Compression d'une barre métallique par les extrémités

[inviteec913605]

Bonjour,

Voici une question que j'ai déjà posé ici. La réponse apportée est très intéressante mais pas complète et on m'a donc orienté sur ce forum. Bref, voici ma question :

Soit une barre métallique solide, longue, fine et parfaitement homogène. Plaçons cette barre dans un étau par les deux extrémités et serrons l'étau. Si on sert un peu, la barre se déforme et devint courbe. Si on sert d'avantage, la barre risque de se casser.
Quelle courbe mathématique décrit la forme de la barre lorsqu'elle est courbée par l'étau ? S'agit-il d'une chaînette ?

Merci !
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[Resartus]

Etonnamment, pour un système qui parait aussi simple, il n'y a pas de réponse définitive. Il apparait pour certaines configurations des phénomènes de bifurcation (c'est à dire que pour une même contrainte* aux extrémités, il apparait plusieurs formes stables possibles), voire un système chaotique avec multiplication du nombre de solutions. C'est lié au fait que les équations ne sont pas linéaires.

Dans les cas pas trop contraints, on utilise les approximations dites "d'Euler" qui sont linéaires, et la solution est une courbe composée de sinus. Le type de contrainte aux limites va donner des courbes différentes. Une compression sur un système avec une extrémité libre va donner un quart de sinusoide, un système avec rotules va donner une arche (c'est le cas de votre étau), une fixation de type encastrement aux deux extrémites va donner un sinus à deux arches avec une composante fixe, etc.

*Pour que la configuration n'aboutisse pas à une déformation inélastique, il faut d'une part que le matériau ait une élasticité suffisante, d'autre part que la contrainte imposée soit la distance entre extrémités. Si on impose un effort constant, on arrive rapidement à la casse.

[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
Vous avez le calcul pour le cas simple (faibles déformations) et quelques indications sur la situation générale dans le Feynman :
http://www.feynmanlectures.caltech.e...8.html#Ch38-S5
Au revoir.

[inviteec913605]

Ah, merci beaucoup pour ces réponses précises*! Je comprends mieux pourquoi j'avais tant de mal à trouver une réponse claire, c'est que le problème n'était pas simple.

[A voir en vidéo sur Futura]