sujet de colle de mécanique

[invite919b643f]

Bonjour,
cette année je suis en classe préparatoire, filière PCSI, et avant les vacances je me suis retrouvée devant un sujet de colle de physique qui m'a posé beaucoup de problème..

Il s'agissait d'une particule de masse m qui se déplaçait sans frottements à l'intérieur d'un cercle (cercle de centre O origine d'un repère cartésien, et de rayon r); cette particule était accrochée à deux ressorts de même constante de raideur et de même longueur à vide, et ces ressorts étaient eux mêmes accrochés respectivement de part et d'autre du diamètre du cercle suivant l'axe (Ox).
Il fallait étudier le mouvement de cette particule, la période d'oscillations, etc

J'ai voulu utiliser la conservation de l'énergie mécanique;
j'ai donc déterminé l'énergie cinétique en coordonnées cylindriques (1/2)mr* (d(theta)/dt)^2
(avec theta l'angle entre l'axe (Ox) et la position de la particule)

Puis j'ai eu beaucoup plus de mal avec les différentes énergies potentielles élastiques (l'énergie potentielle de pesanteur se retrouvait assez facilement en cylindriques)

Et là ce qui m'a définitivement embrouillé, c'est que le prof m'a donné des indications que je n'ai pas comprises, il mélangeait les coordonnées cylindriques et cartésiennes...c'est possible??
et vous, comment auriez-vous fait?? (je ne suis pas arrivée au bout en réessayant chez moi..)

Voila si qelqu'un peut m'aider, et me réconcilier avec la méca^^...merci!!!
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[invite63840053]

Bonjour,
Pour te faciliter le travail tu peux toujours tout exprimer, dans un premier temps, dans des coordonnées "mixte". Par exemple, tu sais que l'énergie potentielle de pesenteur est toujours , et en sphérique . Cela te permet de ne pas trop te casser la tête avec les projections, du moins dans un premier temps.
Attention tout de même avec les valeurs vectorielles, car il ne faudra pas oublier de les projeter dans la bonne base.

Sinon pour ton problème, je pense que tu as suivi le bon chemin en passant par la conservation de l'énergie. Il ne te reste donc plus qu'à tout exprimer correctement.

[invitebfbf094d]

Ben l'énoncé dit que la masse se déplace à l'intérieur d'un cercle, mais bon ca n'a pas d'importance pour notre problème. Ce n'est que l'étude d'une masse couplée à deux ressorts fixés aux extrémités, sauf que la particule va avoir un déplacement verticale en plus.

[invitea3eb043e]

Je ne vois pas assez bien ton montage pour donner des détails, en particulier sur le rôle du poids (comment est le cercle ?).
De manière générale, ce genre de problème se résout bien en calculant l'énergie potentielle U (ressorts, poids..) et l'énergie cinétique T en fonction d'une seule coordonnée u (sur un cercle il est souvent avisé de prendre une position angulaire).
On trouve la position d'équilibre en disant que l'énergie potentielle est minimale. Ensuite on fait un développement limité de l'énergie potentielle au second ordre (forcément puisque le premier est nul à l'équilibre) et de l'énergie cinétique.
On arrive à une énergie totale qui s'écrit de la forme :
Etotale = A (u - u0)² + B (du/dt)²
qui s'assimile à celle d'une masse au bout d'un ressort et d'où on tire la pulsation propre.
On peut utiliser le formalisme lagrangien mais pour un seul degré de liberté, c'est la grosse Bertha inutilement.

[A voir en vidéo sur Futura]