[PhyQ]

invite8efb633e · 18/01/2009, 20h24

Bonsoir, j'ai quelques difficultés à répondre rigoureusement aux deux questions suivantes, pourriez-vous m'aider ?

Vérifier que l’énergie cinétique <p^2>/2m , où <p^2> est la valeur moyenne de p2 au sens quantique du terme, est positive quelle que soit la fonction d’onde considérée.

Montrer que a une valeur constante quelle que soit la fonction d’onde réelle considérée.
Quelle est la valeur de cette constante?

pour la première j'ai essayé en remplacement p en représentation x sans succès et pour la seconde j'ai des difficultés à montrer que la constante est nulle, j'aboutis à l'intégrale de p*(phi(p))² sans pouvoir conclure

merci de l'attention que vous porterez à mes questions

**gatsu** · 18/01/2009, 21h03

Envoyé par julg

Bonsoir, j'ai quelques difficultés à répondre rigoureusement aux deux questions suivantes, pourriez-vous m'aider ?

Vérifier que l’énergie cinétique <p^2>/2m , où <p^2> est la valeur moyenne de p2 au sens quantique du terme, est positive quelle que soit la fonction d’onde considérée.

Montrer que a une valeur constante quelle que soit la fonction d’onde réelle considérée.
Quelle est la valeur de cette constante?

pour la première j'ai essayé en remplacement p en représentation x sans succès et pour la seconde j'ai des difficultés à montrer que la constante est nulle, j'aboutis à l'intégrale de p*(phi(p))² sans pouvoir conclure

merci de l'attention que vous porterez à mes questions

Salut,

Pour la première c'est juste que c'est une somme de termes positifs...pour la seconde, il faut l'hamiltonien de ton exo sinon l'affirmation n'est pas vraie en général.

invite8efb633e · 18/01/2009, 21h13

merci de ta réponse (j'ai réussi à faire apparaitre les termes positifs sous l'intégrale, j'avais seulement mélangé les représentations x et p)

en ce qui concerne la seconde il n'y a pas d'hamiltonien précisément, on se place dans le cas général. on précise simplement que les fonctions considérées sont réelles.
d'où

=int(p*(phi(p)^2)*dp)

cette fonction n'étant pas nécessairement impaire je n'arrive pas à conclure. l'énoncé est pourtant complet

encore merci pour votre attention

**Thwarn** · 18/01/2009, 22h36

Pour la deuxieme, il faut jouer sur la forme de l'operateur p en representation x et sur le fait que la valeur moyenne de p est toujours reelle car c'est une observable (la complexe conjugaison peut etre utile dans l'histoire

).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite8efb633e · 18/01/2009, 22h46

très bien dans ce cas c'est fini si on considère que la moyenne est réelle puisque :

réel=-i*h/(2Pi) * int(phi(x)d/dx(phi(x))dx)
l'intégrale est nécessairement nulle puisque réelle multipliée par i doit rester réelle.
mais comment justifier que la moyenne est réelle, cela fait partie de la définition d'une observable?

**gatsu** · 19/01/2009, 07h05

Envoyé par Thwarn

Pour la deuxieme, il faut jouer sur la forme de l'operateur p en representation x et sur le fait que la valeur moyenne de p est toujours reelle car c'est une observable (la complexe conjugaison peut etre utile dans l'histoire

).

Non mais sans déconner, le théorème d'Ehrenfest ça vous dit quelque chose ?
En d'autres termes si l'impulsion ne commute pas avec l'hamiltonien du système sa moyenne n'est pas constante.

A moins qu'il ne faille montrer que est uniforme (i.e. ne dépend pas de la position....mais c'est un peu idiot comme question non ?).

**Thwarn** · 19/01/2009, 07h32

Envoyé par julg

mais comment justifier que la moyenne est réelle, cela fait partie de la définition d'une observable?

La valeur moyenne de p ne depend pas de la base. Or dans la base ou p est diagonal, ses valeurs propres sont toutes reelles. CQFD.

Envoyé par gatsu

Non mais sans déconner, le théorème d'Ehrenfest ça vous dit quelque chose ?
En d'autres termes si l'impulsion ne commute pas avec l'hamiltonien du système sa moyenne n'est pas constante.

A moins qu'il ne faille montrer que est uniforme (i.e. ne dépend pas de la position....mais c'est un peu idiot comme question non ?).

Peut etre, mais la demonstration se fait en une ligne En tout cas, le fait que les fonctions propres soit reelles est une condition assez forte, qui doit surement impliquer pas mal de truc à propos de ton hamiltonien.
Mais regarde l'oscillateur hamonique, le fondamental (au moins) est une gaussienne, reelle, et son impulsion moyenne vaut 0.

**gatsu** · 19/01/2009, 08h48

Envoyé par Thwarn

Peut etre, mais la demonstration se fait en une ligne En tout cas, le fait que les fonctions propres soit reelles est une condition assez forte, qui doit surement impliquer pas mal de truc à propos de ton hamiltonien.
Mais regarde l'oscillateur hamonique, le fondamental (au moins) est une gaussienne, reelle, et son impulsion moyenne vaut 0.

Ok j'ai été un peu vite

...
Par contre les fonctions avec lesquelles on fait la moyenne proposée ne sont pas des fonctions propres a priori si je ne m'abuse.
Par ailleurs J'ai été encore un peu rapide en citant le théorème d'Ehrenfest car le truc qui est important c'est que la moyenne du commutateur soit nulle et il semble que structurellement cette condition est directement vérifiée si $\text{[math]}$ est réelle.

**Thwarn** · 19/01/2009, 09h16

Envoyé par gatsu

Ok j'ai été un peu vite

...
Par contre les fonctions avec lesquelles on fait la moyenne proposée ne sont pas des fonctions propres a priori si je ne m'abuse.
Par ailleurs J'ai été encore un peu rapide en citant le théorème d'Ehrenfest car le truc qui est important c'est que la moyenne du commutateur soit nulle et il semble que structurellement cette condition est directement vérifiée si $\text{[math]}$ est réelle.

Il suffit que la fonction soit reelle pour que ça marche.
Ensuite, je crois qu'il existe un theoreme qui dit qu'un operateur reel n'a que des fonctions propres reelles, ce qui impose certaine contrainte à H (ensuite on peut construire des fonctions reelles à partir de celles ci).

**mariposa** · 19/01/2009, 09h38

Envoyé par Thwarn

La valeur moyenne de p ne depend pas de la base. Or dans la base ou p est diagonal, ses valeurs propres sont toutes reelles. CQFD.

Non car p n'est pas hermitique.

**mariposa** · 19/01/2009, 09h51

Envoyé par julg

Bonsoir, j'ai quelques difficultés à répondre rigoureusement aux deux questions suivantes, pourriez-vous m'aider ?

Vérifier que l’énergie cinétique <p^2>/2m , où <p^2> est la valeur moyenne de p2 au sens quantique du terme, est positive quelle que soit la fonction d’onde considérée.

Montrer que a une valeur constante quelle que soit la fonction d’onde réelle considérée.
Quelle est la valeur de cette constante?

pour la première j'ai essayé en remplacement p en représentation x sans succès et pour la seconde j'ai des difficultés à montrer que la constante est nulle, j'aboutis à l'intégrale de p*(phi(p))² sans pouvoir conclure

merci de l'attention que vous porterez à mes questions

Bonjour

Il suffit d'écrire une fonction d'onde dans la base des ondes planes (série ou intégrale de Fourier). En tenant compte du fait que les ondes planes sont les fonctions propres de l'opérateur impulsion, elles sont donc orthogonales.

Par exemple pour la première question on trouve:

Si Fi(r) = Ak.exp(i.k.r) avec (sommation sur les k)

On trouve

Ak.Ak*.k2 avec (sommation sur les k)

qui est trivialement positif.

CQFD

Remarque: Cela n'a rien d'une astuce. C'est un réflexe théorie des groupes. la donnée de l'opérateur p (générateur de translation) suggère de prendre une base d'onde plane. Si l'on avait donné l'opérateur L (moment cinétique générateur des rotations) il aurait fallu prendre une base d'harmoniques sphériques. etc...

**Thwarn** · 19/01/2009, 10h39

Envoyé par mariposa

Non car p n'est pas hermitique.

C'est une blague?
Depuis quand l'impulsion n'est pas une observable? (attention, je me place dans le cas sans potentiel vecteur).

**mariposa** · 19/01/2009, 11h08

Envoyé par Thwarn

C'est une blague?
Depuis quand l'impulsion n'est pas une observable? (attention, je me place dans le cas sans potentiel vecteur).

Je me demande pourquoi j'ai écrit cette connerie?

p = -i.h.d/dx qui est bien hermitique.

Il n'en reste pas moins vrai qu'il faut se placer dans la base des vecteurs propres de p:

-i.h.d/dx [exp(i.k.x)] = h.k [exp(i.k.x)]

**Thwarn** · 19/01/2009, 11h17

Envoyé par mariposa

Je me demande pourquoi j'ai écrit cette connerie?

p = -i.h.d/dx qui est bien hermitique.

Il n'en reste pas moins vrai qu'il faut se placer dans la base des vecteurs propres de p:

-i.h.d/dx [exp(i.k.x)] = h.k [exp(i.k.x)]

C'est tout à fait ce que je disais quand j'ecrivais "Or dans la base ou p est diagonal, ses valeurs propres sont toutes reelles."

**mariposa** · 19/01/2009, 11h32

Envoyé par Thwarn

C'est tout à fait ce que je disais quand j'ecrivais "Or dans la base ou p est diagonal, ses valeurs propres sont toutes reelles."

Oui mais par rapport au problème posé il faut démontrer que <p2> est positif (voir ma démonstration).

**gatsu** · 19/01/2009, 12h33

Envoyé par Thwarn

Il suffit que la fonction soit reelle pour que ça marche.
Ensuite, je crois qu'il existe un theoreme qui dit qu'un operateur reel n'a que des fonctions propres reelles, ce qui impose certaine contrainte à H (ensuite on peut construire des fonctions reelles à partir de celles ci).

Je ne dois plus être à jour en MQ qu'appelles tu un opérateur réel en MQ ?

**Thwarn** · 19/01/2009, 13h46

Envoyé par gatsu

Je ne dois plus être à jour en MQ qu'appelles tu un opérateur réel en MQ ?

C'est plutot un terme de math pour designer un certain type de d'operateur differentiel (pour lesquels on peut choisir une base ou les fonctions sont reelles). Je crois que ce sont des operateur ne faisant pas intervenir de complexe, mais j'y connais absolument rien (je me suis juste inspiré pour repondre d'un exam en faisant reference, et connaissant le prof qui l'a redigé, cela est certainement vrai).

Envoyé par mariposa

Oui mais par rapport au problème posé il faut démontrer que <p2> est positif (voir ma démonstration).

Si les vp de P sont reelles, pas de soucis pour la positivité de <p²>.
Bref, tout ça pour dire qu'on est d'accord (mais que tu es arrivé bien apres :-p).

invite54165721 · 19/01/2009, 19h24

Bonjour

Tant qu'à faire, donnez moi (svp) une fonction d'onde $\text{[math]}$ réelle d'impulsion p?
et quel est la forme de l' opérateur impulsion P tel que
$\text{[math]}$

**mariposa** · 19/01/2009, 19h50

Envoyé par alovesupreme

Bonjour

Tant qu'à faire, donnez moi (svp) une fonction d'onde $\text{[math]}$ réelle d'impulsion p?
et quel est la forme de l' opérateur impulsion P tel que
$\text{[math]}$

La seule fonction réelle solution de:

$\text{[math]}$

c'est la fonction constante 1 (k=0) d'impulsion propre nulle

**Thwarn** · 19/01/2009, 19h56

Tout depend de ce que t'appelle avoir une impulsion p. En valeur moyenne ou en tant que fonction propre.
En valeur moyenne, un exemple simple est une gaussienne centrée en p°, qui a donc une valeur moyenne de p° (par definition...).
En tant que valeur propres, ce n'est pas possible justement (à par si p=0).

**mariposa** · 19/01/2009, 21h13

Envoyé par Thwarn

Tout depend de ce que t'appelle avoir une impulsion p. En valeur moyenne ou en tant que fonction propre.
En valeur moyenne, un exemple simple est une gaussienne centrée en p°, qui a donc une valeur moyenne de p° (par definition...).
En tant que valeur propres, ce n'est pas possible justement (à par si p=0).

alovesupreme a posé un problème aux valeurs propres. Sinon toute fonction symétrique centrée sur p° a pour valeur moyenne p°.

invite54165721 · 19/01/2009, 21h19

Il y a une chose qui m'échappe.
Prenons une particule scalaire de charge électrique nulle et de masse m.
Elle est bien décrite par une fonction d'onde réelle?
D'ou vient ce p=0 (valeur propre) qui d'ailleurs ne le serait pas dans un autre référentiel?

**mariposa** · 19/01/2009, 21h26

Envoyé par alovesupreme

Il y a une chose qui m'échappe.
Prenons une particule scalaire de charge électrique nulle et de masse m.
Elle est bien décrite par une fonction d'onde réelle?
D'ou vient ce p=0 (valeur propre) qui d'ailleurs ne le serait pas dans un autre référentiel?

Si elle est libre:

une fonction d'onde solution de Schrodinger H.Fi(r) = E.Fi(r) non normalisée vaut:

A exp(i.k.r)

de valeur propre:

E = h2.k2/2.m

et de quantité de mouvement:

h.k

h c'est ici hbarre

invite54165721 · 19/01/2009, 21h34

oui mais exp (ikx) n'est pas réel.
Si la charge est nulle ca ne doit pas etre réel?

**Thwarn** · 19/01/2009, 22h12

Dans ce cas la l'equation aux valeurs propres n'est plus la meme. L'eq de KG est du deuxieme ordre et les solutions sont donc des sinusoides.
Nous etions dans ce cas dans la MQ non relativiste.

invite54165721 · 20/01/2009, 19h18

Quel est l'interet de cet exercice?.
Sur quoi l'enseignant qui l'a imaginé veut il attirer l'attention?
mystère.

**mariposa** · 20/01/2009, 21h01

Envoyé par alovesupreme

Quel est l'interet de cet exercice?.
Sur quoi l'enseignant qui l'a imaginé veut il attirer l'attention?
mystère.

C'est un genre d'exercice que l'on donne lors des premiers pas de MQ. Le but est de manipuler de la petite mathématique pour s'habituer au formalisme avant de pouvoir aborder des problèmes concrets.

invite54165721 · 23/01/2009, 18h55

Envoyé par julg

Montrer que a une valeur constante quelle que soit la fonction d’onde réelle considérée.
Quelle est la valeur de cette constante?

j'imagine que pour un observateur en mouvement cette meme fonction d'onde f n'est plus réelle (<f|p|f> différent de zéro)?

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