

Donc

[A voir en vidéo sur Futura]