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Convergence vers l'infini?




  1. #1
    ahoian

    Question Convergence vers l'infini?

    "Si (un)n∈N0 converge vers u et (vn)n∈N0 converge vers +∞,
    alors la suite (un + vn)n∈N0 converge-t-elle toujours dans R ̄?
    Si oui, vers quelle limite? (démontrer le résultat)."

    Bonjour, Voici un énoncé dont je ne comprends pas vraiment pourquoi on utilise le terme convergence vers (+l'infini ), car lorsque la limite d'une suite ou d'une sous-suite tent vers (+ ou -) l'infini on dis qu'elle est divergente n'est ce pas?
    du coup je me demandais si il n y'aurais pas une faute de vocabulaire dans l'énoncé ?

    Merci pour l'attention accordée.

    -----


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  3. #2
    minushabens

    Re : Convergence vers l'infini?

    Effectivement on dit traditionnellement qu'une suite qui tend vers +infini diverge, on le dit par exemple pour les séries (note qu'une suite qui ne converge pas ne tend pas toujours vers +infini). Mais rien n'empêche de considérer que la suite converge et que sa limite est +infini. Pour en faire autre chose qu'une simple convention de langage il faut se placer dans l'espace topologique Ru{-infini,+infini} muni de la topologie qui va bien.
    Dernière modification par minushabens ; 12/07/2018 à 16h17.

  4. #3
    eudea-panjclinne

    Re : Convergence vers l'infini?

    On retombe encore, comme récemment, sur les différences (normales) entre les programmes du Secondaire (français) et ceux du Supérieur.
    Dans le Secondaire le langage des limites est limité à IR, donc toute suite qui ne converge pas dans IR est dite divergente. Cela regroupe naturellement les suites ayant pour limite +/- infini et les suites n'ayant aucune limite. Dans le Supérieur, on travaille éventuellement dans IR barre=IRU{-infini,+infini} et on parle dans ce cas, naturellement, de suite convergent vers +/- infini.
    Soit l'exercice provient du Supérieur, soit du Secondaire avec une erreur que j'ai déjà vu en pratique dans certains exercices de rédaction peu soignée.

    Quoiqu'il en soit @ahoian a repéré la difficulté. C'est bien. Il ne devrait pas avoir de problème pour résoudre l'exercice qui reste imprécis, car on ne sait pas qui sont u, (un) et (vn) des réels je suppose ?


  5. #4
    ahoian

    Re : Convergence vers l'infini?

    oui, c'est bien une question du supérieur.
    Comme @minushabens le dit bien, la limite d'une suite peut converger vers l'infini.

    @eudea-panjclinne les suites sont bien des réelles.

    Merci beaucoup pour vos réponses.

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