force d'une hélice

[invite97642ab3]

bonjour à tous

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une formule, si possible précise, de la force de poussée ou de traction d'une hélice d'avion ou bien d'un rotor (d'hélicoptère)?

merci d'avance
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[Rann]

bonjour à tous

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une formule, si possible précise, de la force de poussée ou de traction d'une hélice d'avion ou bien d'un rotor (d'hélicoptère)?

merci d'avance

Bonjour,
Pour le rotor d'hélicoptère , il y a aussi sustentation.
Pour l'hélico,le fonctionnement aérodynamique quoique complexe peut être résumé par application de la théorie de Froude.
Les pales aspirent l'air de haut en bas, si l'hélico s'élève à la vitesse les filets d'air s'écoulent à la même vitesse mais égale et opposée à celle de l'appareil.
Ces mêmes filets traversent le rotor à la vitesse , puis sont accélérés jusqu'à la vitesse , toutes ces vitesses vont en augmentant.
Le disque rotor entrainant une différence de pression "discontinuité de pression" entre le haut et bas du rotor il y a sustentation ayant pour valeur: , et étant les pression de part et d'autre du disque rotor et S surface du cercle décrit par les pâles.
Pour le débit entre les vitesses ,, on a: . La valeur de , masse volumique de l'air est de à 0 mètre et à la t° de 15°C.
La vitesse dans le plan du rotor peut se décomposer vectoriellement en une vitesse dîtes de Froude verticale et une vitesse équipollente à ce qui s'écrit: .
Pour produire une sustentation , avec de l'air s'écoulant à la vitesse il faut fournir au rotor une puissance
L'application du théorème des quantités de mvt conduit à la relation simple: .
Et en évaluant la variation d'énergie cinétique entre l'infini amont et l'infini aval, la puissance nécessaire sur le rotor s'écrit: .
En manipulant ces équations on trouve aisément deux résultats importants:
1) .
La vitesse de l'air dans le plan rotor est égale à la moyenne arithmétique des vitesses à l'infini amont et à l'infini aval
et
2) .
La valeur de la sustentation ou "poussée" est maintenant calculable.

Disons; Un Ecureuil bimoteur AS 355F en stationnaire de masse totale 2500kg, diamètre rotor 10,69 mètres à altitude 0 et température 15°C, essayons de calculer la puissance qu'il faut pour le sustenter.
Pouvez vous le faire?

Par honnêteté, je tiens à préciser qu'il s'agit d'un vieux cours de M Moullard que j'ai retrouvé dans mes archives d'ancien élève.

[inviteb33bb1e9]

Bonjour !

Je m'immisce dans votre topic pour poser une petite question : comment la vitesse du rotor doit-elle être calculée ? Dans quelle unité ? Tours/mn ? M/s ? Dans l'exercice que vous proposez, quelle est finalement le paramètre à calculer ? La vitesse V1, en fonction d'une puissance nécessaire que l'on évaluerait à partir de la masse donnée ? Je suis un peu paumé...

Mes questions sont certes élémentaires , mais je n'ai pas fait de Physique depuis 20 ans (mon bac S !) et mon fils de 10 ans veut absolument (ré)inventer l'hélicoptère ! Mes connexions neuronales commencent à se dérouiller, mais "commencent" seulement !

cordialement

Boris

[Rann]

Bonjour !

Je m'immisce dans votre topic pour poser une petite question : comment la vitesse du rotor doit-elle être calculée ? Dans quelle unité ? Tours/mn ? M/s ?

Bonjour,
Sur la plupart des hélicoptères le régime rotor est constant. Il y a un un tachymètre rotor qui indique la vitesse rotor en t/mn très souvent s'affiche aussi sur sur tachymètre rotor la vitesse de la turbine en t/mn car ces deux vitesses sont intimes.

dwarvespower demande une formule précise pour la force de poussée du rotor ou hélice, j'ai répondu pour le rotor en essayant de lui permettre de calculer la force et la puissance necessaire pour sustenter un hélico. Force en Newton puissance en Watt.

Pour ce qui me concerne je viens de reprendre moi aussi, je n'ai pratiqué ni math ni physique depuis euh depuis 25 ans.
Bon pour ta question.

dans l'exercice que vous proposez, quelle est finalement le paramètre à calculer ? La vitesse V1, en fonction d'une puissance nécessaire que l'on évaluerait à partir de la masse donnée ? Je suis un peu paumé...

Je suis un peu pressé là mais je reprendrais certainement mes explications
Là il s'agit de connaitre la valeur de la sustentation en Newton dans un premier temps.
Vo est nulle puisqu'il s'agit d'un vol stationnaire
Donc il s'agit par la suite de calculer la vitesse de Froude (passage des filets d'air dans le rotor) en stationnaire. résultat en m/s
Oui ensuite eventuellement la puissance necessaire pour faire voler cette machine en stationnaire

encore une fois je suis pressé, je reviens

rann

[A voir en vidéo sur Futura]

[harmoniciste]

bonjour à tous

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une formule, si possible précise, de la force de poussée ou de traction d'une hélice d'avion ou bien d'un rotor (d'hélicoptère)?

merci d'avance

Bonjour
Les formules de Rann sont exactes, mais je crains que tu n'aies du mal à t'en débrouiller si tu tiens compte de tout.
Dans le cas simplifié d'une hélice au point fixe (ou hélico en vol stationnaire) et dans les conditions normales de pression, de température, et de rendement, tu peux admettre que F³ = 1,4 P² D²
F étant la force en Newton, P étant la puissance en Watt et D le diamêtre de l'hélice en mêtre.

[Rann]

Bonjour !
Dans l'exercice que vous proposez, quelle est finalement le paramètre à calculer ? La vitesse V1, en fonction d'une puissance nécessaire que l'on évaluerait à partir de la masse donnée ? Je suis un peu paumé...


Boris

Finalement, je demande quelle est la force nécessaire pour sustenter cet hélico en stationnaire.
Et la puissance qu'il faut développer pour obtenir cette force, ce calcul passe par une valeur de la vitesse de Froude en m/s.
Je peux développer le calcul si vous le voulez.

[invite084c752c]

la force nécessaire pour maintenir un hélico en stationnaire, c'est l'opposé exact de son poids.
Le moteur doit entrainer un rotor. La puissance que le moteur doit apporter au rotor est la puissance nécessaire pour vaincre les frottements mécaniques (difficile à quantifier simplement, il faut avoir un schéma précis de tout le système mécanique pour avoir une modélisation correcte) et la force de trainée au niveau des pales du rotor (calculable approximativement si on a la géométrie du rotor)... ca nous donne un couple sur l'arbre moteur, on multiplie par la vitesse de rotation du rotor et ca donne une puissance

Volà, facile hein?!

La théorie de froude est chouette, mais je ne sais pas si ça va permettre de calculer la puissance nécessaire. On utilise ca pour modéliser les éoliennes, sauf que dans ce cas, on connait la vitesse d'entrée dans le disque de l'éolienne, c'est la vitesse du vent... Dans le cas du rotor, on l'a connait absolument pas... Donc je ne vois pas comment exploiter ces résultats précedents dans ce cas précis...

[invite084c752c]

bon, j'ai repris mes cours, et j'ai

Pa=0.5*rho*Sa*V^3*16/27

rho=masse volumique de l'air
Sa=surface du disque balayé par l'hélice
V=vitesse à l'entrée du système hélice


C'est la puissance sur l'arbre que développe une éolienne s'il n'y a aucune perte mécanique ou aérodynamique. La démo est plutot simple si ca intéresse quelqu'un...

Si on considère les choses dans l'autre sens, c'est à dire que ce n'est pas le vent qui fait tourner l'hélice mais l'hélice qui fait avancer le vent (clair non? ), on peut supposer que V sera la vitesse de l'avion. Dans le cas de l'hélico, ca ne marche pas parce qu'en stationnaire, V=0 or la puissance est loin d'etre nulle... En fait, V=vitesse de l'écoulement à l'entrée du disque, que personne ne connait pour l'hélico... M'enfin, ca peut donner une idée pour une hélice de zinc...

EDIT: on peut trouver cette vitesse V.

En effet, la force développé par l'hélice est donnée dans un post plus haut. Or, tu connais la force dont tu as besoin en stationnaire, c'est le poids. D'autre part, on se place dans le meilleur des cas, donc on aura V1=1/3*V2 avec les notations citées plus haut. Cette relation permet de trouver la vitesse dont on a besoin, puis d'en déterminer la puissance.

[invitea2955c80]

La théorie de froude est chouette, mais je ne sais pas si ça va permettre de calculer la puissance nécessaire. On utilise ca pour modéliser les éoliennes, ...

Bonjour à tous,
La théorie de Froude permet aussi d’évaluer la puissance nécessaire au vol stationnaire .
cette puissance à pour valeur :

P = 1.3 .( F ^3/2) / ((2.rho. S ) ^1/2 )

Avec F = Mg
rho masse volumique de l’air
S surface du disque rotor
1.3 prend en compte la présence du fuselage, les
pertes induites par les tourbillons marginaux. etc...

Pour obtenir la puissance théorique à fournir, il faudra ajouter la puissance absorbée par le rotor anticouple.
La puissance à installer tiendra compte d’un rendement rotor et anticouple généralement compris entre 0.75 et 0.8 et évidemment du rendement global de la transmission.

Exemple: Alouette II
Diamètre du rotor 10.2 m; masse maximale 1650 kg; Puissance 390 kW


( selon l’hélicoptère de P.LEFORT et J. HARMANN aux éditions CHIRON)

[harmoniciste]

bonjour à tous

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une formule, si possible précise, de la force de poussée ou de traction d'une hélice d'avion ou bien d'un rotor (d'hélicoptère)?

merci d'avance

Bonjour
La formule que j'ai indiqué plus haut est déduite de celles que Rann t'a donné:
Fn = 2 S Vf (Vf + V₀)
Mais dans le cas d'une hélice stationnaire, V₀ est nulle, en conséquence la formule devient:
Fn = 2 S Vf² (1)
Par ailleurs, Rann t'a dit aussi
P = Fn . Vf donc Vf = P/Fn
En remplacant cette valeur de Vf dans (1), il vient:
Fn = 2 S P²/Fn² d'où
Fn³ = 2 S P[EXP]2[EXP]
En en remplaçant par 1,22 Kg/m³ , S par D²/4, et en admettant que la force réelle n'est que de 85% de Fn (à cause des pertes d'énergie dues au frottement de l'aile sur les pales), tu trouvera facilement la formule que je t'ai donné dans ma première réponse:
F³ = 1,4 P² D²

A partir de là si tu veux trouver la puissance P à fournir au rotor d'un hélico qui doit soulever un poids de 25000 Newton, il faut retourner cette formule:
P² = F³/(1,4 D²) Remplace F par 25000 N, D par 10,7 m et quand tu as ce résultat, extraits-en la racine carré.
Cà me donne 312 Kwatts.
Je pense que Rann sera d'accord?

[Rann]

Cà me donne 312 Kwatts.
Je pense que Rann sera d'accord?

Bonjour,
Si j'admets tes 85% ? c'est tout à fait exact, sachant que dans le cas de l'hélico il faut tenir compte d'un coefficient pour la trainée verticale du fuselage

la force nécessaire pour maintenir un hélico en stationnaire, c'est l'opposé exact de son poids.

C'est exact donc:
S= 89,75m²
La sustentation théorique a pour valeur
Fn = m.g = 2500 X 9,81 = 24525N.

La théorie de froude est chouette, mais je ne sais pas si ça va permettre de calculer la puissance nécessaire. On utilise ca pour modéliser les éoliennes, sauf que dans ce cas, on connait la vitesse d'entrée dans le disque de l'éolienne, c'est la vitesse du vent... Dans le cas du rotor, on l'a connait absolument pas... Donc je ne vois pas comment exploiter ces résultats précedents dans ce cas précis...

En vol stationnaire, la vitesse est nulle. La vitesse de Froude , soit la vitesse induite théorique des filets d'air, est AISEMENT calculable, et on affecte l'indice 0 pour indiquer le stationnaire.
Donc j'extrapole des formules précédentes le calcul de

= = 10,6 m/s

Et effet comme vous le dîtes cette vitesse est théorique car il faudra tenir compte des tourbillons marginaux... mais surtout de la trainée verticale du fuselage en vol stationnaire. On a donc l'habitude dans ce cas d'ajouter de 2 à 5% de sa valeur théorique.
Dans notre cas on aura une valeur d'environ 11,6m/s. de vitesse induite efficace réelle notée
Il est donc aisé de calculer la puissance nécessaire UNIQUEMENT pour maintenir une sustentation Fn avec une vitesse induite réelle
On a la puissance = ou équivalent à ou encore, si on tient compte des formules précédentes:

1,15 pour tenir compte à la fois de la vitesse induite réelle ainsi que la traînée verticale du fuselage.
On a donc: = 298960W =/ 299kW

De là on peut extrapoler la puissance pour un vol vertical Vo different de 0, un vol translaté et voir même un stationnaire effet sol ou HES.

Cougar_127, pour la petite histoire dans l'expression de la vitesse de Froude , aussi bien que dans celle de la vitesse induite réelle, haut bas du rotor, apparait la racine carrée de la masse alaire. On voit qu'elle est 4 fois plus élevée pour un hélico lourd, cela signifie que l'écoulement de l'air est quasiment doublé pour des appareils de 30T au regard des appareils de 1T. On comprends l'effet sol destructif (barrière, chapiteau....) de ces machines.

Il m'est arrivé, n'ayant pas compris ça plus jeune, de redescendre de la montagne à pieds laissant mon hélico dans la tourmente

[blackloffy]

L'application du théorème des quantités de mvt conduit à la relation simple: .

Ceci ne ce rapporterait t-il pas à la formule de la poussée d'un réacteur? F=qm.Vs+A1(P1-Pa) Soit avec P1=Pa, F=qm.Vs
Et en tenant compte de la force de trainée de l'entrée d'air, F=(qm.Ve), on obtient: F=(qm.Vs)-(qm.Ve) Soit:F=qm.(Vs-Ve)

Avec: F= poussée en (N)
qm= debit massique de l'air en (kg/s)
Ve= vitesse des gaz en entrée de compresseur en (m/s)
Vs= vitesse des gaz en sotie de tuyère, en (m/s)
A1= aire de la section de sortie de la tuyère, en (m²)
P1 et Pa la pression à la sortie de la tuyère et la pression
atmosphérique, en (Pa)

[invite235bc57f]

Bonjour,
Je suis un petit nouveau sur le forum.
Le "thread" calcul d'une force de poussée d'un rotor d'hélico me passionne depuis quelques années et c'est avec très grand intérêt que j'ai lu les différents posts.
Dans mes très nombreuses recherches orientées vers les hélicos radio commandés, j'ai trouvé ce site particulièrement intéressant.
http://aerodes.free.fr/index.htm
Il y a des articles de vulgarisation mais aussi des pages plus techniques pour les intéressés du modelisme RC.
Avec la collaboration très importante de "Aerodes", j'ai aussi réalisé une feuille de calcul (MS-Excel) qui peut être intéressante pour les modelistes d'helicos électriques. Les formules sont "en clair"...
Une copie de la feuille de calcul peut-être obtenue sur simple demande à mon adresse email : ### supprimé par la modération, lire la charte peut être une bonne chose à faire en arrivant ! ###
Merci pour votre accueil.
A+

[didou1982]

Bonsoir,
Helibel, la feuille de calcul que tu as mise n'est pas accesible et m'interrese.
Si tu passe dans le coin mais là en image à téléchager en faisant une copie d'ecran.

Merci d'avance

[invite47c1b0d9]

Bonjour,
je vient de voir les différentes formules que vous avez pu poster mais je n'arrive pas à mettre en relation la force de poussé Fn (pour reprendre les notations de Rann) avec le pas et la vitesse de rotation de l'hélice.
Merci d'avance.

[inviteb02bd531]

Bonjour,

En cherchant quelques formules sur l'aerodynamisme, je suis tombé sur ce thread.
Actuellement je "m'assume" a essayer de construire un helicop rc.
D'ou l'interet de quelques formules pour verifier quelques probabilités.

Je prendrais le probleme differement pour apprehender le probleme du calcul la puissance du rotor.
J'eliminerai temporairement les formules mathematique compliquées pour m'en remettre a une logique basique.
Je part de l'hypothese que le moteur est suffisamment puissant pour entrainer le rotor a sa vitesse de rotation maximale apres le demarage, puisque l'helico en pas collectif ( dans la majorité ) monte ou descende en fonction de l'incidense des pales.
Ce n'est pas dû a la vitesse de rotation mais a l'angle des pales ( positive l'helico monte, negative l'helico descend ). Un pilote ne va pas couper une turbine a gaz pour descendre!
La vitesse maxi est la vitesse du son (330m/s) en bout de pales.
Plus vite, les pales eclatent.
Pour que l'helico soit en stationnaire, il faut que les helices deplacent une masse d'air de poids equivalente au poids de l'helico.
Cette masse d'air est fonction de la vitesse de rotation (en pas fixe ), de l'incedente des pales ( en Pas Collectif puisque regine moteur constant), de la largeur des pales, du diametre circulaire du plan helice
Je peux donc calculer en fonction des caracteristiques fixes des pales la quantité maxi d'air succeptible d'etre deplace avec comme unique variable l’incidence.
Et en deduire l’incidence ideale pour un deplacement d’air equivalent au poids de l’helico pour etre stationnaire.

De toutes mes explications ci dessus, toutes ont des reponses dans des formules trigonometriques simple… appréhendable

[invitef65e24e4]

mais est ce que la force de poussée ou de traction d'une hélice d'avion ou bien d'un rotor (d'hélicoptère) ne depend de l'inclinaison de pale et leurs nombre ??? svp donne moi une formule precis, merci

[invite4dfeb8a8]

Bonjour,


J'étudie actuellement le Solar Impulse (avion solaire de Bertrand Picard) dans le cadre des mes TIPE. Je cherche à étudier sa descente nocturne. Je pense avoir trouvé une expression correcte de la poussée, mais je cherche maintenant à calculer la puissance consommée. J'ai trouvé quelques formules dans votre discussion mais elles concernaient plutôt les hélicoptères. Je suis donc un peu à la peine, je m'emmele les pinceaux entre consommation, puissance, poussée, tour/minute des hélices. Je cherche donc désespérement de l'aide...

[invite235bc57f]

Bonjour,

Vous pouvez trouver pas mal de réponses sur le site :
http://www.heliciel.com/Index.htm
Salutations

[invite4dfeb8a8]

Bonjour,


Merci ! Mais je connaissais déjà ce site, et y ai trouvé pas mal d'informations. Toutefois, je voudrais calculer la puissance consommée par un avion et je n'ai pas trouvé cette formule. Alors je me suis creusé un peu, et je ne sais pas trop quelle puissance calculer : reçue par le fluide ? Reçue par l'avion ? ...
Pensez-vous qu'il soit correcte de considèrer que la puissance consommée et la variation de puissance cinétique de l'air entre l'avant et l'arrière de l'hélice ? Autrement dit,
P = 1/2 * S * rho * V2 * (V2-V1)² ?
avec S : surface de l'hélice : Pi * diamètre² / 4
rho : masse volumique de l'air
V1 : vitesse de l'air avant l'hélice
V2 : vitesse de l'air après l'hélice

Merci !

[invite7925b3e6]

Bonjour a tous. Pour une application bien particulière, je sollicite votre aide.

Je me présente je m'appelle Ludovic. Je suis un étudiant en DUT GEII (Genie Électrique et Informatique Industrielle). Dans le cadre d'un projet pour mon université, j'ai quelques questions auxquelles je n'arrive pas apporter de réponse.

Avec un groupe d'étudiant, nous nous sommes lancé dans l'analyse et la construction d'un quadcopter (ou quadricopter). Afin de le rendre stable, nous sommes en train d'étudier les phénomènes physiques qui touche se matériel. Le problème que j'ai principalement est que je n'arrive pas relier la vitesse de rotation de mon moteur avec la force que cela va engendré. (avec la caractéristique de pas de l'hélice (ou angle), de surface...)
Si quelqu'un peut me donner un coup de main sur cet aspect mécanique je lui serais reconnaissant.
Il nous faut une équation simplifié mais pas trop afin que le système soit assez bien représenté.

Je vous remercie par avance de vos réponses.
Cordialement
Ludovic

[invite0e638c55]

Bonjour Ludovic,
La démarche globale est la suivante :
- Calcul de la portance du(des) rotor(s)
- Calcul de la trainée du(des) rotor(s)
- Calcul de la puissance consommée (en tenant compte d’un facteur de perte)
- Choix du moteur en fonction de la puissance et des Kv (nombre de tours / volt)

Notations :
ro : densité de l’air
R : rayon du disque rotor, r : distance d’un point de la pale au centre de rotation
N : nombre de pales par rotor
C : corde de la pale constante ou variable C(r)
beta : angle d’inclinaison de la pale (attention si C est variable et profil cambré beta l’est d’office)
Cz(r) : coefficient de portance de la pale
Cx(r) : coeficient de trainée de la pale
Va : vitesse ascensionnelle fixée
Vi(r): vitesse du vent induit
omega : vitesse de rotation du rotor [rad/sec]
U(r) (vecteur) = Va + omega.r
V(r) (vecteur) = U + Vi(r)
teta(r) : = Atn(Va / (omega.r)) simplifié par teta(r) : = (Va / (omega.r))
phi(r) = Atn(Vi(r) / U(r)) simplifié par phi(r) = (Vi(r) / (omega.r))
alpha(r) : angle d’attaque de la pale = beta - teta(r) - phi(r)
P : force de portance (Lift)
T : force de trainée (Drag)
pi = 3,1415926
Fz : force ascentionnelle verticale = P.cos(teta(r) - phi(r)) – T.sin(teta(r) - phi(r)) simplifié par Fz = P
Fx : force de résistance horizontale = P.sin(teta(r) - phi(r)) + T.cos(teta(r) - phi(r)) simplifié par Fx = P.(teta(r) - phi(r)) + T

La démarche est itérative en fixant les éléments de géométrie et en faisant varier omega.

On applique la théorie du moment à un anneau du rotor de diamètre r et largeur dr ce qui donne :

(A) dP = ro.dS.2.(Va + Vi(r)).Vi(r) = ro.(2.pi.r.dr).2.(Va + Vi(r)).Vi(r) = 4pi.ro. (Va + Vi(r)).Vi(r).r.dr

On applique la théorie de l’élément de pale à un segment de pale de longueur dr :

(B) dP = 0,5.ro.(V(r)^2).dS.Cz(r) = 0,5.ro. (V(r)^2).N.C(r).dr.Cz(r) simplifié par : 0,5.ro.((omega.r)^2).N.C(r).Cz (r).dr

(C) dT = 0,5.ro. (V(r)^2).N.C(r).dr.Cx(r) simplifié par : 0,5.ro.((omega.r)^2).N.C(r).Cx (r).dr

(D) dPuissance = dT.(omega.r)

On admet que Cz(r) = Z.alpha(r) = Z.(beta - teta(r) - phi(r)) pour un profil symétrique sinon Cz(r) = Z0 + Z1(beta - teta(r) - phi(r))

Avec Z = 2pi pour un profil symétrique

En égalisant les expressions (A) et (B) on trouve phi(r) en fonction de N, C(r), beta, teta(r), pi, ro, omega et r.
Il est préférable qu'alpha(r) ne dépasse pas 10° au delà du tiers de pale (en allant vers l'extrémité)
On introduit la valeur de psi(r) dans la formule de théorie de l’élément de pale et on intègre de R0 à R
Si C = constante on peut intégrer analytiquement et on trouve par exemple :

Fz= 4pi.ro.K.(omega^2).[beta.(R^3)/3 + (K.(R^2))/4 - (1/(32(K^2).(beta^2)))((2/5) ((K^2) + 4K.beta.R)^(5/2) - (2/3)(K^2) ((K^2)+ 4K.beta.R)^(3/2) + (4/15).(K^5)) ]

Avec K = N.C.Z/(8pi)

A multiplier par le nombre de rotors.

De la même manière on peut calculer Fx et la Puissance (à multiplier par un coefficient 1,25 pour tenir compte de divers effets).

Le seul petit problème c’est que pour des très faibles nombres de Reynolds (<<80000) comme c’est votre cas il faut utiliser des logiciels (libres) adéquats pour trouver Cx.

Pour rappel Re = U.L/nu avec U = omega.r L = C nu = 0,0000156

Concernant la vitesse horizontale il n’y a pas de problème car pour de faibles valeurs (et de faibles inclinaisons du rotor) la puissance nécessaire est inférieure à celle précédemment calculée.

[invite0e638c55]

Erratum :

La formule proposée Fz correspond au stationnaire.

Pour un vol ascensionnel on a en intégrant de 0 à R :

Fz = 4pi.ro.K.(omega^2).beta.(R^3)/3
+ pi.ro.K.omega.(Va + K. omega).(R^2)
- (pi.ro/ (20K.omega.(beta^2))) [((Va - K.omega)^2) + 4(omega^2).K.beta.R]^5/2
+ (pi.ro/ (12K.omega.(beta^2))).((Va - K.omega)^2) [((Va - K.omega)^2) + 4(omega^2).K.beta.R]^3/2