X^X sur R? ou -1^X sur R ou sur R+?

[invitef895951c]

Bonjour,

J'ai un étude de fonction.
f(x)=x^x

Bon...
f(x)=exp(x.ln(x))

Tout va bien sur R+

Mais je me dit tiens... Et qu'est-ce qu'elle dit la calculette...
Et voila qu'elle me trace un truc sur R-.

un truc alternant positif et négatif.
avec pour ce qui est de la valeur absolue, une fonction croissante jusqu'en environs (-1/2; 2) décroissante jusqu'a (1;1) après...

Ln d'un nombre négatif?
Non ln de la valeurs absolue d'"un nombre négatif...

Alors, je réfléchis un peu et je me dit...
-1^x
facile quand x est entier.
pair 1
impair -1

Mais quand x est non entier...

Alors il y a 0.5 soit 1/2 du coup racine de -1
C'est donc complexe.

du coup, il y a aussi 0.3333... soit 1/3 du coup racine cubique de -1 et là, pas de souci, je la mets à -1

bref... l'ensemble de définition de -1^x (en limitant à des résultats dans R et pas dans C)
Sur R+, on doit avoir quelquechose genre un bout de Q+... Le bout de Q+ on est sur des fractions irréductibles dont le numérateur et le dénominateur sont impairs?


Bon voila...

En gros l'ide c'est est ce que vous avez une doc quelquepart, un site?
Un truc qui me clarifierait les idées autour des puissances non entières de nombres négatifs?

Merci pour votre aide!
-----

[gg0]

Bonjour.

Demande au constructeur de ta calculette ce qu'il fabrique.

Il n'y a pas d'extension utile de la notion de puissance quelconque d'un nombre négatif, comme ce qu'on a pour les positifs. Donc pas de convention, sauf pour les puissances entières. La puissance 1/3=2/6 de -1 pose déjà problème, car comme racine cubique de -1, on a -1, mais comme racine sixième du carré, on obtient 1 (et on n'a pas de carré de la racine sixième, puisqu'elle n'est pas définie !).
Donc il faut renoncer aux propriétés calculatoires habituelles !

Cordialement.

[invitef895951c]

Ok... Bon... Ca me rassure!
J'vais écrire à TI puisque c'est comme ça!


Et du coup...

f(x)=x^x est défini sur R+ U 2Z

et f(x) continue dérivable sur R+
et sur R-, on est que sur les entiers pairs...
et la fonction est... différente...

Ok.

Merci beaucoup!

[gg0]

Heu ...(-1)^(-1) est parfaitement défini !!

Mais comme on n'a pas de convention pour exprimer x^x en général, ce n'est pas la peine de perdre son temps avec x <0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Bonjour,
La fonction que vous avez tracez pour x négatif est probablement qui est la partie réelle de


https://www.wolframalpha.com/input/?...x)),+x%3D-4..0
https://www.wolframalpha.com/input/?...*x),+x%3D-4..0

Pour les risques encourus, voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe

Cordialement.

[stefjm]

[...]
Alors, je réfléchis un peu et je me dit...
-1^x
facile quand x est entier.
pair 1
impair -1
Mais quand x est non entier...
Alors il y a 0.5 soit 1/2 du coup racine de -1
C'est donc complexe.
[...]

Bonjour,
En plongeant dans les complexes (avec les restrictions habituelles concernant le logarithme)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-1)%5E(x) de période 2.

, ultra classique de période 1, avec la correspondance 1 tour pour .

Des points difficiles :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...fond-Schneider

Cordialement.