Pour en Finir avec les incohérences sur les TN.

[Zefram Cochrane]

C'est très osé ce que vous avez écrit là, mais pas faux. Il est possible d'écrire que la loi de Newton est conservée, en écrivant


J'ai mélangé temps propre local et r distance de l'observateur à l'infini. Mais que se passe t-il réellement dans le repère local pour un observateur immobile ?

Souvenez vous de la vidéo : il est possible de descendre lentement une sonde au bord de l'horizon à l'aide d'un câble qui serait extrêmement solide, que se passe t-il lorsque la sonde atteint l'horizon ?

Je ne comprends pas cette formule :


pourquoi n'est ce pas?

?
-----

[Zefram Cochrane]

à partir des deux formules :

et

on retrouve bien la formule

pour un objet statique, au niveau de l'horizon du TN, l'accélération graivtationnelle devient oo
cordialement,
Zefram

[phys4]

Plus clair sous cette forme... c'est la formule généralisée

A t on toujours l'égalité _liberation=._orbitale ? soit v_lib=

La vitesse de libération n'existe pas en RG !!! Elle n'existe qu'en approximation de Newton, impossible de prolonger la formule.

Je ne comprends pas cette formule :


pourquoi n'est ce pas?

?

Les formules dépendent des coordonnées utilisées, donc du point de vue. t est le temps de l'observateur à l'infini, alors que est le temps local.

Je m'aperçois que j'ai jeté un peu vite votre formule précédente

Je prends en référence la formule pour calculer la distance locale R' séparant la cage d'ascenseur au centre du TN en fonction de cette distance R observée depuis l'observateur à l'oo.


et g-> 0 pour R->oo et pour R ->

Cette formule est valable pour l'observateur à l'infini. Elle s'écrit alors avec t :



Cette fois l'accélération tend vers zéro à l'horizon, normal c'est celle vue par l'observateur à l'infini.
J'espère que les lecteurs n'ont pas trop mal à la tête. Revoir la vidéo du début doit être reposant.

[alain_r]

? et u qu'est ce donc ?



Plus clair sous cette forme... c'est la formule généralisée

A t on toujours l'égalité _liberation=._orbitale ? soit v_lib=

Merci pour toutes ces réponses

En mécanique newtonienne, le concept de vitesse de libération est facile à définir car il ne dépend pas de la direction. Que vous essayiez d'échapper à l'attraction d'un corps radialement ou tangentiellement ne change rien à la valeur de la vitesse que vous devez avoir. Ici, c'est différent, car vous avez en gros un couplage entre le moment cinétique orbital et le champ de gravité. A la louche, l'accélération exercée par le trou noir est d'autant plus grand que votre vitesse tangentielle l'est (au passage, cela invalide partiellement la discussion qui précède pour laquelle une hypothèse implicite est faite sur la vitesse orbitale de l'observateur dont on calcule l'accélération). C'est la raison pour laquelle le champ de gravité d'un trou noir piège plus facilement les objet qu'un champ classique en 1/r^2 : en mécanique classique, la conservation du moment cinétique donne lieu à la force centrifuge qui à faible distance croît plus vite que le champ de gravité. En RG, le terme supplémentaire supplante toujours cette force centrifuge dans l'horizon, ce que l'on peut voir comme une raison intuitive (et un peu trompeuse) pour laquelle on ne peut sortir de l'horizon.

De ce fait, pour échapper à l'attraction du trou noir, il est préférable (= moins coûteux) d'accélérer dans la direction opposée au trou noir. Vous en avez une illustration avec la discussion qui précède : à l'intérieur de la sphère des photons de 1,5 Rs, une trajectoire initialement tangentielle à la vitesse c finit par s'incurver et tomber sur le trou noir, alors que même à 1,0001 Rs, un photon partant sur une orbite purement radiale s'échappe toujours. Si l'on veut définir une vitesse de libération, il faut donc y adjoindre une information sur l'angle que fait la vitesse avec la direction radiale, en prenant bien soin de définir le référentiel utilisé par à cause de l'aberration, cet angle n'est pas défini de façon non ambiguë. Si vous considérez un observateur statique, la vidéo vous montre comment le cône de libération associé à la vitesse c se rétrécit à mesure que l'on s'approche du trou noir.

[Zefram Cochrane]

Je ne sais pas ce que l'auteur du topic entendait par incohérence, mais s'il pensait simplifier le concept du TN, c'est raté. l'avantage de la vidéo est qu'elle permet je crois, de passer en revue tous les aspects du TN de Schwarzschild que nous sommes en train de développer.
un petit lien wiki sur l'anneau d'einstein
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lentille_gravitationnelle

Je ne comprends pas trop ton affirmation à propos de la vitesse de libération, car si je suis fixe sur une planète de masse M et de rayon R>Rs.
si je tire verticalement une flèche verticalement avec une vitesse telle qu'elle s'éloigne indéfiniment tout en ayant une vitesse tendant à s'annuler, comment définis tu cette vitesse?
Sans trop me planter je peux affirmer qu'en relativité je peux définir l'énergie mécanique comme suit :

avec
Cordialement,
Zefram

[phys4]

un petit lien wiki sur l'anneau d'einstein
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lentille_gravitationnelle

si je tire verticalement une flèche verticalement avec une vitesse telle qu'elle s'éloigne indéfiniment tout en ayant une vitesse tendant à s'annuler, comment définis tu cette vitesse?
Sans trop me planter je peux affirmer qu'en relativité je peux définir l'énergie mécanique comme suit :

avec

L'article sur l'anneau d'Einstein donne une formule plus complète avec les distance sources et observateur.

Comme l'a précisé "alain_r" il faudrait définir une vitesse de libération dépendante de l'angle avec une formule qui n'est surement pas simple.

Pour une éjection verticale, la formule de vitesse me semble exacte, elle n'est simple que pour cet angle bien particulier.
Par contre je ne comprends pas le raisonnement.

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
Si je me situe à une distance infinie du TN
à l'instant t=0 je considère ma vitesse de chute nulle, mon énergie potentielle de gravitation aussi.
A l'instant dt :

de même :

donc pour les champs faibles:



j'ai appliqué le même genre de développement limité à l'énergie potentielle de gravitation celle que l'on fait habituellement à l'énergie cinétique.
Cordialement,
Zefram

[alain_r]

Sans trop me planter je peux affirmer qu'en relativité je peux définir l'énergie mécanique comme suit :

avec
Cordialement,
Zefram

En fait, vous ne pouvez pas car rien ne vous assure qu'il n'y a pas de couplage entre les deux et donc que l'énergie totale et simplement la somme des deux. Si vous vous essayez à une interprétation newtonienne de la métrique de Schwarzshild, alors vous verrez (comme je l'ai dit plus haut) que la force gravitationnelle dépend du moment cinétique, donc d'une partie de l'énergie cinétique. De ce fait, l'énergie potentielle de gravitation, que vous pouvez espérer définir car la métrique est statique, n'est pas indépendante de l'énergie cinétique. Ou bien, vous êtes obligé de dire que ce que vous appelez énergie mécanique (et que l'on peut définir sans ambiguité loin du trou noir) est la somme de l'enérgie de masse, de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle, plus d'un terme d'interaction entre ces deux derniers. Vous pouvez vérifier que la limite non relativiste de cette formule donne la formule classique (où le terme de couplage tend vers 0), mais vous ne pouvez pas à l'inverse trouver la formule relativiste à partir de la limite classique.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
calcul de tête à confirmer,
je trouve pour la vitesse de libération en prennant l'accélération gravitationnelle local et en tenant compte du mail d'alain_r :
Cordialement,
Zefram

[alain_r]

Votre formule ne peut pas marcher puisque la vitesse est nulle sur l'horizon et égale à la vitesse de la lumière à l'infini. Il faudrait trouver le contraire.

[Zefram Cochrane]

J'ai réfléchi, je vais tâcher de faire un effort, le raisonnement est le suivant :
Dans le cadre de la métrique de Schwarzchild, pour une trajectoire (géodésique?) radiale, je peux écrire pour l'équation des champs:

Avec

0n divise par
On a :
Comme pour une trajectoire radiale : et
on a donc soit V' = V
Donc si alors la vitesse de libération locale devrait être
le résultat n'est pas éléguant, mais bon.

cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Merci pour votre réponse,

En mécanique newtonienne, le concept de vitesse de libération est facile à définir car il ne dépend pas de la direction. Que vous essayiez d'échapper à l'attraction d'un corps radialement ou tangentiellement ne change rien à la valeur de la vitesse que vous devez avoir.

Ça c'est ce que j'avais compris

Ici, c'est différent, car vous avez en gros un couplage entre le moment cinétique orbital et le champ de gravité. A la louche, l'accélération exercée par le trou noir est d'autant plus grand que votre vitesse tangentielle l'est (au passage, cela invalide partiellement la discussion qui précède pour laquelle une hypothèse implicite est faite sur la vitesse orbitale de l'observateur dont on calcule l'accélération). C'est la raison pour laquelle le champ de gravité d'un trou noir piège plus facilement les objet qu'un champ classique en 1/r^2 : en mécanique classique, la conservation du moment cinétique donne lieu à la force centrifuge qui à faible distance croît plus vite que le champ de gravité. En RG, le terme supplémentaire supplante toujours cette force centrifuge dans l'horizon, ce que l'on peut voir comme une raison intuitive (et un peu trompeuse) pour laquelle on ne peut sortir de l'horizon.

De ce fait, pour échapper à l'attraction du trou noir, il est préférable (= moins coûteux) d'accélérer dans la direction opposée au trou noir. Vous en avez une illustration avec la discussion qui précède : à l'intérieur de la sphère des photons de 1,5 Rs, une trajectoire initialement tangentielle à la vitesse c finit par s'incurver et tomber sur le trou noir, alors que même à 1,0001 Rs, un photon partant sur une orbite purement radiale s'échappe toujours. Si l'on veut définir une vitesse de libération, il faut donc y adjoindre une information sur l'angle que fait la vitesse avec la direction radiale, en prenant bien soin de définir le référentiel utilisé par à cause de l'aberration, cet angle n'est pas défini de façon non ambiguë. Si vous considérez un observateur statique, la vidéo vous montre comment le cône de libération associé à la vitesse c se rétrécit à mesure que l'on s'approche du trou noir.

Et ça ce que je vais devoir comprendre

Encore merci
Mailou

[Zefram Cochrane]

Bonsoir Mailou,
ce que j'ai compris de l'explication, c'est que dans le cas ou tu serais stationnaire à une distance R Rs<R<1.5 Rs, l'effet d'enveloppement induit que la voûte céleste soit concentrée en un disque dont le rayon rétrécit au fur et à mesure que R est proche de Rs.
si tu vise un point lumineux en bordure du disque ta vitesse de libération doit être égale à C. La plus petite vitesse de libération est celle où tu vise le point central du disque.
Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Pour illustrer le fait que l'horizon Rs et la sphère de lumière ont le même diamètre apparent voici une autre simulation. Le rayon part cette fois d'une surface fictive à 1,05 Rs avec un angle proche de la verticale. L'angle a été ajusté pour que le rayon arrive presque tangent par dessous, puis en passant au dessus repart vers l'infini avec la même asymptote qu'un rayon tangent venant de l'extérieur.

Si on estime que est la courbure de l'espace temps au delà de Rs...
et que l'on projette ta courbe dessus ça donne un truc plutôt sympa

[phys4]

et que l'on projette ta courbe dessus ça donne un truc plutôt sympa

Jolie figure artistique, et merci au spécialiste des beaux graphiques.

[Mailou75]

Salut,

Jolie figure artistique, et merci au spécialiste des beaux graphiques.

Dois -je déduire de l'emploi de l'adjectif "joli" que c'est sa seule vertu ?
Si on devait dessiner la courbure de l'espace temps, quelle serait alors la formule à appliquer svp ?

Merci

[phys4]

Si on devait dessiner la courbure de l'espace temps, quelle serait alors la formule à appliquer svp ?

Je ne dis pas que la formule est fausse, c'est la représentation qui peut être trompeuse.

Beaucoup de gens ont des difficultés face à cette figure, car il ne comprennent pas qu'une dimension spatiale a été supprimée pour représenter le potentiel à sa place. Le fait d'avoir une trajectoire dans un plan, autorise cette représentation de trajectoire.

Cela reste une représentation de vulgarisation, car le potentiel ne permet pas de calculer la trajectoire.

[Mailou75]

Merci,

Je ne dis pas que la formule est fausse, c'est la représentation qui peut être trompeuse.

Mais vous ne dites pas non plus que c'est la bonne... ça me met dans le doute

Beaucoup de gens ont des difficultés face à cette figure, car il ne comprennent pas qu'une dimension spatiale a été supprimée pour représenter le potentiel à sa place.
Le fait d'avoir une trajectoire dans un plan, autorise cette représentation de trajectoire.

Il me semble l'avoir déjà croisée qq part (le trou dans l'espace ) mais je n'étais pas sur de la compatibilité avec votre courbe (ni la mienne)
Qu'entendez vous par potentiel ? Pour moi l'axe vertical est la "vitesse relative d'écoulement du temps" (Rs=0 et infini=1)

Cela reste une représentation de vulgarisation, car le potentiel ne permet pas de calculer la trajectoire.

Oui ben vu mon niveau c'est un peu normal

A ce propos, désolé de revenir là dessus et reposer les mêmes questions mais je suis un peu frustré de n'être capable de dessiner qu'une partie par moi même
(la courbe est calquée sur la votre et je ne sais pas la calculer)
J'aimerais bien comprendre quand même, la formule qui permet te tracer cette courbe est elle bien

Et très simplement où lit on les valeurs et u ?
Est ce que ces deux paramètre suffisent ?
Merci d'avance

[phys4]

Mais vous ne dites pas non plus que c'est la bonne... ça me met dans le doute

Il me semble l'avoir déjà croisée qq part (le trou dans l'espace ) mais je n'étais pas sur de la compatibilité avec votre courbe (ni la mienne)
Qu'entendez vous par potentiel ? Pour moi l'axe vertical est la "vitesse relative d'écoulement du temps" (Rs=0 et infini=1)

La vitesse d'écoulement du temps joue le rôle d'un potentiel de gravitation. Mais je suis assez gêné avec la notion de potentiel en RG car la fonction ne décrit pas complétement l'espace.

(la courbe est calquée sur la votre et je ne sais pas la calculer)
J'aimerais bien comprendre quand même, la formule qui permet te tracer cette courbe est elle bien

Et très simplement où lit on les valeurs et u ?
Est ce que ces deux paramètre suffisent ?

Moi non plus, je ne sais pas la calculer, la formule concerne un rayon hypothétique qui s'enroule indéfiniment autour de 1,5 Rs, c'est l'un des cas limite qui admette une solution analytique. Dans le cas général, il n'y en a pas.

Les courbes que j'ai donnée proviennent d'une simulation faite à partir des équations des géodésiques, j'ai d'ailleurs mis quelques formules de base de l'équation différentielle pour démontrer la limite d'orbite stable, dans ce même fil.

Il faudra bien que je la finisse par la rendre utilisable par d'autres personnes. A ce moment là, je vous proposerai des échanges.

[Mailou75]

La vitesse d'écoulement du temps joue le rôle d'un potentiel de gravitation.

Ok ça me va

Moi non plus, je ne sais pas la calculer(...) Dans le cas général, il n'y en a pas.

Les courbes que j'ai donnée proviennent d'une simulation faite à partir des équations des géodésiques, j'ai d'ailleurs mis quelques formules de base de l'équation différentielle pour démontrer la limite d'orbite stable, dans ce même fil.
Il faudra bien que je la finisse par la rendre utilisable par d'autres personnes. A ce moment là, je vous proposerai des échanges.

Ce serait un honneur

[comete26]

Bonjour à tous,
petite info , en ce moment sur france inter emmission sur les trous noirs avec Alain Riazuelo.
Bonne journée

[Mailou75]

Bonjour à tous,

Je me permets de relancer un vieux fil mais une question était pour moi restée en suspens

(...) voici le rayon rE de la sphère d'Einstein vue à la distance D de l'astre:

(et on trouve ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Lentille_gravitationnelle une formule tout à fait différente)

Dans l'illustration, l'observateur et la (les) source sont tous deux situés à 15Rs
(on peut imaginer que c'est une source mobile ou trois sources différentes)
La courbe jaune est celle donnée par Phys4 et les autres sont fausses...
Un écran de projection est placé arbitrairement pour montrer ce que voit l'observateur,
en jaune on y voit le rayon apparent du TN et en rouge le rayon d'Einstein (entre les deux : les images fictives)

On remarque que les deux formules donnent approximativement le même résultat (la droite rouge n'est pas exactement tangente au cercle pointillé violet, mais peu importe)
mais ce uniquement lorsque observateur et source sont symétriques par rapport à la lentille, sinon ça n'a rien à voir !

Plusieurs questions:
- Ai-je bien compris comment s'utilisent ces formules ou pas du tout ?
- Est-il normal que les formules ne donnent le même résultat que pour des positions source/observateur symétriques ?
- Peut-on dire que les images situées dans le rayon d'Einstein sont fictives puisque les objets se trouvent effectivement au bout de chaque géodésique ?

Merci d'avance pour votre aide
Mailou

[phys4]

Je me permets de relancer un vieux fil mais une question était pour moi restée en suspens

(et on trouve ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Lentille_gravitationnelle une formule tout à fait différente)

Il ya deux différences,
un défaut d'écriture, il fallait lire

Je ne sais pas pourquoi le facteur 2 a été pris dans la racine, j'aurais du vérifié la réponse.
Dans la formule de Wiki, vous considérez une source à l'infini avec un observateur a distance finie du TN.
La formule de wiki est plus générale et attention c'est l'angle apparent du rayon.

- Ai-je bien compris comment s'utilisent ces formules ou pas du tout ?
- Est-il normal que les formules ne donnent le même résultat que pour des positions source/observateur symétriques ?
- Peut-on dire que les images situées dans le rayon d'Einstein sont fictives puisque les objets se trouvent effectivement au bout de chaque géodésique ?

Avec la correction cela ira mieux. Une image n'est jamais fictive, elle peut être virtuelle.
Considérez plusieurs miroirs qui donnent plusieurs images d'un objet, toutes les images sont représentatives et l'objet se trouve à l'extrémité de chaque rayon, quel est le sens de votre question ?

[Mailou75]

Il ya deux différences,
un défaut d'écriture, il fallait lire

Arg ! il va encore vous en couter un schéma d'excuse !
je plaisante je vais voir si ça marche mieux comme ça

Une image n'est jamais fictive, elle peut être virtuelle.
Considérez plusieurs miroirs qui donnent plusieurs images d'un objet, toutes les images sont représentatives et l'objet se trouve à l'extrémité de chaque rayon, quel est le sens de votre question ?

Le sens de la question est : si deux voyageurs partent tout droit à la même vitesse en suivant chacun une image de la même source, ils vont tous deux atteindre l'objet.
Dans ce cas, en quoi peut on dire que l'une des images est virtuelle ?

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Aucune n'est plus virtuelle ou réelle que l'autre. Les deux chemins pour y parvenir sont valides le seul truc est qu'on aborde pas l'objet par la même "face"
Zefram

[phys4]

Le sens de la question est : si deux voyageurs partent tout droit à la même vitesse en suivant chacun une image de la même source, ils vont tous deux atteindre l'objet.

Ils devront aller à la vitesse de la lumière pour avoir les trajectoires identiques à celles des rayons

Dans ce cas, en quoi peut on dire que l'une des images est virtuelle ?

Toutes les images vues sont virtuelles ! La distinction image, et objet vu directement, a peut-être une signification en optique, mais en RG elle ne signifie pas grand chose. un objet vu est toujours une image plus ou moins déformée.

[Mailou75]

Ils devront aller à la vitesse de la lumière pour avoir les trajectoires identiques à celles des rayons

Certes, comme on est dans le théorique ça ne me dérange pas trop

Toutes les images vues sont virtuelles ! La distinction image, et objet vu directement, a peut-être une signification en optique, mais en RG elle ne signifie pas grand chose. un objet vu est toujours une image plus ou moins déformée.

Mais ça, ça me dérange un peu plus : partir dans deux directions pour arriver au même objet c'est quand même pas classique (évidement c'est relativiste )

Pour nos formules... J'ai donc repris mon schéma :
Il est difficile de vérifier la véracité de la formule "générale" puisque je n'ai aucun élément de comparaison possible.
Mais, lorsque j'essaye pour un objet situé à 1,5Rs derrière le TN, l'angle obtenu est plus petit que l'angle minimum défini par vos courbes de géodésiques (orange), pas concluant.
Et pour un objet à l'infini, l'angle s'approche de la tangente au cercle défini par la formule "simplifiée" mais sans l'atteindre.
Encore une fois pour l'usage que j'en fais c'est amplement suffisant, mais j'aime bien quand ça tombe juste, tant pis...

Encore merci à vous
Bonne journée

[Mailou75]

La question de fond était plutôt : dans le schéma du message# 82, la logique est elle celle là ?

[phys4]

Mais ça, ça me dérange un peu plus : partir dans deux directions pour arriver au même objet c'est quand même pas classique (évidement c'est relativiste )

Ce fait me parait plus banal que cela, considérez le cas de deux miroirs , dans chaque miroir vous voyez une personne : c'est aussi deux images pour un seul objet. Rien de mystérieux ? C'est de l'optique.

Mais, lorsque j'essaye pour un objet situé à 1,5Rs derrière le TN, l'angle obtenu est plus petit que l'angle minimum défini par vos courbes de géodésiques (orange), pas concluant.
Et pour un objet à l'infini, l'angle s'approche de la tangente au cercle défini par la formule "simplifiée" mais sans l'atteindre.
Encore une fois pour l'usage que j'en fais c'est amplement suffisant, mais j'aime bien quand ça tombe juste, tant pis...

J'aurais du me douter qu'avec Mailou, il faut remplacer le signe égal par un signe approximation, chaque fois qu'une formule est approchée.
Rien de mystique dans ces formules, grossières approximations d'optique géométrique pour des rayons paraxiaux. Vous pouvez les reconstituer facilement.
C'est simplement l'utilisation de la déviation au premier ordre :
le rayon passant à la distance r d'une masse est dévié de


Le genre de formule que l'on utilise pour calculer la déviation au voisinage du Soleil.
Je ne vous propose pas de formule plus exacte, souvenez qu'il n'y a pas de solutions analytiques simples pour les géodésiques en général.

[Mailou75]

Ce fait me parait plus banal que cela, considérez le cas de deux miroirs , dans chaque miroir vous voyez une personne : c'est aussi deux images pour un seul objet. Rien de mystérieux ? C'est de l'optique.

Pas faux, c'est vrai que si j'envoie une balle très vite dans la direction des images, elles attendront l'objet

J'aurais du me douter qu'avec Mailou, il faut remplacer le signe égal par un signe approximation, chaque fois qu'une formule est approchée.

Ben ouais Mailou il vérifie tout !! je comprend mieux pourquoi c'est "presque" juste

le rayon passant à la distance r d'une masse est dévié de
Le genre de formule que l'on utilise pour calculer la déviation au voisinage du Soleil.

Ok, ça vérifie votre première formule de Re (pointillé violet) et l'angle est compatible avec la formule Wiki, mais pas la géodésique (rouge), logique...

Je ne vous propose pas de formule plus exacte, souvenez qu'il n'y a pas de solutions analytiques simples pour les géodésiques en général.

Oui ma compréhension sera elle aussi approximative, mais c'est déjà pas mal de pouvoir approximer les images que l'on a en tête

Encore merci pour vos cours en ligne
Mailou