La plateforme tournant d'Albert Einstein

[invite2eb24907]

Cherchant a comprendre l'effet d'une accélération sur le changement de référentiel, Einstein a imagine une plateforme tournante

D'abord, l'explication de la plateforme (par Einstein lui-même et ensuite par Wikipedia) :

Considérons une immense plateforme (T) animée, par rapport à un système (S) galiléen, d'un mouvement de rotation uniforme.
Un physicien travaille sur la plateforme, mais rapporte ses mesures au système (S). Le physicien est soumis à une « force centrifuge », mais il peut aussi assimiler « la force » qui s'exerce sur lui à l'action d'un champ de gravitation particulier : ce champ, nul au centre de (T), croît le long du rayon linéairement en raison de la distance au centre ; ce n'est donc pas un champ newtonnien, mais, d'après le principe de Relativité, la loi générale qu'il s'agit de découvrir expliquera ce genre de champ aussi bien qu'elle le fait pour les autres.

Considéronsles mesures du temps et d'espace du physicien. Il place 2 horloges identiques, l'une H1au centre de la pla teforme, l'autre H2au bord.
La première est immobile par rapport à (S), la seconde est en mouvement avec une vitesse circonférentielle proportionnelle à sa distance du centre(car (T) tourne). Pendant un temps très court, le déplacement de H2pourra être assimilé(comme celui de la Terre autour du Soleil) à un mouvement de translation : la Relativité restreinte s'appliquera dans le système (S), ce qui revient à dire que l'horloge H2retardera par rapport à l'horloge H1(contraction du temps propre).
Le physicien constatera ce phénomène et, puisque les effets du mouvement sont analogues à ceux d'un champ,il conclura que les horloges retardent dans les champs de gravitation.
Cependant, les horloges immobiles le long du rayon entre H1et H2seront en désaccord entre elles puisque le champ croît le long du rayon ; il n'est pas possible d'avoir un temps unique dans toute l'étendue d'un système non-galiléen. Il y a là une grande difficulté.

Maintenant, supposons que le physicien mesure avec une règle les dimensions de sa plateforme. Quand il pose la règle le long du bord (la circonférence de H2), cette règle qui se déplace dans le sens de sa longueur, est raccourcie par rapport à (S). Au contraire, s'il la pose selon le rayon, il n'y a pas de contraction. Donc, si le physicien effectue le quotient entre la longueur de la circonférence et son diamètre sera un nombre supérieur à ?.
Ainsi, dans un champ de gravitation les propriétés de la géométrie euclidienne cessent d'être rigoureusement vraies car la métrique ne peut être la même dans toutes les directions. Dans un champ de gravitation, non seulement il n'y a plus de parallèles, mais la notion de ligne droite perd sa signification ; les systèmes de coordonnées utilisables ne sont plus cartésiens, et il faut faire appel aux coordonnées curvilignes de Riemann pour définir l'espace-temps à quatre dimensions

source: http://querleu.centerblog.net/7-comp...e-3ieme-partie

Expert en expériences par la pensée, Einstein imagina un disque en rotation regardé par un expérimentateur placé en son centre et tournant avec : comme pour Huygens, il y a une force centrifuge au niveau du périmètre qui est perçue comme une force gravitationnelle (car la masse gravifique et la masse inerte sont égales par hypothèse). De plus, en voulant rester dans le cadre de la relativité restreinte, il conclut que l'observateur doit constater la réduction du périmètre mais pas du rayon : ce n'est pas possible dans un espace plat. Conclusion : la gravitation oblige à utiliser une géométrie non-euclidienne.

source: http://fr.wikipedia.org/wiki/Relativ...%A9n%C3%A9rale

On a donc 2 referentiels:
- (S) qui est fixe et inertiel,
- (T) qui est en rotation par rapport a (S) et donc non inertiel.

Je ne comprends pas comment Einstein arrive a mesurer des longeurs differentes autrement qu'en melangeant les referentiels.

Car si on ne melange pas les referentiels:
- Lorsqu'on mesure les longeurs depuis (S), tous les points en rotations ont une vitesse lineaire, donc a part le centre, toutes les dimensions de la plateforme varie proportionellement au rayon.
- Lorsqu'on mesure les longeurs depuis (T), tous les points sont immobiles et les dimensions de la plateforme sont constantes.

Merci
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[invite2eb24907]

Personne ne s’intéresse aux raisons qui a poussé Einstein a considérer l'espace-temps comme courbe ?

[invite64686f3d]

Bonjour,

- Lorsqu'on mesure les longeurs depuis (S), tous les points en rotations ont une vitesse lineaire, donc a part le centre, toutes les dimensions de la plateforme varie proportionnellement au rayon.

Qu'est-ce qui te gêne là-dedans ?
En fait, ta phrase n'est pas tout à fait vraie. Tout point du disque est animé d'un mouvement de rotation, et chacun de ces points possèdent une trajectoire qui peut être considérée comme rectiligne uniforme sur un temps très court oui. Cela dit, pour chacun de ces points, toutes les dimensions ne seront pas affectées de la même façon par la relativité restreinte. Toute longueur le long de la trajectoire de ces points sera contractée, mais pas les autres, donc ni le rayon, ni l'épaisseur du disque ne seront affectées...

[invite2eb24907]

Ce qui me gêne c'est la conclusion suivante :

Donc, si le physicien effectue le quotient entre la longueur de la circonférence et son diamètre sera un nombre supérieur à PI.
Ainsi, dans un champ de gravitation les propriétés de la géométrie euclidienne cessent d'être rigoureusement vraies car la métrique ne peut être la même dans toutes les directions

Je suis tout a fait d'accord que cette conclusion, ainsi que celle sur le temps, est vraie par rapport au référentiel (S) et fausse par rapport au référentiel (T), ou tout est immobile.

Or nous vivons dans le référentiel accéléré (T) et on constate la contraction des longueurs (et aussi le ralentissement du temps) tous les jours.

Donc ce qui me gêne, c'est le sentiment qu'Einstein a montré l'inverse de ce qu'il voulait démontrer.

Eric Saint-Etienne

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2eb24907]

Correction du message précédent : je ne suis pas "tout a fait" d'accord avec la conclusion, car cette expérience ne prouve pas que les différences de mesures sont dues a l'accélération, tous les points de la plateforme ayant une vitesse constante : on retrouve ces différences géométriques a vitesse constante pour un objet en ligne droite également (donc sans accélération et dans un référentiel inertiel)

Pour moi les différences de longueur (et de temps) ne sont dues qu'aux vitesses linéaires (le principe de relativité), non pas a l'accélération.
Qu'en pensez-vous ?

[mach3]

tous les points de la plateforme ayant une vitesse constante

en norme seulement, pas en direction. Le vecteur vitesse n'est pas constant lui.

m@ch3

[invite2eb24907]

Merci pour ta réponse Mach3, mais on ne joue pas au jeu des différences, il s'agit d'expliquer et d'étayer en reliant la direction de la vitesse a l'accélération pour que je puisse comprendre.

Or on retrouve les différences géométriques a vitesse constante pour un objet en ligne droite également (et sans accélération qui plus est).
La direction du vecteur vitesse n'est donc manifestement pas un critere déterminant, la preuve est que seule la norme du vecteur vitesse figure dans le facteur de Lorentz (de la relativité restreinte).

Eric Saint-Etienne

[invite64686f3d]

Merci pour ta réponse Mach3, mais on ne joue pas au jeu des différences, il s'agit d'expliquer et d'étayer en reliant la direction de la vitesse a l'accélération pour que je puisse comprendre.

Tu ferais mieux au contraire de faire attention à ce que vient de dire Mach3. De manière générale, ce sont des petites nuances dans la formulation qui sèment le trouble dans la compréhension.

Ici, la contraction des longueurs est bel et bien le résultat de la relativité restreinte. Mais il faut que tu relises le début de ton propre post pour comprendre l'intérêt de l'expérience de pensée du disque tournant :

Considérons une immense plateforme (T) animée, par rapport à un système (S) galiléen, d'un mouvement de rotation uniforme.
Un physicien travaille sur la plateforme, mais rapporte ses mesures au système (S). Le physicien est soumis à une « force centrifuge », mais il peut aussi assimiler « la force » qui s'exerce sur lui à l'action d'un champ de gravitation particulier

Autrement dit, observer un disque tournant revient à observer un champ de gravitation particulier. Or, grâce à la relativité restreinte, tu viens de comprendre comment agit la contraction des longueurs dans ce système : le rapport circonférence/diamètre d'un cercle dans ce champ est modifié par rapport à ce que ça donnerait dans un espace euclidien. Conclusion : la métrique en présence d'un champ de gravitation n'est pas la métrique euclidienne !

[invite2eb24907]

Merci pour l'explication, j'avais tort : la métrique est bien changée, mais uniformément par un mouvement de translation linéaire non-accéléré, si bien que l'espace reste euclidien dans ce cas.

1/ Le lien entre l'accélération et le changement de métrique n'est pas direct, ni évident. N'y a t'il pas une démonstration possible permettant de prouver que c'est bien l'accélération qui déforme la métrique et pas le mouvement de rotation uniforme, la force centripete, la force centrifuge, ou bien meme la couleur de la plateforme lorsqu'elle est peinte en deux couleurs graduellement selon le rayon (c'est volontairement absurde) ?

2/ L'exemple de la plateforme est compréhensible et appréhensible, car il fait intervenir des vitesses, qui causent directement la déformation des mesures et du temps. Peut-on alors en conclure que l'espace-temps est modifié par cette accélération (celle due a la rotation uniforme) ?
- Si oui : alors il n'y a pas que la masse qui crée un déformation de l'espace-temps (du a la gravité)
- Si non : pourquoi conclure de cette experience que la gravitation, qui n'est qu'une forme d'accélération selon Einstein, déforme l'espace temps (alors que la plateforme ne le fait pas) ?

(comprenez-moi, je ne cherche pas a prouver que ce génie d'Einstein avait tort, bien au contraire, car il est admis que ses théories sont justes. Je cherche simplement a comprendre le cheminement, la demarche, qui l'a mené jusqu'a la relation entre gravitation et deformation de l'espace-temps a partir de la relativité restreinte)

Merci

Eric saint-Etienne

[invite473b98a4]

Bonjour, j'ai fait une erreur semblable il y a deux ans lors d'un exercice où nous étions pourtant guidés.
Pour avoir une démonstration c'est assez simple, il faut prendre en compte la relativité restreinte et un élément de longueur infinitésimal. On connait la loi de transformation des longueurs quand on passe d'un référentiel à l'autre. Néanmoins il faut que nous soyons dans des référentiels inertiels pour le faire, or dans T on y est clairement pas. Dans quelle mesure peut on considérer que l'on est dans un référentiel inertiel? Pourvu que les longueur ne soit pas trop grandes, je dirais qu'il faut que le rapport longueur /rayon soit très petit, d'où que l'accélération fasse peu varier la vitesse selon moi. Ensuite on a vraiment déjà un référentiel inertiel S. Comme on connait forcément la longueur du rayon car la RR nous dit qu'il ne varie pas dans S, on connait aussi fatalement la longueur du disque 2 pi R, donc malgré les lois de transfo le rayon du disque dans S ne varie pas avec la vitesse, et comme on a une transformation pour les longueurs infinitésimales, et que R ne bouge pas non plus dans T on a la longueur du périmètre dans T , on voit donc que dans le référentiel accéléré, le périmètre est plus faible mais le rayon n'a pas changé, donc l'espace est courbé. En appliquant les formules comme une brute, j'avais trouvé exactement le contraire en fait car selon moi il n'y en avait qu'un qui percevait le champ grav comme une accélérration, c'est l'observateur de S, et on fait le contraire de ce qu'il faut. La nature n'est pas méchante, elle est subtile.

[invite2eb24907]

Merci pour ton explication, je pense que c'est on ne peut plus clair maintenant

Toutefois tu suppose que le phénomere de déformation de l'espace et du temps est du a l'accélération, or je ne vois nulle part l'accélération intervenir dans les formules de distance, mais la vitesse oui, qui est constante en norme, et dont la direction est perpendiculaire a l'accélération (qui est excentrique quant a elle).

Deuxieme point, tu dis que l'accélération déforme l'espace et le temps, alors il n'y aurait pas que la masse qui déforme l'espace-temps ?

Merci

Eric Saint-Etienne

[chaverondier]

Il faut que nous soyons dans des référentiels inertiels pour le faire

Non. Dans un référentiel non inertiel, la distance entre deux observateurs infiniment voisins (à un instant t donné associé à l'un des observateurs) c'est la moitié du temps d'aller-retour de la lumière multipliée par la vitesse de la lumière (c'est une définition de la métrique spatiale dans ce référentiel, une notion locale donc).

La définition de la distance entre observateurs non voisins (une notion globale) existe notamment (et peut se définir par intégration) quand la métrique spatiale définie ci-dessus est indépendante du temps (on peut aussi la définir dans le cas plus général où l'expression de la métrique spatio-temporelle est stationnaire et même dans des référentiels où l'expression de la métrique spatio-temporelle n'est pas stationnaire, mais tels que ce référentiel possède un feuilletage othogonal en feuillets 3D de simultanéité. Je ne détaille pas)

Dans le référentiel tournant, le périmètre est plus faible.

Non, c'est au contraire le mètre tournant (sous entendu libre de contrainte) qui est plus court (quand il est orienté en direction circonférentielle, la direction selon laquelle il subit la contraction de Lorentz lors de sa mise en vitesse). Donc le périmètre mesuré avec un mètre tournant est vu plus grand par un observateur tournant (mesurant ce périmètre avec un mètre tournant raccourci par la contraction de Lorentz). Son rayon est vu, par l'observateur tournant, comme ayant la bonne longueur (son mètre tournant ne subit pas de contraction de Lorentz dans ce sens lors de sa mise en vitesse de rotation et ne s'allonge pas si on prend la précaution de compenser la force centrifuge pour le maintenir libre de contrainte ou encore, si on effectue des mesures de distance de proche en proche par mesures du temps d'aller retour laser entre observateurs tournants voisins)

Sinon, oui, l'espace métrique 3D associé au référentiel tournant (espace 3D (dont les points sont les observateurs) muni de la métrique spatiale induite par la métrique spatio-temporelle de Minkowski) est un espace 3D de courbure spatiale négative.

Le périmètre d'un cercle de rayon R y est, en effet, vu supérieur à 2 pi R par les observateurs tournants (alors que ce même cercle est vu comme de circonférence 2 pi R par les observateurs au repos dans le référentiel inertiel dans lequel l'axe du référentiel tournant est immobile)

[invite2eb24907]

chaverondier, pourrais-tu aussi jeter un oeil a mes questions stp ?

Merci

[invite473b98a4]

Ben tu peux dire ce que tu veux chaverondier, "non" "non", mais ce que je dis est vrai, on ne sait pas à quoi tu dis non.

1) je parle de comparer les longueurs et d'utiliser les formules de la relativité restreinte, il faut utiliser des référentiels inertiels.

Le référentiel tournant n'est pas inertiel, mais sur une petite longueur on peut faire coincider deux mesures entre les deux référentiels, pour peu que la longueur soit assez faible pour que la vitesse soit presque linéaire (ne change pas de direction).

2) Non le périmètre le plus court est celui mesuré dans T. C'est dans T que la métrique est courbée.

Il sagit justement d'utiliser les outils que Einstein avait à l'époque, cad la relativité RESTREINTE, pour découvrir non pas une solution exacte, mais la preuve que la gravitation courbe l'espace temps.

[invite2eb24907]

Concernant le deuxieme point, tu t'égares : dans (T) la plateforme est immobile. On y mesure donc les distances propres qui sont les plus grandes qui soient.
En revanche, dans (S) les points de la plateforme sont animés d'une vitesse non nulle, donc les distances mesurées depuis ce référentiel suivent la formule de Lorentz de la relativité restreinte.
Le périmetre mesuré dans (S) est donc effectivement plus petit que s'il était mesuré dans (T).

J'espere qu'une fois que vous serez tombés d'accord sur ces détails, vous pourrez enfin répondre a mes questions ^^ (et qu'on pourra ainsi finalement mettre un terme a ce thread)

Eric Saint-Etienne

[invite473b98a4]

Et bien j'ai fait une erreur en refaisant le calcul de tête , puisqu'en fait effectivement il est plus grand, et non plus petit mais le principe c'est bien ce que j'ai dit, on a:

avec
dans S, "longueur impropre mais avec simultanéité"
et longueur propre, mais sans simultanéité (car il n'est pas inertiel) On fait correspondre les deux calculs et comme on SAIT que par intégration, le périmètre dans S est , on obtient
. Où P est cette fois le périmètre dans T Désolé, je jure avoir voulu dire ça je le jure je le jure. mais si il faut relire...

Le référentiel tournant n'est pas inertiel, mais sur une petite longueur on peut faire coincider deux mesures entre les deux référentiels, pour peu que la longueur soit assez faible pour que la vitesse soit presque linéaire (ne change pas de direction).

Ensuite on a vraiment déjà un référentiel inertiel S. Comme on connait forcément la longueur du rayon car la RR nous dit qu'il ne varie pas dans S, on connait aussi fatalement la longueur du disque 2 pi R, donc malgré les lois de transfo le rayon du disque dans S ne varie pas avec la vitesse,

Il aurait fallut que je repose le calcul à la main, je ne me souvenais pas bien du résultat, et j'ai du faire une inversion.

Donc oui il est plus petit dans S erratum, mais il vaut 2 pi R

[invite2eb24907]

Tu suppose que le phénomere de déformation de l'espace et du temps est du a l'accélération, or je ne vois nulle part l'accélération intervenir dans les formules de distance, mais la vitesse oui, qui est constante en norme, et dont la direction est perpendiculaire a l'accélération (qui est excentrique quant a elle).

Deuxieme point, tu dis que l'accélération déforme l'espace et le temps, alors il n'y aurait pas que la masse qui déforme l'espace-temps ?

Merci

Eric Saint-Etienne

[invite473b98a4]

Bonsoir, merci de ne pas tenir trop rigueur de cette monumentale erreur, et de faire comme si j'étais expert . On a une formule purement cinématique (dans S) si tu veux parler de formule, et ce n'est pas juste un passage de l'une à l'autre mais quelque chose d'obligatoire, mais le point n'est pas là, ON SAIT que l'observateur tournant accélère dans S, et même en physique de Newton on peut définir un référentiel non inertiel, ou être comobile si tu préfère, dans lequel on n'a pas d'accélération / variation de vitesse. Par contre on a des forces d'inertie, et par le biais du principe d'équivalence forte entre accélération et gravité ces forces d'inertie sont la gravité, d'où la gravité courbe l'espace temps (ce qui est un gros postulat mine de rien) . Mais il faut voir que ça n'est pas un cadre parfait pour la RR et ça n'est pas une résolution de la RG, ça ne sert donc qu'à montrer quelque chose de qualitatif, ça n'est pas bien propre de passer d'un référentiel non inertiel à un référentiel inertiel par les transfo de lorentz, peut être qu'un résultat de RG donne quelque chose d'un peu différent. En RG en vraie RG, la gravité courbe l'espace temps de façon sensible sur le tenseur de Riemann. Et même probablement que la quantité d'énergie du manège tournant influe la courbure dans S qui n'est donc plus minkowskien.

[invite2eb24907]

Merci pour votre réponse éclairante a plus d'un titre.

Toutefois je fais encore appel a vous, car je ne parviens pas a comparer l’accélération du disque tournant et la gravité terrestre :

Dans le référentiel non-inertiel tournant (T), toutes les distances (et les mesures de temps) sont propres, la relation est conservée dans (T).
Il n'est par conséquent pas possible de mesurer la courbure de l'espace-temps dans ce référentiel.

Or sur Terre, tout est soumis a la gravité, qui est assimilable a une accélération pure en vertu du principe d’équivalence forte comme vous l'avez rappelé, mais il est possible de constater et de mesurer des variations de temps et, je suppose, de distance.
Sur Terre, on peut par conséquent mesurer la courbure de l'espace temps induite par sa gravité.

Je n'arrive pas a m'expliquer d'ou provient cette différence.

Eric Saint-Etienne

[chaverondier]

Mais il faut voir que ça n'est pas un cadre parfait pour la RR et ça n'est pas une résolution de la RG, ça ne sert donc qu'à montrer quelque chose de qualitatif.

On n'a pas besoin de la Relativité Générale pour définir la métrique spatiale d'un référentiel tournant dans l'espace-temps de Minkowski. La Relativité Restreinte suffit puisqu'on a pas encore introduit de masse.

Par contre, si l'on veut calculer le comportement d'un disque tournant possédant une masse, on est (théoriquement), obligé de passer en Relativité Générale. Cela dit on peut tout à fait modéliser, en restant en Relativité Restreinte, la dynamique d'évolution d'une masse ponctuelle soumise à des actions tendant à l'accélérer. De ce fait, la majorité des effets relatifs à un disque tournant matériel peut être très correctement approchée en restant dans le cadre de la RR (en négligeant l'attraction relative entre les masses constituant le disque matériel).

Bien sûr, on ne modélisera pas les ondes gravitationnelles émises par le disque (du fait de sa rotation) mais bon, considérer ce type de phénomène, ce serait vraiment aller beaucoup trop loin par rapport à un objectif plutôt centré sur le caractère non relatif de la contraction de Lorentz lors de la mise en rotation d'un disque matériel tournant (ou, beaucoup plus simplement, d'un anneau tournant maintenu dans un état libre de contrainte par des forces centripètes appropriées par exemple).

1/ Comprendre que mettre un anneau matériel mince et homogène de rayon initial R0 en rotation à la vitesse angulaire oméga tout en le soumettant à un champ de forces centripètes le maintenant dans un état libre de contrainte conduit à un anneau de rayon R = R0 [1 - (omega R/c)²]^1/2 du point de vue de l'observateur non tournant (l'observateur tournant, avec son mètre raccourci par la contraction de Lorentz dans la direction circonférentielle mais pas dans la direction radiale, ayant l'impression que le rayon de son anneau a raccourci, mais la circonférence de l'anneau non)

2/ Comprendre que mettre une tige matérielle mince et homogène de longueur initiale 2 R0 en rotation autour de son milieu tout en la soumettant à un champ de forces centripètes la maintenant dans un état libre de contrainte conduit à laisser sa longueur 2 R0 inchangée

3/ Comprendre que mettre un disque matériel, élastique, linéaire, isotrope (initialement sans précontraintes internes) en rotation tout en le soumettant à un champ de forces centripètes minimisant son énergie de déformation élastique conduit à mettre ce disque dans un état :

• de traction circonférentielle,
• de compression radiale (dès que l'on n'est plus sur le bord)

4/ Calculer (une bonne approximation relativiste de) la géométrie du disque obtenue, la circonférence du disque s'avérant, pour l'observateur non tournant, raccourcie d'un quart de la contraction de Lorentz relative à la vitesse périphérique de rotation

c'est (à mon avis) déjà pas mal.

[invite473b98a4]

Bonjour, et bien finalement... nous ne sommes vraiment pas d'accord:

On n'a pas besoin de la Relativité Générale pour définir la métrique spatiale d'un référentiel tournant dans l'espace-temps de Minkowski. La Relativité Restreinte suffit puisqu'on a pas encore introduit de masse.
Par contre, si l'on veut calculer le comportement d'un disque tournant possédant une masse, on est (théoriquement), obligé de passer en Relativité Générale.

Le point n'est pas là, pour établir la simultanéité et faire des mesures de longueur, on doit le faire le long de trajectoires qui sont maintenant courbes (et donc plus longues effectivement) dans le référentiel tournant (je dirais: voir landau lipfshitz). On peut utiliser des métriques minkowskiennes ou assimilé dans un repère non inertiel, mais c'est une approximation.


Pour le reste je vous renvoie à ceci:
http://www.dept.phys.univ-tours.fr/i...gr_corrtd5.pdf

exercice 2

La direction radiale est donc toujours perpendiculaire au mouvement, ce qui implique que la longueur propre dl = dr lorsque d phi = 0 . En d'autres termes, il n'y a pas de contraction de Lorentz du rayon r du cercle et un observateur attaché au manège est d'accord avec un observateur attaché au sol.

Donc il n'y a pas contraction du rayon. Je reviens à l'histoire de simultanéité, pour mesurer une distance en RG il faut prendre un élément de longueur infinitésimal, car le système avec lequel on mesure les distances dépend des coordonnées. On ne peut pas l'utiliser pour mesurer "tout" l'espace car il change en fonction du point. On doit pouvoir définir une distance égale à 2 pi R dans T pourvu qu'on impose à R de ne rien représenter comme dans le cas de scharzschild où on impose que la surface soit égale à 4pi R^2 ce qui définit R. ce R n'a aucune signification en terme de longueur/rayon. et on ne compare pas des longueurs intégrées sur trop de distances en RG car le système de coordonnées est local.

[invite60be3959]

Bonjour,

On n'a pas besoin de la Relativité Générale pour définir la métrique spatiale d'un référentiel tournant dans l'espace-temps de Minkowski. La Relativité Restreinte suffit puisqu'on a pas encore introduit de masse.

Le fait qu'on ai pas introduit de masse ne justifie pas à lui seul, le fait que la RR suffise. Si le référentiel étudié est non-inertiel, implique, en toute rigueur, que la RR soit insuffisante à l'étude d'un tel système. Or en ce qui concerne le référentiel tournant, il se trouve qu'une extrapolation de la RR fonctionne. Cela est dû au fait qu'un arc de cercle infinitésimal est assimilable à l'intervalle infinitésimal d'une droite.

1/ Comprendre que mettre un anneau matériel mince et homogène de rayon initial R0 en rotation à la vitesse angulaire oméga tout en le soumettant à un champ de forces centripètes le maintenant dans un état libre de contrainte conduit à un anneau de rayon R = R0 [1 - (omega R/c)²]^1/2 du point de vue de l'observateur non tournant (l'observateur tournant, avec son mètre raccourci par la contraction de Lorentz dans la direction circonférentielle mais pas dans la direction radiale, ayant l'impression que le rayon de son anneau a raccourci, mais la circonférence de l'anneau non)

Il y a une contradiction dans ce que tu dis, à moins que j'ai mal compris. Les observateurs tournant et non tournant mesurent le même rayon pour le disque(ou l'anneau), puisque à chaque instant, tout rayon est orthogonal au mouvement. Mais c'est bien le périmètre, du point de vue de l'observateur tournant, qui sera mesuré plus grand que l'observateur non tournant. Réciproquement, l'observateur non tournant verra un périmètre contracté par rapport à celui habituellement mesuré dans un espace euclidien. Voir le lien fournit par Kalish.

[chaverondier]

Le point n'est pas là, pour établir la simultanéité et faire des mesures de longueur

On n'a pas besoin de la notion globale de simultanéité pour définir une métrique spatiale dl^2 (dépendante de l'instant où on la mesure par contre et non pas seulement des observateurs voisins considérés) car c'est une notion locale comme le précise d'ailleurs une partie de votre remarque ("pour mesurer une distance en RG il faut prendre un élément de longueur infinitésimal". Toutefois, cette remarque reste valide dans le cas particulier d'un référentiel non inertiel dans l'espace temps de Minkowski).

Voir Landau et Lifchitz, tome 2 théorie de champs, 4ème édition § 84 distances et intervalles de temps. La distance dl entre deux observateurs "voisins" d'un référentiel donné y est définie comme la moitié du temps d'aller-retour d'un signal lumineux multipliée par c.

Maintenant, un référentiel dans un espace-temps 4D pseudo-riemannien quelconque est un feuilletage 1D. C'est donc une variété 3D (1) dont les "points" sont les feuillets 1D en question (c'est à dire les observateurs au repos dans le référentiel). On peut munir un référentiel donné d'un espace-temps pseudo-riemannien donné (qu'il soit le cas particulier de l'espace-temps de Minkowski ou pas) d'une métrique spatiale quand, notamment, les feuillets 1D (les observateurs) sont de type temps (on dit alors qu'ils sont réels) ET quand la distance dl entre observateurs voisins du référentiel ne dépend pas du temps.

C'est le cas, notamment, dans le référentiel tournant dans l'espace-temps de Minkowski où la longueur d'une courbe quelconque s'obtient alors en intégrant dl le long de cette courbe. Pour la circonférence d'un cercle de rayon R, mesurée par les observateurs au repos dans un référentiel tournant à vitesse angulaire oméga autour du centre de ce cercle, cela donne un périmètre C = 2 pi R / (1-v^2/c^2)^1/2 > 2 pi R où v = oméga R (et ce n'est pas une approximation).

Ce R n'a aucune signification en terme de longueur/rayon.

Dans le référentiel tournant si. En effet, radialement, il n'y a pas de contraction de Lorentz du mètre dans ce référentiel comme le signale d'ailleurs votre commentaire (et contrairement à ce qui se passe dans la direction radiale dans le référentiel de Schwarzschild de l'espace-temps de Swcharzschild, voir plus loin les détails à ce sujet)

On doit pouvoir définir une distance égale à 2 pi R dans T pourvu qu'on impose à R de ne rien représenter.

Ce n'est pas nécessaire. En effet, dans le référentiel de Schwarzchild d'un espace-temps de Schwarzschild on a, dans la direction radiale, dl = dR/(1-v^2/c^2)^1/2 (où v^2/2 = G M/R correspond à la vitesse de libération, soit aussi la vitesse de chute libre d'un observateur de Lemaître, donc, finalement, la vitesse v d'un observateur de Schwarzschild vis à vis du référentiel privilégié de l'espace-temps de Schwarzschild (2). Dans le référentiel tournant, au contraire, on a : dl = dR (comme vous le faites remarquer d'ailleurs) et la longueur du rayon du cercle de rayon R (du point de vue des observateurs non tournants) se trouve valoir aussi R pour les observateurs tournants.

(1) Cette variété est appelée variété quotient, cf structure of dynamical systems, JM Souriau, ed Birkhäuser, § 5 foliation of a manifold, the quotient of a manifold by a foliation

(2) Le référentiel de Lemaître est le référentiel privilégié de l'espace-temps de Schwarzschild. En effet, il joue un rôle similaire aux référentiels inertiels de l'espace-temps de Minkowski. Par contre il est unique à posséder les propriétés suivantes :
* être un référentiel chute libre,
* posséder un feuilletage orthogonal en feuillets 3D de simultanéité,
* ces feuillets 3D étant séparés par une durée propre identique pour tous les observateurs,
* les observateurs au repos dans ce référentiel restant à distance constante loin de la singularité,
d'où l'effet de contraction de Lorentz du mètre de l'observateur de Schwarzschild en direction radiale induite par leur vitesse relative v vis à vis de ce référentiel privilégié.

le système avec lequel on mesure les distances dépend des coordonnées.

Non, le choix d'un système de coordonnées pour repérer les évènements dans un espace-temps présente un caractère arbitraire, mais pas la distance séparant deux observateurs voisins d'un référentiel donné à un instant donné (il s'agit de l'instant relatif à ces deux observateurs. Pas besoin d'une notion de simultanéité globale étendant la notion d'instant à tout le référentiel. Le référentiel tournant ne possède d'ailleurs pas de feuilletage en feuillets 3D de simultanéité dont les observateurs seraient les trajectoires orthogonales (contrairement au référentiel de Schwarzschild).

[chaverondier]

Si le référentiel étudié est non-inertiel, cela implique, en toute rigueur, que la RR soit insuffisante à l'étude d'un tel système.

Pas d'accord, mais j'ai le sentiment qu'il s'agit plus d'un désaccord sur le choix des mots (et c'est probablement la même chose avec Kalish sur ce point précis). Dès le moment où on estime que se servir des outils mathématiques s'appliquant aux variétés c'est passer en Relativité Générale, alors il faut aller plus loin et affirmer que l'on ne peut même pas parler de référentiel non inertiel en restant dans le cadre de la Relativité Restreinte.

Les observateurs tournant et non tournant mesurent le même rayon pour le disque (ou l'anneau).

Tout à fait, et le rayon d'un anneau matériel mis en rotation jusqu'à une vitesse de rotation constante (le cas du disque est beaucoup plus complexe. Il nécessite en effet de prendre en compte le comportement élastique du disque) est contracté par la contraction de Lorentz si, toutefois, on lui applique des forces centripètes annulant sa contrainte de traction (sinon il se dilate au contraire, et ce, de façon bien plus importante).

Mais c'est bien le périmètre, du point de vue de l'observateur tournant, qui sera mesuré plus grand que celui mesuré par l'observateur non tournant.

Tout à fait, et la circonférence d'un anneau matériel tournant (contractée par la contraction de Lorentz si les forces centripètes annulent la contrainte de traction) est vue comme mesurant :
* 2 pi R/[1 - (oméga R/c)^2)^1/2] = 2 pi R0 par l'observateur tournant (il ne sait donc pas que la circonférence de son anneau a été contractée par la contraction de Lorentz et s'en étonne puisqu’il constate que le rayon, lui, est contracté)
* 2 pi R = 2 pi R0 [1 - (oméga R/c)^2)^1/2] < 2 pi R0 par l'observateur non tournant,
où R0 désigne le rayon de l'anneau mince matériel avant sa mise en rotation.

Voir disque tournant relativiste élastique linéaire isotrope pour le cas beaucoup plus complexe d'un disque matériel, élastique, linéaire, isotrope, mis en rotation (en lui appliquant des forces centripètes minimisant son énergie de déformation) http://lebigbang.pagesperso-orange.fr/disque.htm

[invite60be3959]

Bonjour,

Tout à fait, et le rayon d'un anneau matériel mis en rotation jusqu'à une vitesse de rotation constante (le cas du disque est beaucoup plus complexe. Il nécessite en effet de prendre en compte le comportement élastique du disque) est contracté par la contraction de Lorentz si, toutefois, on lui applique des forces centripètes annulant sa contrainte de traction (sinon il se dilate au contraire, et ce, de façon bien plus importante).

Tout à fait, et la circonférence d'un anneau matériel tournant (contractée par la contraction de Lorentz si les forces centripètes annulent la contrainte de traction) est vue comme mesurant :
* 2 pi R/[1 - (oméga R/c)^2)^1/2] > 2 pi R0 par l'observateur tournant (il ne sait donc pas que la circonférence de son anneau a été contractée par la contraction de Lorentz et s'en étonne puisqu’il constate que le rayon, lui, est contracté)
* 2 pi R = 2 pi R0 [1 - (oméga R/c)^2)^1/2] < 2 pi R0 par l'observateur non tournant,
où R0 désigne le rayon de l'anneau mince matériel avant sa mise en rotation.

il y a un problème là ! Vous dîtes être tout à fait d'accord avec le fait que le rayon n'est pas contracté, mais dîtes l'inverse quelques lignes plus tard !? J'ai l'impression que vous faîtes une "mésinterprétation" de l'expression que vous exposez(j'ai d'ailleurs remplacé le "=" par un ">" dans la citation). C'est comme l'histoire de la masse relativiste et de l'impulsion. On peut "attacher" la facteur de Lorentz soit à la masse, soit à l'impulsion, ce qui a des conséquences différentes sur le plan de l'interprétation physique.
Ici c'est la même chose. Soit vous associez le facteur de Lorentz au rayon, soit vous l'associez au périmètre. Mais il est parfaitement clair que puisque le rayon est à tout moment orthogonal au mouvement, ce ne peut être que le périmètre qui subit une contraction.

D'autre part, ce dont on parle est une expérience de pensée qui sert à faire apparaître très simplement un exemple de géométrie non-euclidienne. En ce sens c'est un cas d'école comme on a pu le voir dans le lien vers le TD proposé par Kalish. Dans cette expérience de pensée, il va de soi que le disque(ou le manège, c'est comme on veut) est infiniment rigide pour éviter de se poser des questions qui n'ont que peu d'intérêt par rapport à l'objectif initial qui est de parler de géométrie non-euclidienne. Quel en serait l'intérêt pratique ? Je ne crois pas que des ingénieurs pensent sérieusement à construire une meuleuse relativiste !

[invite2eb24907]

Merci vaincent pour ton intervention car j'assiste, impuissant, a une dispute surréaliste sur des points de détails, alors que le sujet est ailleurs : comprendre/expliquer (selon le point de vue ^^) comment Albert Einstein en est arrivé a transposer l’accélération de la plateforme a la gravité, chose que je n'arrive pas a saisir tant les deux sont différentes :

- La gravité ne met pas en jeu de vitesses, le support manifeste de la déformation de l'espace-temps dans l’expérience de la plateforme. Comment Albert Einstein en est-il arrivé a la conclusion que c'est la masse qui déforme l'espace-temps ?

- Sur Terre, nous sommes dans un référentiel tournant, or on ressent et mesure la déformation de l'espace-temps (alors que ce n'est pas le cas sur la plateforme). Comment expliquer cette différence ?

Merci
Eric Saint-Etienne

[chaverondier]

Il y a un problème là ! Vous dîtes être tout à fait d'accord avec le fait que le rayon n'est pas contracté!

Je dis tout à fait d'accord avec le fait que le mètre de l'observateur tournant n'est pas contracté dans le sens radial.

mais dîtes l'inverse quelques lignes plus tard !?

C'est l'anneau qui est contracté si on le laisse dans un état libre de contrainte grâce à des forces centripètes appropriées. En effet, la matière de l'anneau est disposée dans la direction circonférentielle. Le rayon de cet anneau est donc contracté et l'observateur tournant le constate puisque son mètre n'est pas contracté dans cette direction

[invite2eb24907]

Mmmm

Je suggère qu'on donne gentiment raison a chaverondier, qu'on en finisse une bonne fois pour toutes,
passons enfin a quelque chose d'utile et de constructif.

Il a hi-jacké ce thread pour pinailler sur des détails, sans jamais répondre aux questions initiales.
Et d'une dispute de chiffonniers a deux, il veux l’élargir a trois... quel est intérêt... ?!
Ce genre de polémique n'est que pure perte de temps.

Eric

[invite60be3959]

Je dis tout à fait d'accord avec le fait que le mètre de l'observateur tournant n'est pas contracté dans le sens radial.

Si le mètre radial de l'observateur tournant n'est pas contracté, il en est de même du rayon, ça va de soi.

C'est l'anneau qui est contracté si on le laisse dans un état libre de contrainte grâce à des forces centripètes appropriées. En effet, la matière de l'anneau est disposée dans la direction circonférentielle. Le rayon de cet anneau est donc contracté et l'observateur tournant le constate puisque son mètre n'est pas contracté dans cette direction

[/quote]

Je ne vois pas comment l'observateur tournant pourrait constater une contraction du rayon, alors que son mètre n'est lui-même pas contracté !? Ça ne vous semble pas contradictoire tout de même ? Mais je crois comprendre votre erreur. Vous imaginez un anneau dont le périmètre est plus petit lorsque celui-ci tourne à des vitesses relativistes (du point de vue d'un observateur inertiel), et donc vous pensez que le rayon doit forcément être lui aussi contracté. C'est vrai qu'à priori comment serait-ce possible autrement ?. Mais le problème est que ça c'est une façon de penser euclidienne. Dans un espace non-euclidien, il n'y a aucun problème pour que le rayon ne soit pas modifié alors que le périmètre, lui, l'est. C'est justement ce que l'on essaye de faire comprendre aux élèves de master 2 lors de l'introduction à la RG : penser non-euclidien afin de lever de faux paradoxes en euclidien. Je vous renvois à la littérature qui traite du sujet (Leite-Lopes, "Théorie relativiste de la gravitation"(éditions masson), R. Hakim "Gravitation relativiste" (éditions cnrs), ou encore le Weinberg qu'on ne présente plus), puisqu'il semblerait que notre discussion porte sur un point de détail pour l'auteur de ce fil, alors qu'il me semble primordial de savoir qui du rayon ou du périmètre est effectivement contracté du point de vue d'un observateur inertiel, mais bon passons.

[invite60be3959]

comment Albert Einstein en est arrivé a transposer l’accélération de la plateforme a la gravité, chose que je n'arrive pas a saisir tant les deux sont différentes :

- La gravité ne met pas en jeu de vitesses, le support manifeste de la déformation de l'espace-temps dans l’expérience de la plateforme. Comment Albert Einstein en est-il arrivé a la conclusion que c'est la masse qui déforme l'espace-temps ?

- Sur Terre, nous sommes dans un référentiel tournant, or on ressent et mesure la déformation de l'espace-temps (alors que ce n'est pas le cas sur la plateforme). Comment expliquer cette différence ?
Merci
Eric Saint-Etienne

Le raisonnement d'Einstein fut le suivant :

- Un disque en rotation (uniforme) implique une géométrie non-euclidienne, courbe, aussi bien pour l'espace que pour le temps(issu de la relativité restreinte)

-Un disque en rotation implique du point de vue de l'observateur positionné sur le disque, une force centrifuge, qui on le rappel est une force d'inertie du point de vue d'un observateur inertiel, mais pas du point de vue de l'observateur tournant. A une force correspond une accélération, et selon le principe d'équivalence fort une accélération est équivalente à un effet de gravitation(la gravitation est équivalente à une accélération comme on le savait depuis Newton : m.g=m.a, encore fallait-il l'ériger au rang de principe fondamental).

Or qu'est-ce-qui est la source de la gravitation ? La masse. Donc réciproquement, une masse courbe l'espace-temps. Enfin, selon la RR, il y a équivalence entre masse et énergie. Donc de façon générale, toute forme d'énergie est susceptible de courber l'espace-temps.