MQ : <-x|f> = -<x|f> ??

[justine&coria]

Salut à tous,

Y a quelque chose qui m'embête en MQ et j'arrive pas à trouver la solution. C'est sûrement tout con mais je bloque dessus.

On a bien le droit d'écrire que : .

Et pourtant ceci est équivalent à l'égalité suivante .

Conclusion : toutes les fonctions d'ondes sont impaires.

Où est le couac ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Karibou Blanc]

Où est le couac ?

c'est simplement qu'on a pas nécessairement le droit d'écrire la premiere ligne qui suit :

On a bien le droit d'écrire que

[invite54165721]

On a bien le droit d'écrire que : .

Et pourtant ceci est équivalent à l'égalité suivante .

Bonjour,

Dans le même genre pn n'a pas
.
soit

[justine&coria]

Salut et merci de vos réponses.
En même temps, j'avais compris qu'on n'a pas le droit d'écrire ce que j'ai écrit. Ma question, c'est justement pourquoi ! ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Niels Adribohr]

Pour mettre mon grain de sel, à mon avis, cette confusion vient du fait que tu sembles croire que <-x|f> est une opération entre f et x. En fait, il faut lire les symboles qu'on met dans le ket ou le bra comme des noms qu'on donne aux états et non pas comme des nombres qui les détermine. Par exemple, |x> n'est qu' une façon abrégé de désigner un état pour lequel la particule est au point x. On pourrait très bien écrire le même ket |la particule est au point x>. Et le braket <-x|f> n'est qu'une façon condensé d'appeler l'amplitude de probabilité de trouver la particule au point -x si la particule est dans l'état f. Dis comme ça, il n'y a à priori aucune raison que (l'amplitude de probabilité de trouver la particule au point -x si la particule est dans l'état f ) est égale à -(l'amplitude de probabilité de trouver la particule au point x si la particule est dans l'état f ). Il n'y a donc aucune raison de dire <-x|f>=-<x|f> qui n'est que la traduction symbolique de la phrase précèdente.

[invite54165721]

Ma question, c'est justement pourquoi ! ...

La réponse est simplement parce qu'elle est fausse. Il suffit de prendre des contre exemples.
Tu sembles croire que pour tout k
pour k = -1 tu aboutisà : toute fonction est impaire
pour k = 0 tu aboutis à : soit toute fonction s'annule à l'origine.
n'est pas une fonction linéaire en x

[invité576543]

n'est pas une fonction linéaire en x

Mais l'opération est linéaire en y.

Et la fonction (qui a la position x associe l'état "être en x") n'est pas linéaire en x.

Cordialement,

[invite54165721]

Et la fonction (qui a la position x associe l'état "être en x") n'est pas linéaire en x.

C'est la meilleure formulation.

[justine&coria]

Pour mettre mon grain de sel, à mon avis, cette confusion vient du fait que tu sembles croire que <-x|f> est une opération entre f et x. En fait, il faut lire les symboles qu'on met dans le ket ou le bra comme des noms qu'on donne aux états et non pas comme des nombres qui les détermine. Par exemple, |x> n'est qu' une façon abrégé de désigner un état pour lequel la particule est au point x. On pourrait très bien écrire le même ket |la particule est au point x>. Et le braket <-x|f> n'est qu'une façon condensé d'appeler l'amplitude de probabilité de trouver la particule au point -x si la particule est dans l'état f. Dis comme ça, il n'y a à priori aucune raison que (l'amplitude de probabilité de trouver la particule au point -x si la particule est dans l'état f ) est égale à -(l'amplitude de probabilité de trouver la particule au point x si la particule est dans l'état f ). Il n'y a donc aucune raison de dire <-x|f>=-<x|f> qui n'est que la traduction symbolique de la phrase précèdente.

Je ne suis pas d'accord.
L'espace des états est postulé comme étant un espace de Hilbert, donc muni d'un produit scalaire.
Ce produit scalaire par définition vérifie : . En particulier,

Alors, je vois d'où vient le problème : c'est que n'appartient pas à l'espace des états.
Mais voilà, cette notation de produit scalaire n'est donc pas vraiment adaptée, n'est-ce pas ? D'ailleurs, il me semble qu'il est nulle part fait allusion au fait que les propriétés du produit scalaire ne s'applique pas aux kets généralisés.

[invite54165721]

Relis la réponse de MMY:
est une fonction linéaire de l'état
mais n'est pas une fonction linéaire du réel x.

[invité576543]

Ce produit scalaire par définition vérifie : . En particulier,

Non, c'est :

Ce produit scalaire par définition vérifie :
. En particulier,

Alors, je vois d'où vient le problème : c'est que n'appartient pas à l'espace des états.

Si.

Le problème est la confusion entre x et |x>.

il me semble qu'il est nulle part fait allusion au fait que les propriétés du produit scalaire ne s'applique pas aux kets généralisés.

Et pour cause, puisqu'elles s'appliquent!

Cordialement,

[Niels Adribohr]

Je ne suis pas d'accord.
L'espace des états est postulé comme étant un espace de Hilbert, donc muni d'un produit scalaire.
Ce produit scalaire par définition vérifie : . En particulier,

Alors, je vois d'où vient le problème : c'est que n'appartient pas à l'espace des états.
Mais voilà, cette notation de produit scalaire n'est donc pas vraiment adaptée, n'est-ce pas ? D'ailleurs, il me semble qu'il est nulle part fait allusion au fait que les propriétés du produit scalaire ne s'applique pas aux kets généralisés.

Je n'ai pas voulu le dire tout à l'heure pour éviter de faire mon rabajois, mais ce genre d'erreur se produirait plus rarement si quand on nous introduisait la mécanique quantique, au lieu de nous bassiner dès le départ avec tout le baratin sur les espaces de Hilbert, on nous disait plûtot ce que veulent dire concretement les symboles qu'on utilise. Personnellement, j'ai compris beaucoup plus de chose en lisant le cours de mécanique quantique de Feynman où il ne parle à aucun endroit d'espace de Hilbert et tout le jargon qui s'y rattache qu'avec mes cours où il n'est question que de ça, à tel point que la plupart des étudiants font des calculs sans savoir ce qu'ils calculent. A la limite, j'ai compris les idées mathématiques lorsque j'ai compris la physique qui allait avec et pas l'inverse.

Après cette petite parenthèse qui ne t'étais pas destiné, voilà je réponds à ton objection : ton erreur vient du fait que tu confonds les notations de Dirac avec les notations utilisés en mathématiques pures.
Le produit scalaire entre deux objets mathématiques f et g dans un espace de Hilbert est noté comme ceci : <f , g>.
Par contre, quand on passe aux notations de Dirac, <x|y> n'est pas le produit scalaire entre x et y, mais le produit scalaire entre |x> et |y>. x et y sont des noms que l'on donne aux états. Les objets mathématiques sont |x> et |y>, mais pas x et y. Quand on passe d'une notation à une autre, on peut identifier f à |x> et g à |y>, mais pas f à x et g à y.
Il faut avoir à l'esprit que |x> veut dire en fait | la particule est en x>.

[GillesH38a]

Je ne suis pas d'accord.
L'espace des états est postulé comme étant un espace de Hilbert, donc muni d'un produit scalaire.
Ce produit scalaire par définition vérifie : . En particulier,

Pour préciser : ne veut rien dire mathématiquement . est à la rigueur le "bra" (pareil pour le "ket " ) associé à la valeur propre , qui n'a bien sur rien à voir avec qui est fois le bra associé à la valeur propre x (et est donc AUSSI un vecteur propre associé à x ! ). Il n'y a bien sur aucune relation de linéarité entre les valeurs propres et les vecteurs propres associés ! la notation consistant à indicer un ket par sa valeur propre peut effectivement conduire à quelques confusions regrettables...

[justine&coria]

Ok, merci à vous 3 (Mmy, Niels Adribohr et gillesh). Maintenant, je comprends beaucoup mieux.
En gros, faut faire très attention à ce qu'on écrit, savoir si désigne ou le ket .
Mais comme gillesh l'a fait remarquer, c'est surtout dû à un problème de notation : si on écrivait pour et pour le problème ne se poserait pas.

C'est bien ça ? (au passage, si je répète ce que vous dites plus ou moins différemment, c'est pas pour vous "corriger", mais juste histoire de voir si j'ai bien compris. )

[invité576543]

Ok, merci à vous 3 (Mmy, Niels Adribohr et gillesh). Maintenant, je comprends beaucoup mieux.
En gros, faut faire très attention à ce qu'on écrit, savoir si désigne ou le ket .
Mais comme gillesh l'a fait remarquer, c'est surtout dû à un problème de notation : si on écrivait pour et pour le problème ne se poserait pas.

C'est bien ça ?

Oui.

Il est peut-être utile d'indiquer que la notation à la place de simplement a pour utilité principale de distinguer et . C'est la même distinction que celle en notation tensorielle entre l'indice en haut et l'indice en bas.

Le même "vecteur" d'état a deux "aspects" et la notation bra-ket sert essentiellement à distinguer ces deux aspects.

Cordialement,

[Thwarn]

Oui.
[...]

Je ne suis pas d'accord. Ecrire pour n'est pas du tout coherent avec les notations de Dirac.

Le seul probleme de justine&coria c'est qu'elle n'a pas appris à bien lire les notations de Dirac, ou que le prof n'a pas assez insisté la premiere fois (du genre ).

[invité576543]

(...)

Vaut mieux que tu répondes à Justine&Coria directement. Je n'ai pas interprété leur message de la même manière que tu le fais. (Et je suis d'accord avec toi conditionnellement à l'interprétation que tu as choisie.)

Cordialement,

[Niels Adribohr]

Ok, merci à vous 3 (Mmy, Niels Adribohr et gillesh). Maintenant, je comprends beaucoup mieux.
En gros, faut faire très attention à ce qu'on écrit, savoir si désigne ou le ket .
Mais comme gillesh l'a fait remarquer, c'est surtout dû à un problème de notation : si on écrivait pour et pour le problème ne se poserait pas.

C'est bien ça ? (au passage, si je répète ce que vous dites plus ou moins différemment, c'est pas pour vous "corriger", mais juste histoire de voir si j'ai bien compris. )

Je suis assez d'accord avec Thwarn. Dans une réponse précédente, tu m'avais dit que le produit scalaire, par définition était :
< λφ |ψ>=λ*< φ |ψ>

Ceci est peut être vrai à condition de bien définir tes notations, mais alors du moment que tu écris ça, tu n'es pas dans la notation de Dirac, mais tu es en mathématique pure. Il faut préciser alors que < λφ |ψ> est le produit scalaire de λφ et de ψ. A partir de là, avec ces notations, |ψ> et < λφ | séparé n'ont aucun sens. Ils ne sont pas définis.
Pour éviter la confusion, quand tu n'es pas en notation de Dirac, mieux vaut écrire ton produit scalaire < λφ ,ψ>, comme ça, tu n'as pas la tentation d'interpréter un bout de ton produit scalaire comme un ket et l'autre comme un bra.

En gros, du moment que tu es en notation de Dirac, tu définis un ket comme ceci | symbole>. Dire que |aψ>=a|ψ> reviens à dire que |symbole>=s| ymbole>.
C'est un peu comme si tu disais que cos θ = c * o*s*θ.

En résumé, il faut bien faire la différence entre les notations utilisés en mathématique pure et les notations de Dirac. Pour bien t'entrainé à comprendre les notations de Dirac, il faut avant de te lancer dans les caculs apprendre à lire les équations, à comprendre ce qu'ils signifient, quels états physiques les kets symbolisent.

Par exemple
| ψ>= (1/2)^1/2 |x> + (1/2)^1/2 |y>
ne signifie pas que
ψ=(1/2)^1/2 x + (1/2)^1/2 y

mais signifie que l'état du système est à moitié dans l'état |x> et à moitié dans l'état |y>.
|x> et |y> désignent une configuration possible du systeme physique. Leurs significations sont propres à chaque probleme et doivent être préalablement définis. Par exemple, si j'ai un systeme physique dans laquelle j'ai 2 boites , la boite (1) et la boite (2), je peux très bien choisir de désigner l'état dans laquelle la particule est dans la boite (1) par le ket |x>, et l'état dans laquelle la particule est dans la boite (2) par le ket |y>. Ici, les termes " x" et "y" ne font réference à aucun terme mathématique. En géneral, on préferera nommé dans ces cas là les kets |1> et |2>, car leurs significations seront plus explicites. Mais en aucun cas la maniere de nommer les kets influencera les calculs dans lesquels ils sont présents.

[justine&coria]

Salut,

Non, mais j'ai compris tout ça.

Par contre, là où je ne vous suis pas, c'est sur les notations de Dirac.


Page 111 du Cohen, il est dit :

"Si est un nombre complexe, et un ket, alors est un ket. On est parfois amené à le noter .

...

Notation de Dirac pour le produit scalaire :

. "


C'est ça les notations de Dirac. Et c'est ce qui rend le truc simple à écrire : on écrit tout simplement . On ne voit jamais l'écriture ou pire si on veut être rigoureux .

D'ailleurs, dans ton message Niels, tu parles de tout seul qui n'a d'ailleurs pas de sens en mécanique quantique.


Je répète que le problème vient d'une autre notation qui n'a rien à voir avec celle de Dirac, celle de noter les vecteurs propres comme les valeurs propres :
- est un vecteur propre (généralisé) de associé à la valeur propre x :
- de la même façon, est un vecteur propre (généralisé) de associé à la valeur propre ax : .

Et c'est de là que vient le problème. Dans cette dernière notation, est à prendre comme une seule entité.

Et le vecteur (qu'on peut en notation de Dirac noter ou si tu préfères ) est un vecteur propre de mais associé à la valeur propre x : .

C'est pour ça aussi que je disais que la notation pour permettait de lever le doute.

[invité576543]

mais j'ai compris tout ça.(...)

C'est ce que j'avais compris du message précédent.

La confusion vient de ce que dans la notation |...> ce qu'il y a à la place des points est variable. Des fois c'est le vecteur d'état lui-même, et alors se comprend comme la forme contravariante du vecteur état et on peut alors dire .

D'autres fois c'est seulement une étiquette, utilisée pour des raisons d'intelligibilité, et alors le vecteur d'état est seulement , x pouvant être n'importe quoi (et pas du tout un vecteur d'état). Et alors (si tant est que ait un sens, ce qui est loin d'être le cas en général).

Cette ambiguïté de notation est effectivement confusante, et il faut apprendre à détecter laquelle est utilisée au coup par coup...

Cordialement,

[Thwarn]

Non, mais j'ai compris tout ça.
Par contre, là où je ne vous suis pas, c'est sur les notations de Dirac.
Page 111 du Cohen, il est dit :

Je viens d'aller voir dans le Cohen. Je pense que cette façon de noter les kets est mentionné dans le bouquin pour "expliquer" comment lire certaines vieilles notations (ou on melange le vecteur et un complexe dans le ket).
Mais je ne crois pas que cette notation est utilisé ailleurs dans le livre et je ne crois pas l'avoir vu dans aucune publi assez recente (mais la dessus, je ne suis pas une reference ).

[Niels Adribohr]

Non, mais j'ai compris tout ça.
.

Autant pour moi

Par contre, là où je ne vous suis pas, c'est sur les notations de Dirac.


Page 111 du Cohen, il est dit :

"Si est un nombre complexe, et un ket, alors est un ket. On est parfois amené à le noter .
Notation de Dirac pour le produit scalaire :
. "

C'est ça les notations de Dirac.
.

Les notations de Dirac, c'est l'usage des kets et des bra en géneral, et pas de λ|ψ> =|λψ> en particulier, égalité qui est valable uniquement si ψ est un vecteur d'état et non pas une étiquette comme l'a dit Mmy. Je n'avais d'ailleurs personnellement jamais fait ce distingo, à tel point que j'ai commencé à écrire un message pour apporter une objection à mmy, avant de réflechir et de m'appercevoir qu'il avait raison !

Et c'est ce qui rend le truc simple à écrire : on écrit tout simplement . On ne voit jamais l'écriture ou pire si on veut être rigoureux .
.

Si, j'ai déjà vu la deuxieme écriture (mais pas la derniere). Cette écriture a l'avantage de ne jamais porter à confusion, car en pratique, il est plus que courant d'utiliser des notations dans lesquels ce qu'il y a dans le ket est une étiquette : alors l'écriture de Cohen devient inaplicable. D'ailleurs, comme l'a suggerer Thwarn, je ne pense pas quelle soit très courante, je ne l'avais je crois jamais vu utilisé, il s'agit peut être d'une vieille notation. Et comme il est plus que courant d'utiliser les "notations étiquettes", je pense qu'il faut mieux éviter de l'utiliser pour éviter toutes confusions.

D'ailleurs, dans ton message Niels, tu parles de tout seul qui n'a d'ailleurs pas de sens en mécanique quantique.

C'est parce que j'ai l'habitude de raisonner en notation étiquette ! Puis de toute maniere, quand on fait des calculs, on se place toujours dans une certaine représentation, et on obtient de vrais nombres complexes. Alors, le fait que ψ est le vecteur d'état appartenant à l'espace de Hilbert dont la forme contravariante est |ψ> et la forme covariante est <ψ| ne m'a jamais passionné outre mesure. Je crois que c'est Von Neuman qui a introduit tout ce charabia mathématique en identifiant l'espace des états à l'espace de Hilbert. Il aurait meux fait de se taire (je plaisantes ). En tout cas, question compréhension de la physique, cela n'apporte rien du tout. Par contre, quand tu raisonnes avec la notation étiquette (désolé Mmy d'employer sans cesse ton mot, mais je le trouve décidément très bien pour exprimer ce que je veux dire), les étiquettes sont spécialement choisi pour faire comprendre quelles états physiques elles désignent, et tu comprends beaucoup mieux la logique de la mécanique quantique.

C'est pour ça aussi que je disais que la notation pour permettait de lever le doute.

Ca lêve le doute effectivement. Mais je pense que tout bien mesurer, tu trouveras plus d'économie d'écriture en utilisant les notations étiquettes, même si pour cela, tu dois mettre quelques parenthèse supplémentaire. Quand tu auras des systemes à plusieurs particules où que tu devras tenir compte de plusieurs paramètre (spin, moment orbital etc. ), les notations à indice ne seront plus très jolies : cela donnera ça |ψ_{1: n s l ms ml; 2 : s l ms ml} >