Une montgolfière aux allures de sphère

[Snowey]

Salut à vous, physiciens dans l'âme !
Je suis en train de travailler sur un DM de statique des fluides, sur un exercice très classique d'une montgolfière, mais j'ai quelques questions.
D'abord, voici les hypothèses (en spoiler pour ne pas prendre trop de place):

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L'air est assimilé à un gaz parfait au repos et en équilibre, dont la pression suit une loi du type .
La montgolfière à une masse totale m, et un volume maximal qui est sont volume initial lorsqu'elle est encore au sol.
On suppose enfin qu'elle est gonflée à l'hélium dont on connait la masse volumique, et surtout qu'une soupape assure l'équilibre thermique et mécanique entre l'hélium et l'air extérieur.
Voilà par exemple quelques données supplémentaires que l'on a calculé:
-
- .

Pour travailler, j'ai assimilé la montgolfière à une sphère parfaite à chaque instant, de centre I, à l'intérieur de laquelle le gaz (hélium) est réparti homogènement.
( J'ai notamment la relation où par hypothèse mais pas sûr que celà me serve !)
J'ai un problème quand à l'expression des forces de pression (point d'application et valeur).
Dois je considérer que les forces de pression sont uniquement comprises dans celles de la poussée d'Archimède, et alors écrire qu'elles valent ?

Et sinon, comment pourrais-je les exprimer ?
N'y aurait-il pas une méthode par exemple qui consisterait à travailler sur les surfaces élémentaires de la sphère (en coordonnées sphériques) pour trouver la résultante de la pression et son point d'application ? Quoique les pressions intérieures et extérieures varient, ce qui doit rendre le problème complexe ... Sans compter que la montgolfière n'est pas en équilibre à chaque instant si elle s'élève !
Par exemple, pensez vous qu'il est possible de déterminer (en plus de tout celà), la vitesse du centre de la sphère (supposée absolument sphérique à chaque instant, malgré les variations de pression entre ses pôles) tant qu'elle n'a pas atteint son volume maximal ?

J'espère ne pas vous déranger, mais comme je suis plutôt curieux, j'aime bien me poser des questions (surtout pour les DM ^^), notamment comment calculer plus, ou améliorer les modèles ... tout en restant dans un degré de difficulté raisonnable !

Merci d'avance pour votre aide et vos remarques,

Snowey
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[LPFR]

Bonjour.
La surface d'équilibre d'une montgolfière ou d'un ballon sonde n'est pas une sphère. Elle est (vue avec la tête en bas) plutôt celle d'un sac dans lequel vous auriez mis du gravier.
C'est facile à comprendre: si vous prenez une colonne verticale mince dans la sphère, la différence de pression haut-bas est alors que mesurée à l'extérieur elle est . Une enveloppe souple ne peut pas garder une forme sphérique. Un peu comme les grosses bulles d'air lâchées par les plongeurs, qui prennent plutôt la forme de demi-sphères.

Pour vous calculs, vous pouvez imposer une surface sphérique en imaginant une enveloppe rigide sans masse). Puis calculer les forces de pression aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur. Je vous conseille d'étudier le cas d'une colonne verticale mince.
Vous arriverez par des chemins plus ou moins longs au principe d'Archimède et pourrez présenter votre travail pour être admis à la APM (association des physiciens masochistes)

Vous pouvez inclure l'influence de la variation de densité et température avec la hauteur. Mais cela ne vous servira qu'à être encore mieux vu dans l'APM car, sur une hauteur de montgolfière, cette influence est ridicule.

Le centre de poussée est évidement le centre de gravité de la masse de gaz.
Au revoir.

[Snowey]

Ahah !
Ce sera donc la poussée d'Archimede !
Merci encore ^^

De la part d'un ex-candidat à l'APM, que vous avez remis dans le droit chemin