Dilation thermique et loi constitutive

[invite07ec9b8a]

Bonjour,
Considérons une barreau de longueur L de section carré (hxh) et consitué d'un matériaux Linéaire Homogène et Isotrope () constants. On applique une élévation de température au barreau libre de toute constrainte (sans supports) donné. Le coefficient de dilation associé est noté . Soit le repère cartésion avec l'axe longitudinale et transversales.
La question est la suivante: l'action de la température induit ou non une contrainte .

Mon raisonnement me conduit à une compression en partant la relation constitutive (avec le terme de Duhamel)
est la matrice 3X3 identité. il faut considérer et comme des tenseurs. Par symétrie et sont diagonales
et


Si on reprend l'équation alors on a:


L'interprétation physique donne un état de compression de tout le barreau, ca me gène j'aurais tendance à penser que sans supports et avec une dilation homogène on se déforme sans contraintes...
Autre remarque, si le barreau est considérer uniquement selon l'axe longi (problème 1D) alors pas de contrainte car avec . cela voudrait dire que lorsque l'on considère le problème en 3D on implique forcement une contrainte (quoique trés petite envion 1Mpa pour de l'aluminium si on fait le calcul...)
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Votre intuition est correcte.
S’il n y a pas de restrictions au changement géométrique, il ne peut pas se créer des contraintes.
Vus devriez revoir vos calculs et surtout les hypothèses utilisées pour déduire les formules de départ que vous avez utilisées.
Au revoir.

[invite07ec9b8a]

Bonjour,
avec les hypothèses:
(1)tenseurs symétriques
(2),

l'histoire se complique si on part de l'hypothèse que les contraintes sont nulles, soit ou encore:



la 2eme et 3eme ligne du système implique que ce qui n'a pas de sens, j'en conclue que l'une des hypothèses est fausse mais laquelle?

Pour préciser votre remarque, il se peut q'un objet soit soumis à une contrainte (due à la température) même sans restriction, si la distribution de la température est inhomogène, ou si le système est composite (composé de deux matériaux différents, lame bimétallique ou bien une inclusion de module d'Young différents...), d'ou une autre question: si mon barreau est courbe (imaginons en demi cercle) est ce que la géométrie va impliqué une "résitance" lors de la dilatation est donc une contrainte?

Mes calculs sont bon je pense

merci en tout cas

[invite6dffde4c]

Re.
Ce n’est vraiment pas mon domaine.
Mais il me semble que vous mélangez des relations qui donnent une déformation à cause de la température avec d’autres qui donnent des déformations à cause de contraintes mécaniques.
C’est votre affirmation
la 2eme et 3eme ligne du système implique que
qui est fausse.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07ec9b8a]

tout d'abord merci de votre attention,
la relation est un principe fondamentale validé depuis quelques siècles maintenant(Duhamel et mécanique des milieux continus), et le calcul de la 2eme et 3eme ligne est juste (addition soustraction rien de méchant), ce sont les hypothèses qui sont fausses et qui impliquent un résultat faux. mais laquelle et pourquoi c'est ma question

[invite6dffde4c]

Re.
Si les ε sont des déformations, il faut inclure non seulement la déformation due à la variation de température mais aussi celle due aux contraintes.
A+

[invite07ec9b8a]

c'est vrai que dans ma relation, est la déformation géométrique, ou totale, celle que l'on mesure à l'aide d'instrument. On peut donc dire que:
.
La considération d'un objet libre permet d'écrire que et donc toute la déformation provient des effets d'élévation de la température. Il se trouve que (l'hypothèse (2) était fausse) Si on injecte ceci dans léquation alors on trouve Gagné!!!! ouf ca va mieux!