dérivablité

[invitee4284c72]

Bonjour.
Pourriez-vous m'aider à faire cet exercice ? et merci d'avance
soit f définie de R vers R une fonction dérivable. On suppose que f(0)=0. Calculer la limite de la somme de k=1 jusqu'à n de f(k/n²)
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[gg0]

Bonjour.

Il y a l'hypothèse que f est dérivable, cherche à quoi peut bien servir cette hypothèse. D'autre part, dans quel intervalle se situent les k/n² ?

Cordialement.

[invitee4284c72]

Merci pour votre réponse
k/n² est compris entre 1/n² et 1/n et comme f dérivable alors elle est continue qu'est ce que je peux faire alors ? et merci encore une fois Cordialement Imad

[inviteb2cc74dc]

Bonjour,

Est-il correct de dire, en utilisant le théorème sur la convergence d'une série de fonctions de Riemann vers son intégrale, que cette série converge vers l'intégral de f sur [0,1]?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Non, puisqu'il ne s'agit pas d'une somme de Riemann... Ou alors il faut que tu la transforme pour la mettre sous cette forme.

[inviteb2cc74dc]

Oui en effet, je pense que comme cela c'est correct?

[invited22d6db2]

Bonjour,

Il y a un problème d'indice pour k=0.
Et n'oublie pas de justifier que f est intégrable au sens de Riemann.

[inviteb2cc74dc]

bonjour et merci!

Le fait que f soit dérivable n'est-il pas suffisant pour qu'elle soit intégrable?(Je ne sais pas le sens d'être intégrable au sens de Riemann, je n'ai jamais étudié d'autres théories de l'intégration).
En outre, je ne comprend pas pourquoi on nous donne les hypothèses f(0)=0 et f dérivable, puisque f continue suffirait, je me trompe?

[invited22d6db2]

Bonjour,

En fait tes bornes ne vont pas. Il ne faut pas intégrer entre 0 et 1...

[gg0]

Le message #3 montre bien qu'il ne s'agit pas d'une somme de Riemann sur [0,1].

[inviteb2cc74dc]

En changeant les bornes, le calcul serait-il juste alors?

Je n'arrive pas à utiliser l'hypothèse de dérivabilité, intuitivement j'ai l'impression que cela vaut 0 mais je n'arrive pas à le prouver rigoureusement.

[invite23cdddab]

Ne pas oublier que l'on a f( x )-f(0) = (x-0) f'(c) avec c entre 0 et x. Et comme f' est continue, quelque soit epsilon, pour c assez petit, f'(0)-epsilon < f'(c) < f'(0)+epsilon