Re : edp

**mona123** · 08/02/2015, 12h49

bonjour j'ai une question que je trouve difficile a resoudre .pouvez vous m'aider s'il vous plait
Considérons une équation de la chaleur homogène sur une vraie ligne:
u_t - u_xx = 0 x ∈ R, t> 0, (P DE)
u (x, 0) = g (x), x ∈R.
Rappelons que la solution de ce problème est ainsi libellé:
u (x, t) = ∫^∞_-∞Φ (x - y, t) g (y) dy (S)
où
Φ (x, t) = (1 / _{(√ (4πt)}) exp (-x² / 4t)
est un noyau de la chaleur.
Supposons que g est fonction non-négative uniformément bornée continue ayant une propriété g> 0 sur (a, b)
et g = 0 sinon. ici -∞ <a<b <∞.
Montrer que pour chaque t> 0 que
u (x, t) ≤C min { 1, 1 / √t}, pour certains 0 <C <∞

azizovsky · 08/02/2015, 15h48

Salut, j'ai une idée mais ???, d'après tes donnés $\text{[math]}$ si tu pose $\text{[math]}$ la formule précédente s'écrit $\text{[math]}$ , on remarque que $\text{[math]}$ (2 fois l'intégrale de laplace....)
que l'on multiplie terme à terme par g(x) et l'on retranche de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

d'où $\text{[math]}$

vu les conditions sur $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

azizovsky · 08/02/2015, 16h31

une autre idée plus simple ,on'a $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$

et d'après $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
et l'integrale 'double' de laplace $\text{[math]}$

**mona123** · 09/02/2015, 15h52

merci azizovsky mais mon problem est de savoir comment majoré la solution par c*1 / √t peut quelqu'un m'aider .merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Tryss** · 09/02/2015, 16h06

Envoyé par mona123

merci azizovsky mais mon problem est de savoir comment majoré la solution par c*1 / √t peut quelqu'un m'aider .merci

Pour montrer que $\text{[math]}$ , c'est assez simple en fait :

Par définition de g, $\text{[math]}$

Puis, comme g uniformément bornée et >0, $\text{[math]}$

Et à partir de là, $\text{[math]}$

L'exponentielle étant plus petite que 1, il sort tout de suite $\text{[math]}$

**mona123** · 09/02/2015, 16h14

bonjour Tryss merci pour ton aide
d'aprés ce que vous avez ecrit on a c=M(b-a)/√(4π) mais on est besoin d'avoir u (x, t) ≤C min { 1, 1 / √t} donc comment faire
pour montrer que pour cet 'c' on a u (x, t) ≤C .merci encore une fois

**Tryss** · 09/02/2015, 17h06

Pour montrer que u(x, t) ≤C, on peut utiliser l'inégalité de Young pour la convolution :

Elle est valable pour $\text{[math]}$ , on pose alors $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et oh miracle, le terme $\text{[math]}$ ne dépend pas de t (il vaut même 1)

On a donc bien $\text{[math]}$ car g est uniformément bornée

edit : j'avais écrit des égalités à la place des inégalités...

**mona123** · 09/02/2015, 17h12

est t il vrai de dire que
u (x, t) ≤M(b-a)/√t
et discuter les deux cas:
si b-a≤1 on obtient u (x, t) ≤M(b-a)/√t≤M/√t et u (x, 0) ≤M ALORS on prend c=M
si b-a≥1 on obtient u (x, t) ≤M(b-a)/√t et u (x, 0) ≤M≤M(b-a) ALORS on prent c=M(b-a)

**Tryss** · 09/02/2015, 17h18

Attention, y'a du racine de 4 pi qui se ballade. Mais en réalité on s'en fiche de la valeur de C.

On a montré que u(x,t) ≤ C1/sqrt(t) et u(x,t) ≤ C2, donc si tu prends C = max(C1,C2), c'est bon

**mona123** · 09/02/2015, 17h30

en effet Tryss je suis en train de reviser pour mon examen et notre prof nous a conseiller de reviser cet exercice .dans la suite
on a la question suivante
montrer que
∫ ∞-∞ u (x, t) dx = ∫ ∞-∞ g (x) dx pour tout t ≥ 0.
Astuce: formule Première utilisation de (S) pour montrer que u (x, t) et sa dérivée partielle par rapport à la fois à x et t tend
vers zéro lorsque x → ± ∞ pour tout t> 0. Alors, de nouveau en utilisant l'équation (S), montrent que ∫ ∞ ∞-u (x, t) dx est fini pour t> 0.
Enfin, utilisez l'équation (PDE) pour obtenir le résultat.
j'ai pu montrer que u (x, t) et sa dérivée partielle par rapport à la fois à x et t tend
vers zéro lorsque x → ± ∞ mais je ne sais pas comment montrer que ∫ ∞ ∞-u (x, t) dx est fini pour t> 0.
pouvez vous m'aider merci

azizovsky · 09/02/2015, 18h12

Salut, il faut savoir l'intéprétation physique de l'équation de la chaleur, comme a fait Tryss, tu peux sortir la fonction $\text{[math]}$ de l'intégrale, pour $\text{[math]}$ , l'expression $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ quantité de chaleur, et aussi $\text{[math]}$ .

azizovsky · 09/02/2015, 18h20

$\text{[math]}$ de l'intégrale, pour $\text{[math]}$ , l'expression $\text{[math]}$

azizovsky · 09/02/2015, 18h29

j'ai oublié $\text{[math]}$ est l'intensité de la source instantanée de chaleur.

**mona123** · 09/02/2015, 18h36

mais je ne voix pas pourquoi ∫ ∞ ∞-u (x, t) dx est fini

**Tryss** · 09/02/2015, 18h57

Envoyé par mona123

mais je ne voix pas pourquoi ∫ ∞ ∞-u (x, t) dx est fini

C'est l'intégrale d'une densité gaussienne, pour $\text{[math]}$ .

On peut le redémontrer en partant de $\text{[math]}$ et en faisant un changement de variable simple

**mona123** · 09/02/2015, 19h08

Tryss pouvez vous m'aider encore en effet je suis un peut faible en integration

azizovsky · 09/02/2015, 19h29

Salut, voir mon premier message : $\text{[math]}$ si tu pose $\text{[math]}$ la formule précédente s'écrit $\text{[math]}$ , on remarque que $\text{[math]}$ pour le reste, moi aussi je vais attendre Tryss. (les circuits commence a chauffé, signe de nuit blanche ....

)

azizovsky · 09/02/2015, 20h32

$\text{[math]}$ , on utilise la remarque de Tryss $\text{[math]}$ voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_Gauss, et ...