cocou

[invite7f58f807]

slt tt le monde j'aimerais bien vous poser une question concernant l'électromagnétique on a dit dans le cour que divergence de J =0 implique que les charges décrivent des trajets qui se referment sur eux meme vs pouvez m'expliquer pourquoi?
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[obi76]

Grace à la relation de Green-Ostrogradsky qui dit que si l'intégrale sur un volume du divergent d'un champ est nul, cela revient à dire exactement (c'est démontrable mais bref) que le flux de ce champ à travers la surface qui délimite ce volume est nul.

Tu veux vraiment la démonstration ?

[obi76]

J'ai eu du mal à la trouver, au cas où ça t'interesse (wikipedia). la démo de green-ostrogradsky (c'est la première fois que je la vois )

Démonstration [modifier]

L'idée est d'utiliser une partition de l'unité adaptée au problème dans la définition de l'intégrale d'une forme différentielle ; et de se ramener à un cas presque évident.

Soit I un recouvrement localement fini de M par des domaines de cartes locales , telles que :



Introduisons φi une partition de l'unité subordonnée à . Comme le support de ω est fermé, la forme différentielle ω s'écrit :



où la sommation est à support fini. Posons , forme différentielle à support compact de . est un difféomorphisme sur son image préservant les orientations sortantes. On a donc :



Comme commute avec l'opérateur de différentiation d, on a :



Par sommation, le théorème de Stokes est démontré une fois établi le cas particulier .

Une (n-1)-forme ω sur s'écrit :



où le chapeau désigne une omission. Le théorème de Fubini donne :



D'où le résultat.

Bon courage (ça aurai plus sa place en maths )