Surface de Fermi et premiere zone

[Thwarn]

Bonjour,

je viens de me mettre à la physique du solide et j'ai un probleme de comprehension de la definition de la surface de Fermi dans le cas des electrons soumis à un potentiel periodique.
Dans le cas des electrons libre sans interaction, pas de probleme, je vois bien ce qu'est la sphere de Fermi. Mais à partir du moment où on definit la premiere zone de l'espace reciproque, je ne comprend plus comment on definit cette surface. (J'utilise le Ashcroft, mais j'ai du louper le passage clé)
Car en fonction des fois, on peut etre dans la premiere zone, ou etre dépassé dans la deuxieme, et je ne vois pas non plus comment on relie ça et le nombre de bandes remplies, etc etc...

Je vais essayer de resumer ce que j'ai compris (surement de travers) :
Si le cristal contient M cellule (dans l'espace reel) qui donnent chacune N electrons "libre", on a M vecteurs d'onde k dans la premiere zone de l'espace reciproque. Puis avec nos MxN electrons, on commence à remplir la premiere bande, mais jusqu'où? Souvent dans les schemas, la limite de la premiere zone n'est pas atteinte. Et dans le cas ou il y a plusieurs bandes, qu'est ce qu'on dessine?
Bref, tout s'embrouille à ce moment là...

Si quelqu'un pouvait m'aider (et peut etre me donner un autre reference).

Merci,
-----

[mariposa]

Bonjour,

je viens de me mettre à la physique du solide et j'ai un probleme de comprehension de la definition de la surface de Fermi dans le cas des electrons soumis à un potentiel periodique.

Bonjour,

Que les électrons soient libres, dans un potentiel périodique (ou même dans un potentiel aléatoire) tu remplis le niveaux d'énergie du bas vers le haut jusqu'a épuisement des électrons disponibles. La surface de Fermi est donc la surface d'équation E(k) = E°.
(le caractère gras est un vecteur)

Dans le cas d'un potentiel constant il est facile de voir qu'il s'agit d'une équation de la sphère. Par contre dans un potentiel périodique ce n'est pas le cas: En effet les directions dans l'espace des k ne sont plus équivalentes, on ne peut pas avoir E(k1)=E(k2) sauf pour quelques directions particulières.

Imagine que dans une direction particulière dans l'espace des k L'énergie varie très lentement en fonction du module de k alors tu vas d'abord remplir les états dans cette direction. C'est ainsi que l' étude de E(k) cad le schéma de bandes est très importante. il faut savoir que pour les métaux la physique dépend de la surface de Fermi uniquement. Les électrons intérieurs sont "coincés" par le principe de Pauli).

Dans le cas des electrons libre sans interaction, pas de probleme, je vois bien ce qu'est la sphere de Fermi. Mais à partir du moment où on definit la premiere zone de l'espace reciproque, je ne comprend plus comment on definit cette surface. (J'utilise le Ashcroft, mais j'ai du louper le passage clé)
Car en fonction des fois, on peut etre dans la premiere zone, ou etre dépassé dans la deuxieme, et je ne vois pas non plus comment on relie ça et le nombre de bandes remplies, etc etc...

Le fondement du problème est que les états propres d'un système périodique doivent être classés selon les representations du groupe de translation (ce que l'on presente habituellement sous la forme du théorème de bloch) et donc les états sont inévitablement de la forme:

|n,k> l'indice n est fait pour distinguer les états de même k .

Donc un schéma de bandes sera de la forme E (n,k>

attention: k ne prend que des valeurs déterminées. Par exemple si le réseau est plan carré de maille a k varie de -Pi/a à +Pi/a.

Si tu representes une relation circulaire qui represente E(k) tu vois que certains états sortent du carré et doivent être ramené dans le carré "central" par une translation du vecteur réciproque G:
k devient k -G

C'est ce qui définit les zones de brillouin.

[invite1c3dc18e]

Si quelqu'un pouvait m'aider (et peut etre me donner un autre reference).

regarde une fois dans le Kittel. L'autre grande référence

[Thwarn]

attention: k ne prend que des valeurs déterminées. Par exemple si le réseau est plan carré de maille a k varie de -Pi/a à +Pi/a.

Si tu representes une relation circulaire qui represente E(k) tu vois que certains états sortent du carré et doivent être ramené dans le carré "central" par une translation du vecteur réciproque G:
k devient k -G

C'est ce qui définit les zones de brillouin.

Donc une fois les bandes calculées (le nombre de k dans chaque bande etant fixé), on regarde le nombre d'atome dans chaque cellule de l'espace reelle et le nombre d'electron cedé par chaque atome. On remplit les bandes jusqu'a epuisement et on trace la surface de Fermi comme l'ensemble k (norme max et direction). C'est cela?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Donc une fois les bandes calculées (le nombre de k dans chaque bande etant fixé), on regarde le nombre d'atome dans chaque cellule de l'espace reelle et le nombre d'electron cedé par chaque atome. On remplit les bandes jusqu'a epuisement et on trace la surface de Fermi comme l'ensemble k (norme max et direction). C'est cela?

C'est presque çà. Je le redis autrement.

D'une façon générale on a toujours la densité dans l'espace des k qui est:

V/[2.Pi]n

n est dans la dimension de l'espace.

Un calcul de bandes te donnes la relation

E (n, k) n est ici l'indice d'une bande.

Très important

Il faut faire attention qui si tu fais une coupe à une énergie E quelconque tu peux couper un k dans une certaine direction appartenant à la bande n=1 et un k dans une autre direction appartenant à la bande n=2.

Autrement dit il ne faut pas croire que l'on remplit d'abord la bande n=1, puis la bande n=2 etc... Autrement dit tu peux commencer à remplir la bande n=1 et avant qu'elle soit completement remplie il est plus intéressant de commencer à remplir la bande n=2.

Apres tu remplis tes bandes avec les électrons (sachant que chaque atome te donne un certain nombre d'électrons).

Quand tu auras rempli res niveaux de bas en haut tu auras le niveau de Fermi EF. Maintenant si tu parcours mentalement la surface de Fermi en fonction de toutes les directions de k tu verras une forme plus ou moins compliquée. Par exemple dans certaines directions le k sera pres du centre de la zone de Brillouin tandis que dans d'autres directions le k sera éloigné (tout çà à énergie EF).

Remarque:

Au final tu peux avoir 2 bandes partiellement remplies (n=1 et n=2),, i bien que ton niveau de Fermi se situera dans une bande ou l'autre selon la direction de k.

Selon. On pourrait discuter avec des figures et du texte.

[Thwarn]

Merci beaucoup, ça commence à s'eclaircire.
Pour utiliser des figures, on peut par exemple utiliser le Aschcroft, si tu l'as. Par exemple, page 161, figure 9.5 :
il donne l'energie d'un reseau ffc en fonction de points (du reseau reciproque) ainsi que l'energie de Fermi en fonction du nombre d'electron par cellule.
Dans le cas d'un electron par cellule, on remplie les etats de k donné jusqu' a la ligne correspondante, et par exemple dans ce cas, le k associé au point X n'est pas atteint. C'est ça?
Par contre, je ne comprend pas du tout ces histoires de remplissage jusque dans la premiere, deuxieme,... zone de B. Ce qui donne des surfaces de Fermi, par exemple figure 9.10 (p.166).

[mariposa]

Merci beaucoup, ça commence à s'eclaircire.
Pour utiliser des figures, on peut par exemple utiliser le Aschcroft, si tu l'as. Par exemple, page 161, figure 9.5 :
il donne l'energie d'un reseau ffc en fonction de points (du reseau reciproque) ainsi que l'energie de Fermi en fonction du nombre d'electron par cellule.
Dans le cas d'un electron par cellule, on remplie les etats de k donné jusqu' a la ligne correspondante, et par exemple dans ce cas, le k associé au point X n'est pas atteint. C'est ça?
Par contre, je ne comprend pas du tout ces histoires de remplissage jusque dans la premiere, deuxieme,... zone de B. Ce qui donne des surfaces de Fermi, par exemple figure 9.10 (p.166).

Bonjour,

Je n'ai pas le Aschcroft, c'est pourquoi je t'avais proposé le Kittel. Comme les dessins facilitent la discussion tu peux peut-être scanner les dessins ou en réaliser toi-même.

[Thwarn]

Bon, voila j'ai le Kittel (pour grand, le Quantum theory of solids), et je me retrouve avec le même problème de différentes zones...
Donc, chapitre 13, page 257, il dessine la sphère de Fermi sur les différentes zones de Brillouin (elle déborde jusqu'à la 4eme).

Mais c'est la que j'ai un problème. Normalement, tous les vecteurs d'onde possible sont contenus dans la premiere zone, non? Un k qui est dans la deuxieme peut etre ramené dans la premiere. Donc comment peut-il y avoir des états occupés dans la 2eme zone, si ils sont equivalents à des états dans la premiere?

Je pense que si j'arrive à comprendre ça, je devrait pouvoir passer au cas 3D.

Merci!

[mariposa]

Bon, voila j'ai le Kittel (pour grand, le Quantum theory of solids), et je me retrouve avec le même problème de différentes zones...
Donc, chapitre 13, page 257, il dessine la sphère de Fermi sur les différentes zones de Brillouin (elle déborde jusqu'à la 4eme).

Bonjour,

Je n'ai pas la même version que toi. La mienne c'est Dunod 1967. En précisant les numéros de figure on devrait pouvoir se comprendre.

Mais c'est la que j'ai un problème. Normalement, tous les vecteurs d'onde possible sont contenus dans la premiere zone, non?

Tout à fait.

Cela provient du fait qu'un état propre d'un hamiltonien périodique (invariant par translation T discrete)

H(r) = H(r + T)

entraine que les états propres de H s'écrivent sous la forme proportionnelle à A(k,n,r) exp (i.k.r) avec k variant entre des bornes. Pour un système à 1 dimension c'est de -Pi/a à + Pi/a., Plus généralement à 3 dimensions les bornes définissent un volume élementaire qui est la première zone de Brillouin.

Remarque très importante:

Quand la maille est infiniment petite (le système est invariante par translation continue T) k varie de -infini à + infini. Autrement la zone de Brilloin c'est l'espace de Fourier tout entier. Les k representent toutes les valeurs que peuvent prendrent l'électron libres.

On note que pour les électrons libres il y a bijection entre une valeur de k et son énergie. A contrario pour le potentiel périodiquer pour un même cas k il y a plusieurs valeurs de E possible c'est on pourquoi on écrit E(k,n).

Quand on part de l'électron libre et que l'on applique un potentiel périodique infiniment petit il faut classer les états k de l'électrons libres selon les representations k du potentiel périodique.

En effet soit 2 états d'électrons libres A exp (i.k.r) et A.exp[i.(k+G).r] sont 2 états qui ne se transforment pas de la même façon pour le groupe continu mais qui se transforment de lac même façon pour le groupe discret (vérifie le pour t'en convaincre).

Pour les distinguer on écrira A(1)exp (i.k.r) et A(n).exp(i.k.r). on a ainsi 2 états de même valeur de k que l'on distingue par la valeur de n. Néanmoins ils auront des énergies distinctes (celles qu'elles avaient en tant qu'électrons libres). Cette manipulation est ce que l'on appelle ramener la description des états dans la première zone de Brillouin.

Un k qui est dans la deuxieme peut etre ramené dans la premiere. Donc comment peut-il y avoir des états occupés dans la 2eme zone, si ils sont equivalents à des états dans la premiere?

J'espère avoir répondu ci-dessus.

Je pense que si j'arrive à comprendre ça, je devrait pouvoir passer au cas 3D.

erci!

Pour l'instant reste en 2D cà permet de faire des dessins.

[Thwarn]

Quand la maille est infiniment petite (le système est invariante par translation continue T) k varie de -infini à + infini. Autrement la zone de Brilloin c'est l'espace de Fourier tout entier. Les k representent toutes les valeurs que peuvent prendrent l'électron libres.

Haaa... pour essayer de reformuler (pour voir si j'ai compris), on fait toujours nos TF en integrant sur la 1ere zone, mais à la limite continue il y a une infinité de k possible, donc les integrales vont de -infini à + infini. C'est ça?

Quand on part de l'électron libre et que l'on applique un potentiel périodique infiniment petit il faut classer les états k de l'électrons libres selon les representations k du potentiel périodique.
[...]

Je ne suis pas sur de comprendre la suite, donc on va rester dans le cas de la sphere de Fermi. La figure dont je parle est la 4(a) (du chapitre 13).
Là, il se place dans le cas ou le potentiel est tellement faible qu'il ne modifie pas la sphere, non? Ou alors le fait de parler de zone de B est tout à fait irrelevant?
Si le fait de considerer les differentes zones est bon, et que les k d'une autre zone que la 1ere peut etre ramener dans celle-ci, je ne comprends pas comment la sphere de Fermi peut depasser dans les autres zones. Ce devrait etre un cube de Fermi

Mais peut-etre faut-il absolument considéré un potentiel...

En tout cas merci !!!

[mariposa]

Haaa... pour essayer de reformuler (pour voir si j'ai compris), on fait toujours nos TF en integrant sur la 1ere zone, mais à la limite continue il y a une infinité de k possible, donc les integrales vont de -infini à + infini. C'est ça?

Pas trop.

Le but est de classer la fonction exp(i.k.r) d'une onde plane du groupe de translation continu ou k prend toutes les valeurs de -infini à + infini) en fonction du sous groupe du cristal qui lui est invariant selon des translations discretes qui implique que le domaine de variation des k (caractère gras) varie seulement de -pi/a = +pi/a. On a la relation:

k = k + n.G

Avec G =2.pi/a le vecteur élémentaire du réseau réciproque.

Je ne suis pas sur de comprendre la suite, donc on va rester dans le cas de la sphere de Fermi. La figure dont je parle est la 4(a) (du chapitre 13).
Là, il se place dans le cas ou le potentiel est tellement faible qu'il ne modifie pas la sphere, non? Ou alors le fait de parler de zone de B est tout à fait irrelevant?
Si le fait de considerer les differentes zones est bon, et que les k d'une autre zone que la 1ere peut etre ramener dans celle-ci, je ne comprends pas comment la sphere de Fermi peut depasser dans les autres zones. Ce devrait etre un cube de Fermi

Mais peut-etre faut-il absolument considéré un potentiel...

En tout cas merci !!!

Je pense que tu fais la confusion suivante:

1- Quand on represente les points k du réseau réciproque ils representent les vecteurs propes possibles (et donc indépendamment de l'occupation). A noter que la densité d'état dans l'espace des k prend la valeur universelle V/2.Pi pour une dimension (non compris le spin).

2- pour savoir quels sont les états occupés il faut que je te donne le nombre total d'électrons.Avec ceux-ci tu vas remplir progressivement les niveaux a partir de l'énergie la plus basse. Au départ tout se trouve dans la première zone de Brillouin (en plus comme le potentiel périodique est très faible la surface de Fermi est une sphère). Il arriverra un moment ou tu sortiras de la première zone de Brillouin tant que tu n'as pas épuisé le stock d'électrons. quand tu auras fini tu auras peut-être entamé la quatrième zone de Brillouin. En plus si je te dis qu'en fait il y avait 4 fois plus d'électrons tu vas peut-être remplir jusqu'a la 17iéme zone.

comme les valeurs de k doivent appartenir à la première zone de Brillouin (c'est le sous-groupe de translation discrete qui compte) il va falloir replier les k "extérieurs" pour les transformer en k "intérieur".

Maintenant avec un potentiel périodique faible plus les k sont éloignés plus ils ont énergétiques. Avec un fort potentiel périodique ce ne sera pas forcemment le cas. On peut imaginer que les k appartenant à la deuxième zone de Brillouin sont ceux qui sont de plus basse énergie et c'est ceux là que tu vas d'abord remplir. A partir de là tu peux imaginer que la surface de Fermi peut-être tres biscornue. Comme ce sont les électrons à la surface de Fermi qui donnent les propriétés électroniques on peut s'attendre a des bizareries.

[Thwarn]

ok, je crois que je commence à comprendre.

Dans le cas où le potentiel périodique est très faible, ie la surface de Fermi va rester une sphere, avec un nombre N d'electron, je vais par exemple remplir jusqu'a la 4eme zone.
Mon energie pour un k est E(k)= k²/2m. Mais je sais que je peux ramener mes k dans la premiere zone, et donc je vais me ramener à ce cas en posant k = k - G.
Et dans le cas 1D, mes energies seront "en bandes" E(k,G).
C'est bon, ou je pars encore completement en sucette?

[mariposa]

ok, je crois que je commence à comprendre.

Dans le cas où le potentiel périodique est très faible, ie la surface de Fermi va rester une sphere, avec un nombre N d'electron, je vais par exemple remplir jusqu'a la 4eme zone.
Mon energie pour un k est E(k)= k²/2m. Mais je sais que je peux ramener mes k dans la premiere zone, et donc je vais me ramener à ce cas en posant k = k - G.
Et dans le cas 1D, mes energies seront "en bandes" E(k,G).
C'est bon, ou je pars encore completement en sucette?

C'est çà.

Sauf que c'est E (k, n)

Vrai en 3D également.

[Thwarn]

Je mettais E(k,G) car dans mon cas ("libre"), les bandes sont juste indexées par le vecteur G qui ramene dans la premiere zone (cad, si tout ce que je raconte est juste E(k,G)=(k+G)²/2m)
Si c'est bon, je digere tout ça et je reviens!!!

[mariposa]

Je mettais E(k,G) car dans mon cas ("libre"), les bandes sont juste indexées par le vecteur G qui ramene dans la premiere zone (cad, si tout ce que je raconte est juste E(k,G)=(k+G)²/2m)
Si c'est bon, je digere tout ça et je reviens!!!

C'est çà mais pour la "parfaite" compréhension il vaut mieux écrire:


E(k,n)=(k+G)²/2m)

ou n est le numéro de la zone de Brillouin doù provient le G.

Cette expression exprime l'énergie d'un électron libre (a droite) de vecteur d'onde k = k + G dans l'espace des vecteurs d'onde du sous-groupe de translation.

Pour un électron perturbé par un potentiel périodique cette relation ne tiend plus entre énergies mais les correspondances entre k et k sont maintenues.

En complément il n'est pas nécessaire de définir une structure de bande E(k,n) en relation avec un hamiltonien d'électron libre perturbé tel que:

H = P2/2.m + Hp

avec Hp (r) + Hp (r + T)

On peut calculer H en prenant comme base des états propres atomiques centrés sur les atomes. Les bandes seront formés par le couplage des atomes qui seront définis par des éléments de matrices non diagonaux dans la base des états propes atomiques. On aura ainsi une structure de bandes E(k,n) qui ne fait aucune référence a la notion de zone de brillouin. Cette méthode est mieux adaptée pour les métaux de transition alors que la première est meilleure pour les métaux tel que le cuivre, l'aluminium etc..

[Thwarn]

Ok, parfait!

Donc si jamais le nombre d'electron font que la 1ere zone est pleine, et que ça empiete sur les 3 zones suivantes (comme dans la figure du Kittel), alors ma premiere "bande" ne jouera aucun role pour les propietés de mon metal, et j'aurais 3 surfaces de fermi differentes (en fonction de mon remplissage), une par bande.

Bon, je vasi enfin pouvoir passer au cas avec un potentiel pas trop faible!

Merci beaucoup!

[mariposa]

Ok, parfait!

Donc si jamais le nombre d'electron font que la 1ere zone est pleine, et que ça empiete sur les 3 zones suivantes (comme dans la figure du Kittel), alors ma premiere "bande" ne jouera aucun role pour les propietés de mon metal, et j'aurais 3 surfaces de fermi differentes (en fonction de mon remplissage), une par bande.

Petite remarque:

Il n'y a qu'une seule surface de Fermi: C'est la derniére couche d'énergie occupée (ou la première couche vide) dans l'espace des k que tu as rempli.

Très important

Il faut avoir present à l'esprit l'idée du remplissage progressif. Au départ tu remplis progressivement la première zone. Il arrive a un moment ou la première zone n'est pas rempli qu'il devient interessant d'alimenter la deuxième zone. Ce qui veut dire que desormais du remplit le système dans 2 "reservoirs' d'eau qui communiquent. Il se peut que lorsque ce que tu as épuisé ton liquide ta première zone n'est pas completement remplie ainsi que la deuxième zone. Tu peux même imaginer une situation ou la deuxième zone se trouve complétement remplie alors que la première zone ne l'est pas. Tout dépend de la forme du potentiel périodique.

Bon, je vasi enfin pouvoir passer au cas avec un potentiel pas trop faible!

Merci beaucoup!

Tu vois que la physique du solide ce n'est pas simple. Si tu te trouves en difficulté tu pourras toujours de rabattre sur des choses plus simples comme...les particules élémentaires.

Bon courage et au plaisir..

[Thwarn]

Dans le cas ou plusieurs zones ne sont pas remplies, une fois ramener dans la premiere zone, je vais avoir autant de surface que de zones non nulles. Autrement dit, pour chaque bande non pleine (et non vide), je vais avoir une surface definit par les k (qu'on appelle les branches de la surface de Fermi, je crois).