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[PhyQ]



  1. #1
    julg

    [PhyQ]

    Bonsoir, j'ai quelques difficultés à répondre rigoureusement aux deux questions suivantes, pourriez-vous m'aider ?


    Vérifier que l’énergie cinétique <p^2>/2m , où <p^2> est la valeur moyenne de p2 au sens quantique du terme, est positive quelle que soit la fonction d’onde considérée.

    Montrer que <p> a une valeur constante quelle que soit la fonction d’onde réelle considérée.
    Quelle est la valeur de cette constante?

    pour la première j'ai essayé en remplacement p en représentation x sans succès et pour la seconde j'ai des difficultés à montrer que la constante est nulle, j'aboutis à l'intégrale de p*(phi(p))² sans pouvoir conclure

    merci de l'attention que vous porterez à mes questions

    -----


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  3. #2
    gatsu

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par julg Voir le message
    Bonsoir, j'ai quelques difficultés à répondre rigoureusement aux deux questions suivantes, pourriez-vous m'aider ?


    Vérifier que l’énergie cinétique <p^2>/2m , où <p^2> est la valeur moyenne de p2 au sens quantique du terme, est positive quelle que soit la fonction d’onde considérée.

    Montrer que <p> a une valeur constante quelle que soit la fonction d’onde réelle considérée.
    Quelle est la valeur de cette constante?

    pour la première j'ai essayé en remplacement p en représentation x sans succès et pour la seconde j'ai des difficultés à montrer que la constante est nulle, j'aboutis à l'intégrale de p*(phi(p))² sans pouvoir conclure

    merci de l'attention que vous porterez à mes questions

    Salut,

    Pour la première c'est juste que c'est une somme de termes positifs...pour la seconde, il faut l'hamiltonien de ton exo sinon l'affirmation n'est pas vraie en général.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  4. #3
    julg

    Re : [PhyQ]

    merci de ta réponse (j'ai réussi à faire apparaitre les termes positifs sous l'intégrale, j'avais seulement mélangé les représentations x et p)

    en ce qui concerne la seconde il n'y a pas d'hamiltonien précisément, on se place dans le cas général. on précise simplement que les fonctions considérées sont réelles.
    d'où

    <p>=int(p*(phi(p)^2)*dp)

    cette fonction n'étant pas nécessairement impaire je n'arrive pas à conclure. l'énoncé est pourtant complet


    encore merci pour votre attention

  5. #4
    Thwarn

    Re : [PhyQ]

    Pour la deuxieme, il faut jouer sur la forme de l'operateur p en representation x et sur le fait que la valeur moyenne de p est toujours reelle car c'est une observable (la complexe conjugaison peut etre utile dans l'histoire ).
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  6. #5
    julg

    Re : [PhyQ]

    très bien dans ce cas c'est fini si on considère que la moyenne est réelle puisque :

    réel=-i*h/(2Pi) * int(phi(x)d/dx(phi(x))dx)
    l'intégrale est nécessairement nulle puisque réelle multipliée par i doit rester réelle.
    mais comment justifier que la moyenne est réelle, cela fait partie de la définition d'une observable?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gatsu

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Pour la deuxieme, il faut jouer sur la forme de l'operateur p en representation x et sur le fait que la valeur moyenne de p est toujours reelle car c'est une observable (la complexe conjugaison peut etre utile dans l'histoire ).
    Non mais sans déconner, le théorème d'Ehrenfest ça vous dit quelque chose ?
    En d'autres termes si l'impulsion ne commute pas avec l'hamiltonien du système sa moyenne n'est pas constante.

    A moins qu'il ne faille montrer que <p> est uniforme (i.e. ne dépend pas de la position....mais c'est un peu idiot comme question non ?).
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

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  10. #7
    Thwarn

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par julg Voir le message
    mais comment justifier que la moyenne est réelle, cela fait partie de la définition d'une observable?
    La valeur moyenne de p ne depend pas de la base. Or dans la base ou p est diagonal, ses valeurs propres sont toutes reelles. CQFD.


    Citation Envoyé par gatsu
    Non mais sans déconner, le théorème d'Ehrenfest ça vous dit quelque chose ?
    En d'autres termes si l'impulsion ne commute pas avec l'hamiltonien du système sa moyenne n'est pas constante.

    A moins qu'il ne faille montrer que <p> est uniforme (i.e. ne dépend pas de la position....mais c'est un peu idiot comme question non ?).
    Peut etre, mais la demonstration se fait en une ligne En tout cas, le fait que les fonctions propres soit reelles est une condition assez forte, qui doit surement impliquer pas mal de truc à propos de ton hamiltonien.
    Mais regarde l'oscillateur hamonique, le fondamental (au moins) est une gaussienne, reelle, et son impulsion moyenne vaut 0.
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  11. #8
    gatsu

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Peut etre, mais la demonstration se fait en une ligne En tout cas, le fait que les fonctions propres soit reelles est une condition assez forte, qui doit surement impliquer pas mal de truc à propos de ton hamiltonien.
    Mais regarde l'oscillateur hamonique, le fondamental (au moins) est une gaussienne, reelle, et son impulsion moyenne vaut 0.
    Ok j'ai été un peu vite ...
    Par contre les fonctions avec lesquelles on fait la moyenne proposée ne sont pas des fonctions propres a priori si je ne m'abuse.
    Par ailleurs J'ai été encore un peu rapide en citant le théorème d'Ehrenfest car le truc qui est important c'est que la moyenne du commutateur soit nulle et il semble que structurellement cette condition est directement vérifiée si est réelle.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  12. #9
    Thwarn

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    Ok j'ai été un peu vite ...
    Par contre les fonctions avec lesquelles on fait la moyenne proposée ne sont pas des fonctions propres a priori si je ne m'abuse.
    Par ailleurs J'ai été encore un peu rapide en citant le théorème d'Ehrenfest car le truc qui est important c'est que la moyenne du commutateur soit nulle et il semble que structurellement cette condition est directement vérifiée si est réelle.
    Il suffit que la fonction soit reelle pour que ça marche.
    Ensuite, je crois qu'il existe un theoreme qui dit qu'un operateur reel n'a que des fonctions propres reelles, ce qui impose certaine contrainte à H (ensuite on peut construire des fonctions reelles à partir de celles ci).
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  13. #10
    mariposa

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    La valeur moyenne de p ne depend pas de la base. Or dans la base ou p est diagonal, ses valeurs propres sont toutes reelles. CQFD.

    Non car p n'est pas hermitique.

  14. #11
    mariposa

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par julg Voir le message
    Bonsoir, j'ai quelques difficultés à répondre rigoureusement aux deux questions suivantes, pourriez-vous m'aider ?


    Vérifier que l’énergie cinétique <p^2>/2m , où <p^2> est la valeur moyenne de p2 au sens quantique du terme, est positive quelle que soit la fonction d’onde considérée.

    Montrer que <p> a une valeur constante quelle que soit la fonction d’onde réelle considérée.
    Quelle est la valeur de cette constante?

    pour la première j'ai essayé en remplacement p en représentation x sans succès et pour la seconde j'ai des difficultés à montrer que la constante est nulle, j'aboutis à l'intégrale de p*(phi(p))² sans pouvoir conclure

    merci de l'attention que vous porterez à mes questions
    Bonjour

    Il suffit d'écrire une fonction d'onde dans la base des ondes planes (série ou intégrale de Fourier). En tenant compte du fait que les ondes planes sont les fonctions propres de l'opérateur impulsion, elles sont donc orthogonales.

    Par exemple pour la première question on trouve:


    Si Fi(r) = Ak.exp(i.k.r) avec (sommation sur les k)

    On trouve

    Ak.Ak*.k2 avec (sommation sur les k)

    qui est trivialement positif.

    CQFD


    Remarque: Cela n'a rien d'une astuce. C'est un réflexe théorie des groupes. la donnée de l'opérateur p (générateur de translation) suggère de prendre une base d'onde plane. Si l'on avait donné l'opérateur L (moment cinétique générateur des rotations) il aurait fallu prendre une base d'harmoniques sphériques. etc...

  15. #12
    Thwarn

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Non car p n'est pas hermitique.
    C'est une blague?
    Depuis quand l'impulsion n'est pas une observable? (attention, je me place dans le cas sans potentiel vecteur).
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

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  17. #13
    mariposa

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    C'est une blague?
    Depuis quand l'impulsion n'est pas une observable? (attention, je me place dans le cas sans potentiel vecteur).
    Je me demande pourquoi j'ai écrit cette connerie?

    p = -i.h.d/dx qui est bien hermitique.

    Il n'en reste pas moins vrai qu'il faut se placer dans la base des vecteurs propres de p:

    -i.h.d/dx [exp(i.k.x)] = h.k [exp(i.k.x)]

  18. #14
    Thwarn

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Je me demande pourquoi j'ai écrit cette connerie?

    p = -i.h.d/dx qui est bien hermitique.

    Il n'en reste pas moins vrai qu'il faut se placer dans la base des vecteurs propres de p:

    -i.h.d/dx [exp(i.k.x)] = h.k [exp(i.k.x)]


    C'est tout à fait ce que je disais quand j'ecrivais "Or dans la base ou p est diagonal, ses valeurs propres sont toutes reelles."
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  19. #15
    mariposa

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message


    C'est tout à fait ce que je disais quand j'ecrivais "Or dans la base ou p est diagonal, ses valeurs propres sont toutes reelles."
    Oui mais par rapport au problème posé il faut démontrer que <p2> est positif (voir ma démonstration).

  20. #16
    gatsu

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Il suffit que la fonction soit reelle pour que ça marche.
    Ensuite, je crois qu'il existe un theoreme qui dit qu'un operateur reel n'a que des fonctions propres reelles, ce qui impose certaine contrainte à H (ensuite on peut construire des fonctions reelles à partir de celles ci).
    Je ne dois plus être à jour en MQ qu'appelles tu un opérateur réel en MQ ?
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  21. #17
    Thwarn

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    Je ne dois plus être à jour en MQ qu'appelles tu un opérateur réel en MQ ?
    C'est plutot un terme de math pour designer un certain type de d'operateur differentiel (pour lesquels on peut choisir une base ou les fonctions sont reelles). Je crois que ce sont des operateur ne faisant pas intervenir de complexe, mais j'y connais absolument rien (je me suis juste inspiré pour repondre d'un exam en faisant reference, et connaissant le prof qui l'a redigé, cela est certainement vrai).

    Citation Envoyé par mariposa
    Oui mais par rapport au problème posé il faut démontrer que <p2> est positif (voir ma démonstration).
    Si les vp de P sont reelles, pas de soucis pour la positivité de <p²>.
    Bref, tout ça pour dire qu'on est d'accord (mais que tu es arrivé bien apres :-p).
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  22. #18
    alovesupreme

    Re : [PhyQ]

    Bonjour

    Tant qu'à faire, donnez moi (svp) une fonction d'onde réelle d'impulsion p?
    et quel est la forme de l' opérateur impulsion P tel que

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  24. #19
    mariposa

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par alovesupreme Voir le message
    Bonjour

    Tant qu'à faire, donnez moi (svp) une fonction d'onde réelle d'impulsion p?
    et quel est la forme de l' opérateur impulsion P tel que
    La seule fonction réelle solution de:



    c'est la fonction constante 1 (k=0) d'impulsion propre nulle

  25. #20
    Thwarn

    Re : [PhyQ]

    Tout depend de ce que t'appelle avoir une impulsion p. En valeur moyenne ou en tant que fonction propre.
    En valeur moyenne, un exemple simple est une gaussienne centrée en p°, qui a donc une valeur moyenne de p° (par definition...).
    En tant que valeur propres, ce n'est pas possible justement (à par si p=0).
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  26. #21
    mariposa

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par Thwarn Voir le message
    Tout depend de ce que t'appelle avoir une impulsion p. En valeur moyenne ou en tant que fonction propre.
    En valeur moyenne, un exemple simple est une gaussienne centrée en p°, qui a donc une valeur moyenne de p° (par definition...).
    En tant que valeur propres, ce n'est pas possible justement (à par si p=0).
    alovesupreme a posé un problème aux valeurs propres. Sinon toute fonction symétrique centrée sur p° a pour valeur moyenne p°.

  27. #22
    alovesupreme

    Re : [PhyQ]

    Il y a une chose qui m'échappe.
    Prenons une particule scalaire de charge électrique nulle et de masse m.
    Elle est bien décrite par une fonction d'onde réelle?
    D'ou vient ce p=0 (valeur propre) qui d'ailleurs ne le serait pas dans un autre référentiel?

  28. #23
    mariposa

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par alovesupreme Voir le message
    Il y a une chose qui m'échappe.
    Prenons une particule scalaire de charge électrique nulle et de masse m.
    Elle est bien décrite par une fonction d'onde réelle?
    D'ou vient ce p=0 (valeur propre) qui d'ailleurs ne le serait pas dans un autre référentiel?
    Si elle est libre:

    une fonction d'onde solution de Schrodinger H.Fi(r) = E.Fi(r) non normalisée vaut:

    A exp(i.k.r)

    de valeur propre:

    E = h2.k2/2.m

    et de quantité de mouvement:

    h.k

    h c'est ici hbarre

  29. #24
    alovesupreme

    Re : [PhyQ]

    oui mais exp (ikx) n'est pas réel.
    Si la charge est nulle ca ne doit pas etre réel?

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  31. #25
    Thwarn

    Re : [PhyQ]

    Dans ce cas la l'equation aux valeurs propres n'est plus la meme. L'eq de KG est du deuxieme ordre et les solutions sont donc des sinusoides.
    Nous etions dans ce cas dans la MQ non relativiste.
    Tes desirs sont desordres. (A. Damasio)

  32. #26
    alovesupreme

    Re : [PhyQ]

    Quel est l'interet de cet exercice?.
    Sur quoi l'enseignant qui l'a imaginé veut il attirer l'attention?
    mystère.

  33. #27
    mariposa

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par alovesupreme Voir le message
    Quel est l'interet de cet exercice?.
    Sur quoi l'enseignant qui l'a imaginé veut il attirer l'attention?
    mystère.
    C'est un genre d'exercice que l'on donne lors des premiers pas de MQ. Le but est de manipuler de la petite mathématique pour s'habituer au formalisme avant de pouvoir aborder des problèmes concrets.

  34. #28
    alovesupreme

    Re : [PhyQ]

    Citation Envoyé par julg Voir le message
    Montrer que <p> a une valeur constante quelle que soit la fonction d’onde réelle considérée.
    Quelle est la valeur de cette constante?
    j'imagine que pour un observateur en mouvement cette meme fonction d'onde f n'est plus réelle (<f|p|f> différent de zéro)?

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