Trajectoire de la terre autour du soleil

[invitec1855b44]

Bonjour ,
je me demandais pourquoi la Terre décrivait une trajectoire quasi-circulaire autour du Soleil alors que d'autres planètes ont une trajectoire très elliptique. J'ai essayé de regarder avec les lois de Newton mais je n'arrive pas à aboutir. Je n'arrive même pas à voir que les trajectoires sont des ellipses ! J'ai écrit le PFD , j'ai résolu en partie l'équa diff que j'obtiens , mais après je n'avance plus.

Je me suis alors demandé quels sont alors les paramètres qui importent pour expliquer la trajectoire de la planète. Je pense que ce sont : Masse du soleil , Masse de la planète (ou plutôt leur rapport ) , Distance soleil/planète , et vitesse de la planète.

Et enfin je me demandais s'il est possible d'avoir une trajectoire parfaitement circulaire.
Donc je me permets de solliciter votre aide car je bloque dessus depuis un moment!
Merci d'avance pour vos réponses
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[invite4ff2f180]

Bonjour,
pourrais-tu nous donner les équations que tu as obtenus en résolvant les lois de Newton ? On pourra déjà voir si tu as fait une erreur.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
L'électricité des orbites des planètes est faible, sauf pour Mercure (0,206) et pour Mars (0,0934). Pour comparaison la Terre a une excentricité de 0,0167.
Ce ne sont pas les lois de Newton qui peuvent expliquer directement l'excentricité des orbites. Elles sont valables pour toutes les excentricités.
L'excentricité ou son absence peut être due au processus accrétion lui même ou aux influences réciproques entre planètes.
Je n'ai pas de souvenir d'avoir lu des explications possibles pour la diversité des excentricités.
Au revoir.

[invitec1855b44]

Alors les équations que j'ai écrites sont :
(en notant M la masse du soleil , m la masse de la terre , r la distance Terre/Xoleil ur le vecteur unitaire Soleil/Terre et uTheta le vecteur qui fome un angle de Pi/2 avec ur)
La force de gravitation s'écrit F = -GmM/r^2 ur
D'où
a= -GM/r^2 ur avec a = (d²r/dt² -r (dTheta/dt)²) ur +( 2 (dTheta/dt) (dr/dt) + rd²Theta/dt² ) uTheta

je ne sais pas résoudre un truc pareil , donc je n'arrive pas à prouver que les trajectoires sont des ellipses. Après je me rappelle d'un truc où on pose u = 1/r (Méthode de Binet , il me semble) mais je n'ai pas su le faire.

Sinon pour étudier la trajectoire circulaire , j'ai posé r=r0 et dTheta/dt=Cste =K
D'où a = r0 * K² ur
=> -GM/r0² = r0 *K²
Je crois donc avoir trouvé toutes les trajectoires circulaires possibles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ff2f180]

Si tu veux la dérivation mathématique, j'ai trouvé ce lien : http://thierry.chave.free.fr/P6.pdf. Je ne l'ai pas regardé en détail mais ça semble être fait dans la partie 2. Sinon la résolution est faite dans tous les cours de mécanique digne de ce nom.
Cordialement,

[invitec1855b44]

Ok merci pour ce lien. Et cela rejoint la remarque de LPFR , comme quoi Newton ne peut absolument pas prédire l'excentricité des planètes.
Merci pour ces réponses!

[calculair]

bonjour

La trajectoire des planètes imposée par Newton ( cas des forces centrales ) est une ellipse.

Un cas particulier est le cercle

L'un des foyer est occupé par le soleil

[david_champo]

Bonjour,

Alors les équations que j'ai écrites sont :
(en notant M la masse du soleil , m la masse de la terre , r la distance Terre/Xoleil ur le vecteur unitaire Soleil/Terre et uTheta le vecteur qui fome un angle de Pi/2 avec ur)
La force de gravitation s'écrit F = -GmM/r^2 ur
D'où
a= -GM/r^2 ur avec a = (d²r/dt² -r (dTheta/dt)²) ur +( 2 (dTheta/dt) (dr/dt) + rd²Theta/dt² ) uTheta

je ne sais pas résoudre un truc pareil , donc je n'arrive pas à prouver que les trajectoires sont des ellipses. Après je me rappelle d'un truc où on pose u = 1/r (Méthode de Binet , il me semble) mais je n'ai pas su le faire.

Sinon pour étudier la trajectoire circulaire , j'ai posé r=r0 et dTheta/dt=Cste =K
D'où a = r0 * K² ur
=> -GM/r0² = r0 *K²
Je crois donc avoir trouvé toutes les trajectoires circulaires possibles.

Et existerait-il un schéma qui va avec vos calculs ?

[calculair]

Bonjour,

Pour trouver la trajectoire de la planete il faut passer par l'energie

E = 1/2 m V² + ( V( x,y,z) ou v( x,y,z) est la fonction potentielle

V(x,y,z) = somme de F dr et donc dV/dr = F ( en vecteur)


La vitesse du mobile se decompose selon 2 vecteurs perpendiculaires
La vitesse tangencielle egale à r d (teha)/dt et une vitesse portée par OM et egale à dr/dt

On peut donc ecrire
E = 1/2 m ( (dr/dt)² + r² (d(tetha)/dt )² ) + V(x,y,z)

La loi des aires impose r² d(tetha) /dt = cte

Alors dt = r² d(tetha)/ cte

L'energie s'ecrit alors
E = 1/2 m( cte² /(r²*r²) (dr/d(tetha))² + cte² /r² ) + V(x,y,z)

On pose 1/r = u et donc du = - 1/r² dr

Alors E s'ecrit

E = 1/2 m cte² ( (du/d(tetha))² + u² ) + V(x,y,z)


Si tu es OK jusque là on pourra continuer.....