Bonjour,
Si vous voulez bien me prêter oreille attentive, je voudrai étaler le bilan de ce que j’ai appris en matière de théorie des groupes appliquée a la QFT . J’ai eu l’occasion de remarquer qu’il y’en a parmi vous qui savent bien poser les question et d’autre qui savent bien y répondre …
La définition même d’un groupe de transformations engendre un lot de propriétés qu’on peut résumer ainsi :
Il existe un nombre fini d’opérateurs qu’on appelle opérateurs infinitésimaux du groupe ou simplement générateurs du groupe dont le nombre totale correspond a la dimension du groupe ( via un théorème je crois …) cad au nombre de paramètres libres du groupe …l’ensemble de toutes le superpositions linéaires de ces générateurs forment l’algèbre ( de lie bien sûre )a partir de laquelle on peut construire les éléments du groupe par exponentiation ( ceci est dû au fait qu’une transformation infinitésimale s’écrit comme U=1+auMu=eaM , et seulement a ça ???!), au fait pourquoi les M’s sont infinitésimaux ?et pourquoi on utilise toujours des transformations infinitésimales ( ça a un rapport avec a connexité ! ou connexité par arc ??!)
Que représentent les coefficients affectées a chaque générateur dans la superposition linéaire ( est-ce la variation du paramètre correspondant ?)
Pourquoi les indices de somation dans l’écriture de la transformation infinitésimale de Lorentz sont au nombre de 2 chacun ( 2 contra 2 cov ) est-ce parce qu’on considère le groupe matriciel ( dans ce cas les paramètres du groupe sont les éléments de matrice indexes par deux nombres )mais peut-on faire autrement ( prendre par exemple les angles des 6 rotations ???!)
Quant aux casimirs du groupe, ce sont les opérateurs qui commutent avec tous les éléments du groupe ( est ce que leurs nombre a une relation avec la dimension du groupe ou le rang !!!?)
Quel rôle jouent-ils dans la physique ( on a masse et spin pour Poincaré ) et c’est justement deux propriétés qui permettent de classer les particules !!( sont-ils les seuls !!?) leurs commutation ( nulles ) avec tout les éléments de groupe veut-elle dire que se sont de quantité invariantes sou ces transformation ??? Mais au fait qu’est ce qu’un casimir ?est ce u membre du groupe ? Non ?
Les représentations, c’est seulement un autres jeu de matrices dont l’algèbre vérifie la même algèbre originale , et dont la dimension concorde avec la définition des objets sur lesquels ils opèrent ( de vecteurs quoi !!!?), alors si je comprend bien, toute la beauté de la chose est la, dans les représentations irréductibles !!!( au fait ne doit-on pas plutôt dire dans les espaces de représentations réduites ) parce que c’est en fait des éléments de l’espace que vient cette (ir)réductibilité !!Non ?les éléments du groupe ne jouent pas un rôle plus important que celui de objets sur lesquels il agissent !!? ou peut être que je fait une erreur la !! je crois ! en tout cas j’ai pas de livre sous la main pour vérifier
En trouvant les 10 générateurs de Poincaré et leur algèbre, on fait ensuite en quelque sorte un changement d variables pour arriver a la fin a 3 relations de commutation dont une est identiquement nulles, et le deux autres semblables aux relations de commutation qu’on trouve en MQ pour les moments orbitaux ( au fait y’a pas une méthode plus « algébrique » pour trouver es valeur propres de et que dan le tanoudji ??)On utilise alors cela pour construire une sorte de ECOC avec lequel on va classer les champs.
Cette façon de classer les champs est-elle unique ( je veux dire y’a-t-il d’autres ECOC )
Cette façon de faire nous renseigne sur les dimensions des espaces dans lesquels évoluent les champs et seulement sur ça ? ( pour le champ scalaire on a deux types non ?)
Par quel miracle ( pour moi en tout cas ) ces type de champs sont justement ceux que sous-tendent les représentation irréductibles ??!( si c’est vrai !!!) est-ce eux qui engendrent ces représentations ou le contraire ????( ou peut-être a question n’a aucun sens )
Chapeau bas pour celui qui a eu le courage de lire tous les blablas d’un apprenti théoricien en crise avec ses idées !
Et voila ma question finale :
Quel argument d’arrière plan peut-on donner pour expliquer le fait que la théorie des groupes …. Explique aussi bien les choses.
Enfin, question bonus : qu’est ce que la supersymétrie en bref, a-t-elle un lien avec les représentations projectives et la supersélction ( c’est toujours super non ?!)
Merci de votre future aide.