Aide: cherche équation pour proportions de couleurs moyennées

[adrienlucca]

Bonjour,

un petit problème que ma nullité en maths n'arrive pas à résoudre.


Nous avons quatre couleurs : A, B, C, D

Chacune de ces couleurs possède des coordonnées colorimétriques sous forme d'un triplet : {X;Y;Z}

par exemple :

A= {10;11;12}

B= {20;21;22}

C= {30;31;32}

D= {40;41;42}


Soit une surface de couleur A que nous pouvons recouvrir avec des peintures de couleur B, C et D.



La moyenne de la couleur de la surface aura des coordonnées colorimétriques qui varieront en
fonction des proportions de couleurs A, B, C, D visibles sur cette surface.


Par exemple, si A=1/2, B=1/4, C=1/8, D=1/8

La moyenne sera M= {(10/2+20/4+30/8+40/8);(11/2+21/4+31/8+41/8);(12/2+22/4+32/8+42/8)}

soit : M= {18,75; 19,75; 20,75}


Disons maintenant que je veuille obtenir une moyenne M'= {25;25;25}

Quelle équation devrais-je utiliser?


Merci bcp,
A
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[invite936c567e]

Bonjour

Si a, b, c et d (scalaires) sont les proportions relatives des surfaces de couleurs de coordonnées A, B, C et D (vecteurs) respectivement, alors la couleur moyenne obtenue, de coordonnées M (vecteur), s'écrit :



D'autre part, on doit avoir a+b+c+d=1.

Ces deux conditions peuvent s'écrire sous une forme matricielle :



soit encore :




La méthode de résolution du problème consiste à commencer par tenter de calculer la matrice :



par une opération d'inversion matricielle, puis à déterminer a, b, c et d au moyen de la formule :





... Malheureusement, dans ton exemple les quatre couleurs A, B, C et D présentent des coordonnées alignées, mais pas avec celles de M', ce qui rend impossible la résolution du problème.

Le fait que la matrice constituée soit singulière (i.e. son déterminant est nul) indique que le problème n'admet aucune solution (ce qui est le cas ici avec M'={25;25;25}) ou bien qu'il existe une infinité de solutions (c'était le cas pour M={18,75; 19,75; 20,75}, et c'est vrai plus généralement pour toute couleur moyenne de la forme M={x; x+1; x+2}).

[adrienlucca]

En effet.... il n'y avait pas de solution pour M'={25;25;25}

désolé ça m'avait échappé!


Alors je repose ma question pour ces quatre couleurs :

A={14 9 57} // (bleu)
B={26 44 15} // (vert)
C={37 22 5 } // (rouge)
D={88 93 101} // (blanc)



Disons que je veuille un "gris moyen" aux coordonnées : G={40;42;46}

le solver d'Excel me donne ces résultats:

A 0,051888008
B 0,397618823
C 0,382508239
D 0,167984929


Pourriez-vous m'expliquer comment les ré-obtenir grâce à la méthode que vous aviez décrite?

Merci bcp et bien à vous
A

[invite936c567e]

1. On forme la matrice :



soit ici :



2. On inverse cette matrice, ce qui donne :



3. On multiplie les coordonnées de la couleur moyenne G par la matrice obtenue :



soit ici :



soit approximativement :




La méthode donne par conséquent :

a = 42497/151560 ≈ 0,280397202428081
b = 42610/151560 ≈ 0,281142781736606
c = 29182/151560 ≈ 0,192544206914753
d = 37271/151560 ≈ 0,24591580892056


Par ailleurs on peut vérifier qu'on a bien :

0,280397202428081x14 + 0,281142781736606x26 + 0,192544206914753x37 + 0,24591580892056x88 ≈ 40
0,280397202428081x9 + 0,281142781736606x44 + 0,192544206914753x22 + 0,24591580892056x93 ≈ 42
0,280397202428081x57 + 0,281142781736606x15 + 0,192544206914753x5 + 0,24591580892056x101 ≈ 46

ou mieux, qu'on a très précisément :

(42497x14+42610x26+29182x37+37 271x88)/151560 = 40
(42497x9+42610x44+29182x22+372 71x93)/151560 = 42
(42497x57+42610x15+29182x5+372 71x101)/151560 = 46

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite936c567e]

J'avais oublié... on peut également vérifier qu'on a :

0.280397202428081 + 0.281142781736606 + 0.192544206914753 + 0.24591580892056 ≈ 1

ou que, très précisément :

(42497+42610+29182+37271)/151560 = 1

[invite936c567e]

En revanche, en reprenant le calcul avec ta solution, je trouve que :

0,051888008x14+0,397618823x26+ 0,382508239x37+0,167984929x88 = 40 (Ok)
0,051888008x9+0,397618823x44+0 ,382508239x22+0,167984929x93 = 42 (Ok)
0,051888008x57+0,397618823x15+ 0,382508239x5+0,167984929x101 = 27,8 (Erreur)

[adrienlucca]

Génial! Merci,

j'ai réussi à faire la même chose tout seul pendant que vous répondiez et je vois que je ne me suis pas trompé.

Par contre je m'étais trompé dans ma solution dans le post précédent... désolé!
C'est la première fois que j'utilise ça....



J'ai encore une question subsidiaire :


Imaginons que j'ajoute une couleur, disons du Noir (E)

J'aurai maintenant les couleurs suivantes :

A= {10;11;12}

B= {20;21;22}

C= {30;31;32}

D= {40;41;42}

E= {5;5;6}


Le problème, si j'ai bien compris, c'est que j'ai maintenant une "infinité" de solutions
pour obtenir ma couleur moyenne G= {40;42;46}

à chaque fois que je vais ajouter du noir il faudra diminuer la proportion de RVB, et donc augmenter celle de blanc, etc.

Y-a-t'il un outil ou un ensemble d'outils mathématiques qui me permettent de faire un "mapping" des solutions possibles?

Bien à vous,
Adrien

[adrienlucca]

Bonjour et merci encore,

je n'ai peut-être pas été tout à fait clair dans mon dernier post, je reprends :

J'ai maintenant 5 couleurs : A (bleu), B (vert), C (rouge), D (blanc) et E (noir)

Serait-il possible de pouvoir obtenir les informations suivantes au moyen d'opérations telles que celles que vous m'avez montrées :

Pour G= {40;42;46}


- quelle combinaison donnera la proportion maximale de Blanc ?
- quelle sera celle qui donnera la proportion minimale de Blanc ?


Intuitivement, je pense que plus il y aura de noir, plus il y aura de blanc,
mais j'aimerais :

1. savoir comment les proportions de Rouge/Vert/Bleu vont varier en fonction de ces changements
2. savoir comment transformer ma matrice de calcul en une 5x5 (car si elle mesure 5x4 on ne peut pas l'inverser, si j'ai bien compris ce que j'ai lu ci et là....)


Merci++
A

[invite936c567e]

Dans le principe, l'ajout d'une couleur E supplémentaire se traite par une mise en équation matricielle assez similaire.

La solution s'écrit :



où e devient cette fois un paramètre. Ainsi, on obtient quatre expressions paramétriques linéaires de la forme :



Si A, B, C, D et E correspondent respectivement au Rouge, Vert, Bleu, Noir et Blanc, alors ces expressions donnent les proportions de Rouge/Vert/Bleu/Noir en fonction du Blanc.


Mais compte de la nature du problème, il faut également veiller à ce que les proportions relatives a, b, c, d et e restent toutes positives ou nulles. Ce sont ces cinq contraintes qui déterminent la valeur maximale et la valeur minimale de e (on a e≥–a₀/a₁ si a₁>0 ou e≤–a₀/a₁ si a₁<0, et e≥–b₀/b₁ si b₁>0 ou e≤–b₀/b₁ si b₁<0, etc.).

Si E correspond au Blanc, ces valeurs extrêmes de e déterminent les réponses aux questions :

- quelle combinaison donnera la proportion maximale de Blanc ?
- quelle sera celle qui donnera la proportion minimale de Blanc ?

[invite2313209787891133]

Je ne sais pas si la question se veux purement mathématique ou non, mais dans le cadre d'une moyenne effectuée sur une image par un logiciel de traitement ce n'est pas du tout de cette façon que le calcul est effectué, d'ailleurs la notion de "moyenne" des couleurs d'une image n'a pas vraiment de sens.

[invite936c567e]

Le modèle d'espace colorimétrique XYZ (CIE 1931) a justement été construit de sorte que la loi de Grassmann relative à la superposition linéaire puisse s'appliquer, et autorise ainsi ce type de calcul.

La « moyenne » des couleurs s'entend ici dans le sens d'une synthèse additive de couleurs à partir de composantes définies.

[adrienlucca]

Merci beaucoup!
tout fonctionne très bien
A

[adrienlucca]

Bonjour, c'est pour des mélanges optiques ("moyennes optiques") de couleurs juxtaposées sur papier,
et dans ce contexte ça fonctionne à merveille!

Voir ci-dessous, lien:
http://luccahidef.wordpress.com/2012...aritions-2012/


Bien à vous
Adrien

[adrienlucca]

Bonsoir,

un autre exmeple où cela est mis en oeuvre et fonctionne:

http://adrienlucca.wordpress.com/201...ent-rectangle/

Bien à vous

[adrienlucca]

Bonsoir,

Tout à fait, les lois de Grassmann s'appliquent à ce type de synthèse chromatique tout comme dans la synthèse additive.

Cependant j'ai eu récemment une discussion relative au terme d' "addition" dans ce cas précis, et je préfère parler de "moyenne."
L'addition fait référence à la superposition de lumières sur un même diffuseur, la moyenne à une juxtaposition de sources de lumières
dans un espace plus ou moins restreint, de manière à ce que l'observateur ne puisse pas discerner les composantes du mélange.
Ces sources de lumières peuvent être "primaires" comme c'est le cas des pixels d'un écran ou "secondaires" comme lorsque je fais des
mélanges optiques avec des lignes de peintures sur mes dessins.

Je pense qu'il faut séparer les deux types de synthèse, car dans le cas de l'addition on ajoute de la lumière, tandis que dans le cas de la moyenne
on additionne et soustrait tout à la fois.

Bien à vous,
Adrien

[adrienlucca]

Bonsoir,

Il ne s'agit pas de "moyenne d'une image". La notion de "moyenne des couleurs" est tout à fait appropriée pour décrire ce qui se passe dans chaque pixel d'un écran : il ne s'agit pas d'une "vraie" synthèse additive étant donné que les trois lumières RVB sont juxtaposées. Chaque pixel a une couleur moyenne, résultant d'un mélange optique. Le mélange additif est la superposition de lumières colorées sur un diffuseur ou tout autre surface renvoyant la lumière vers un observateur.

Bien à vous