super test!

[khalid]

salam
je vous propose ce test :
quel est le nombre qui en le divisant par 2 le rest c'est 1 ,par 3 le rest est 1 ,par 4 le rest est egalement 1 par 5 et par 6 le rest est toujours 1 mais le rest devient 0 en le divisant par 7??
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[invite19431173]

49 c'est ça ?

Mince, ça marche pas pour 5...

[khalid]

non c'est pas ça
il te faut un stylo et papier!

[invite19431173]

(2*3*4*5*6)+1 = 721 hourra !!!!!!!!!!!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[khalid]

(2*3*4*5*6)+1 = 721 hourra !!!!!!!!!!!!!
ya bravo!

je veux la demonstration mathematique car il exist d'autre nombres

[JPL]

Déplacé en humour (parce que c'est une petite récréation mathématique). En effet la rubrique test sert à tonster les fonctionnalités du forum.

[invite19431173]

ouais, j'ai un ami qui a trouvé 301...

[invite6f044255]

En fait, tout nombre de la forme (2*2*3*5*p)+1=60*p+1 divisible par 7 marche (p étant n'importe quel entier non-nul).

Maintenant, il faut trouver lesquels sont divisibles par 7 ....

Puisque 301 marche, les nombres qui marchent sont 301+60*7*p, avec p entier (car l'ensemble des nombres divisibles par un entier k est un Z-espace vectoriel et que 7 et 60 sont premiers)

avec p=1, on trouve le nombre de Benjy_star: 721

[khalid]

et pour trouver 301 p sera egal a quoi?

[khalid]

a 0...
d'ou vient la formule que t'as utilise?

[invite6f044255]

Bah, il faut que le reste soit 1 pour 2,4,5 et 6, donc, il suffit d'être multiple de 60 (2*2*3*5).
Donc, il faut au moins être de la forme 60*p+1 avec p entier.

En plus, il faut être divisible par 7, pas simple, mais....301 marche.

Après, il y a 361 (marche pas), 421 (marche pas), etc....

Quel critère va faire que 301+60*p va marcher?

Que 60*p soit divisible par 7, or 60 est premier avec 7, donc il faut que p soit divisible par 7, soit p=7*k avec k entier.

D'où 301+60*7*k=301+420*k

[khalid]

oui t'as raison et j'ai le plaisir de te dire que ton QI est eleve
mais combien de temps t'as pris pour la resoudre
pour donner le coefficient excactement

[invite19431173]

salam
je vous propose ce test :
quel est le nombre qui en le divisant par 2 le rest c'est 1 ,par 3 le rest est 1 ,par 4 le rest est egalement 1 par 5 et par 6 le rest est toujours 1 mais le rest devient 0 en le divisant par 7??

J'avais raison d'abord, même si j'ai pas trouvé le plus petit !

[khalid]

non
j'ai demande la demonstration ,mais ca va ton QI est bien

[Gwyddon]

Un raisonnement à faire en mmh... 5 minutes on va dire :

On cherche un nombre n tel que n-1 soit divisible par 2,3,4,5,6.

Alors on cherche n-1 = 2*3*5*2*k (2*3*5*2=60 est, je crois, le ppcm de 2,3,4,5,6).

Donc il faut résoudre 60k +1 = 0 modulo 7.

Donc 60k= -1 modulo 7

Donc 60k=6 =modulo 7, c'est à dire 10k=1 modulo 7.

Il suffit de résoudre 10x+7y=1, c'est très facile car l'algorithme d'Euclide est très rapide, puis de sélectionner le x le plus petit, et on obtient alors 301

[khalid]

Il suffit de résoudre 10x+7y=1, c'est très facile car l'algorithme d'Euclide est très rapide, puis de sélectionner le x le plus petit, et on obtient alors 301 [/QUOTE]


je peux voir ce simple calcul que t'as fait?t'as donner a x et y quelle valeur pour tomber sur 301?

[Gwyddon]

Ben... Tu ne connais pas l'algorithme d'Euclide ?

Tu as A=10 B=7 , avec div euclidienne tu obtiens Q=1 R=3

Tu recommence avec A=7, B=3 tu obtiens Q=2 et R=1

Donc 1 = 7-2*3 et comme 3=10-7*1 tu as 1=7-2*(10-7) donc 1=7*3 -2*10

Donc 10x+7y=1 équivaut à 10x+7y = 7*3 -2*10

ie 10*(x+2) = 7*(3-y). Donc 7 divise 10*(x+2) donc par Gauss, ayant 7 premier avec 10 on a 7 divise x+2 donc x=7l-2 , l entier relatif.

On peut trouver de même y, mais ici je n'avais besoin que de x.

D'où ici x=k et je prend l=1, cela me donne k=5

Donc n=60*5+1=301

[khalid]

Bah, il faut que le reste soit 1 pour 2,4,5 et 6, donc, il suffit d'être multiple de 60 (2*2*3*5).
Donc, il faut au moins être de la forme 60*p+1 avec p entier.

En plus, il faut être divisible par 7, pas simple, mais....301 marche.

Après, il y a 361 (marche pas), 421 (marche pas), etc....

Quel critère va faire que 301+60*p va marcher?

Que 60*p soit divisible par 7, or 60 est premier avec 7, donc il faut que p soit divisible par 7, soit p=7*k avec k entier.

D'où 301+60*7*k=301+420*k

bon travail ixi mais t'as deviner 301 alors qu'il faut le preuver !c'est ca le probleme a resoudre

[Gwyddon]

Soit dit en passant, si on s'autorise les nombres négatifs, n=-119 marche aussi, et il est plus petit que 301 en valeur absolue

[khalid]

Ben... Tu ne connais pas l'algorithme d'Euclide ?

Tu as A=10 B=7 , avec div euclidienne tu obtiens Q=1 R=3

Tu recommence avec A=7, B=3 tu obtiens Q=2 et R=1

Donc 1 = 7-2*3 et comme 3=10-7*1 tu as 1=7-2*(10-7) donc 1=7*3 -2*10

Donc 10x+7y=1 équivaut à 10x+7y = 7*3 -2*10

ie 10*(x+2) = 7*(3-y). Donc 7 divise 10*(x+2) donc par Gauss, ayant 7 premier avec 10 on a 7 divise x+2 donc x=7l-2 , l entier relatif.

On peut trouver de même y, mais ici je n'avais besoin que de x.

D'où ici x=k et je prend l=1, cela me donne k=5

Donc n=60*5+1=301

ahh j'avais oublier cette division
chapeau
t'as un test parail à me donner?

[Gwyddon]

Merci, il n'y avait pas de quoi

En tout cas, c'est cool d'avoir proposé ce problème, il est franchement amusant et le résultat est fascinant je trouve

[360no2]

Soit dit en passant, si on s'autorise les nombres négatifs, n=-119 marche aussi, et il est plus petit que 301 en valeur absolue

et plus petit tout court aussi, reste que le plus petit de tous va être dur à déterminer