relativité et matière noire

[invite80fcb52e]

Oui le E est en unité de masse.

Pour aller jusqu'au bout dans l'analogie et avoir la solution exacte dans ce problème (connu en cosmo), on peut identifier facilement que:


où v₀ et r₀ sont la vitesse et position initiale (altitude). H₀ est le taux d'expansion en cosmo.


Avec le paramètre de densité de l'univers.

On remarque aisément l'analogie entre vitesse et taux d'expansion. De même entre la courbure et le rapport énergie potentielle sur énergie cinétique.

Dans le cas de l'univers fermé (E<0) la solution est simplement:





L'altitude maximum atteinte est donc quand .

Ce qui peut se mettre sous la forme:



où est la vitesse de libération à la position r₀.

Si v₀ tend vers v_l l'objet tend vers l'infini, ce qui est cohérent.

En faisant un développement limité en v0/vl << 1 on retrouve même la loi classique de l'altitude atteinte h (r=r₀+h):



CQFD!

C'est beau la physique non?
-----

[Mailou75]

C'est beau la physique non?

Grave ! (c'est encore mieux si on comprend)

L'altitude maximum atteinte est donc quand

Ça a l'air de marcher plutôt bien ça

mais comment obtenir la durée du "saut" avec ceci ?

où est la vitesse de libération à la position r₀

t'aurais pas zappé une racine ?

Merci
Mailou

[invite60be3959]

Bonsoir,

Dans le cas de l'univers fermé (E<0) la solution est simplement:

j'imagine que tu as une piste en stock pour intégrer l'ED ?!

Quant aux conditions initiales, lorsqu'on pose t=0, on obtient d'où ce qui mène à r=0 ! (alors que r=R_T à t=0). Là aussi je suis coincé!

C'est beau la physique non?

Oui, très!

[Mailou75]

Alors essayons...
Je suppose qui si j'applique cette formule pour comme tu l'as fait pour r j'obtiens la durée du trajet à mi parcours, soit T/2
Par curiosité j'ai essayé pour la vitesse d'éjection obtenue lors de mes précédentes calculs (9,09km/s):

Si on accepte de faire ces approximations douteuses... on trouve que notre point d'équilibre existe pour les valeurs suivantes :
Sur Terre, pour une vitesse d'éjection v~9,09km/s depuis une altitude nulle (h=0) l'objet va décrire une ellipse de demi grand axe a~9,389.10⁶m
et de demi petit axe b~8,891.10⁶m et donc atteindre une altitude H~6,037.10⁶m à l'opposé de la Terre
La distance totale parcoure sera de P~57,430.10⁶m pendant une durée T~9053,68s (...)

Et je trouve que la durée du vol est exactement la même ! (9053,68s)
Par contre l'altitude depuis la surface de la Terre est plus que doublée, cette fois H'~12,4.10⁶m
Mais ce résultat vaut exactement Rt+H=6371+6037~12408km (soit notre H') !
(On pourrait donc écrire H'=2a-R avec a demi grand axe de l'ellipse et R rayon de la Terre)

Autrement dit, la distance entre le centre de la Terre et l'apogée dans le cas d'une orbite elliptique
est exactement la même qu'entre la surface de la Terre et la hauteur maximale dans le cas d'un trajet vertical !!!
(et le trajet dure exactement le même temps pour l'observateur terrestre)
Coïncidence numérique, erreur dans les formules ou égalité remarquable ??

Poussons un peu le bouchon
Si j'essaye à nouveau des approximations à la louche du genre altitude moyenne =H'/2 et vitesse moyenne = 2H'/T
on ne trouve plus du tout l'égalité recherchée, l'objet retombe "plus vieux" que l'observateur à la surface

En conclusion provisoire je serais tenté de dire que pour une vitesse d’éjection judicieusement choisie, il n'y a pas de paradoxe des jumeaux !!
Cad que dans le cas d'une orbite elliptique l'objet revient au même âge que l'observateur
et que pour un aller retour vertical l'objet revient plus vieux (trop de temps loin de la Terre)
mais qu'il ne revient jamais plus jeune comme le voudrait Langevin !!
(Autrement dit le demi tour par effet gravitationnel ne peut pas être considéré comme un demi tour en RR)

C'est pas beau la physique de comptoir ?

Merci d'avance pour vos critiques
Mailou

[invite60be3959]

Bon j'ai trouvé la hauteur max en posant la conservation de l'énergie entre le surface de la Terre et cette hauteur max, ainsi que la constante d'intégration de r en posant r=h (h la hauteur max) et theta = pi. Par contre celle de t, je ne vois vraiment pas( à part qu'elle vaut le temps de monté sur pi)

[Mailou75]

En fait on a une autre égalité remarquable

Si on suppose (c'est absurde je sais) que l'objet est à une altitude constante H'(12,4.10⁶m) issue du calcul de Gloubi
et se déplace à une vitesse constante v(9,09km/s) pendant la durée T(9053,68s)
(ce qui n'est pas la vitesse orbitale normale à cette altitude (4,6km/s) rappelons le)
alors... on trouve une égalité +RG-RR=+4,17μs-4,17μs=0 !!!!

J'avoue que je ne sais plus trop ce que je suis en train de faire, mais cette égalité est pour le moins étrange...

Si vous avez une idée du pourquoi de ce résultat, je suis tout ouï

[invite80fcb52e]

t'aurais pas zappé une racine ?

Exact!

j'imagine que tu as une piste en stock pour intégrer l'ED ?!

C'est à dire? La solution je l'ai choppé de mon cours de cosmo...

Quant aux conditions initiales, lorsqu'on pose t=0, on obtient d'où ce qui mène à r=0 ! (alors que r=RT à t=0).

Oui c'est parce que c'est paramétrique. Ca part de r=0 jusqu'à r=0 de nouveau.

Pour trouver le temps de trajet il faut résoudre r=r0, ce qui donne 2 solutions en theta, qu'on injecte ensuite dans l'expression de t et on fait la différence pour avoir le temps de parcours.

Je suppose qui si j'applique cette formule pour comme tu l'as fait pour r j'obtiens la durée du trajet à mi parcours, soit T/2
Par curiosité j'ai essayé pour la vitesse d'éjection obtenue lors de mes précédentes calculs (9,09km/s):

Si tu injecte direct ca te donne le temps de trajet en partant de r=0 et en retombant à r=0.
Le calcul comme je l'ai indiqué avant, avec v=9,09km/s me donne ceci:
Pour r=r0 on a 2 racines, et , ce qui nous donne 2 temps t1=428s et t2=8549s. Donc le temps de vol de surface à surface vaut 8121s.
C'est un peu moins que tes 9000s car il n'est pas pris en compte le temps pour aller de la surface au centre de la Terre soit ici environ 2 fois 428s.

Par contre l'altitude depuis la surface de la Terre est plus que doublée, cette fois H'~12,4.106m
Mais ce résultat vaut exactement Rt+H=6371+6037~12408km (soit notre H') !
(On pourrait donc écrire H'=2a-R avec a demi grand axe de l'ellipse et R rayon de la Terre)

Oublie tout ça.
Tout est normal.
Dans le cas d'une ellipse tu trouves un demi grand axe de 9389 km et dans le cas d'une trajectoire purement radiale on trouve une altitude max de 18755 km soit exactement le double.
En fait la trajectoire purement radiale est une ellipse dégénérée d’excentricité de 1 dont le périastre passe infiniment proche de l'astre central, donc l'altitude maximum est exactement le double du demi grand axe! Et c'est exactement ce qu'on trouve!

La morale c'est que pour une vitesse initiale en module donnée, peu importe la direction, le demi grand axe est le même. C'est complètement logique car le demi grand axe est relié directement à l'énergie mécanique de ta particule et cette dernière ne dépend que du module de la vitesse (et pas de la direction). Il est donc normal de trouver la même période. Rien de surprenant ou de nouveau donc!

[invite60be3959]

C'est à dire? La solution je l'ai choppé de mon cours de cosmo...

Et bien comment obtenir justement cette solution! A priori ton cours vous la balance sans vous expliquer d'où elle vient...(à la fois ça ne m'étonne pas trop)
Juste pour info, l'expression "intégrer une ED" signifie la résoudre puisque c'est effectivement ce que l'on fait pour accéder à la fonction sur laquelle porte l'ED.

[inviteaecfdedf]

He ben, je vois que vous vous amusez bien hehe
Continuez, continuez, je ne fais que passer, je me moque deux minutes et je repars.
Dans tout ce que vous racontez, et bien que je n'en ai pas lu grand chose, et encore moins compris, je sais une chose c'est que vos efforts sont forcément vains.
Mais poursuivez, tout cela vous rend fort sympathique.

OUHAHA

[invite80fcb52e]

Juste pour info, l'expression "intégrer une ED" signifie la résoudre puisque c'est effectivement ce que l'on fait pour accéder à la fonction sur laquelle porte l'ED.

Je sais. L'ED est intégrée, en fait tu fais le changement de variable r -> 1-cos theta, et en intégrant tu trouves l'expression de t en fonction de theta.

[invite60be3959]

Je sais. L'ED est intégrée, en fait tu fais le changement de variable r -> 1-cos theta, et en intégrant tu trouves l'expression de t en fonction de theta.

Ok merci bcp !

désolé, j'avais cru comprendre que tu ne savais pas ce que ça voulait dire(je trouvais ça bizarre!)

[invite60be3959]

Dans tout ce que vous racontez, et bien que je n'en ai pas lu grand chose, et encore moins compris, je sais une chose c'est que vos efforts sont forcément vains.

Déjà nos efforts ne concernent qu'un problème de physique classique bien connu depuis longtemps(ni matière noire ni rien de nouveau ou d'hypothétique). Il n'y a aucune élaboration d'un modèle. Ce qui confirme bien le fait que tu n'as ni lu ni compris ce qui s'écrit ici. Et même si effectivement il y avait élaboration d'un modèle, puisque tu n'y comprends rien, je ne vois pas en quoi donc, tu pourrais te permettre de le juger!

Donc en résumé, tu n'as compris ni le fond(de quoi on parle) ni la forme(comment on en parle via les maths), et tu te permets tout de même de porter un jugement !!
Pour osé faire ça et se tromper à ce point, il faut 2 conditions :
1) avoir une haute idée de soi
2) que ce soit faux !!

[inviteefd8627f]

He ben, je vois que vous vous amusez bien hehe
Continuez, continuez, je ne fais que passer, je me moque deux minutes et je repars.
Dans tout ce que vous racontez, et bien que je n'en ai pas lu grand chose, et encore moins compris, je sais une chose c'est que vos efforts sont forcément vains.
Mais poursuivez, tout cela vous rend fort sympathique.

OUHAHA

Ca sert à quoi de polluer un forum avec des réflexions aussi débiles? "J'ai rien lu, j'ai rien compris, mais je porte un jugement négatif " Bravo! Arrête les sarcasmes et va jouer ailleurs!

[Mailou75]

Merci,

Le calcul comme je l'ai indiqué avant, avec v=9,09km/s me donne ceci:
Pour r=r0 on a 2 racines, et , ce qui nous donne 2 temps t1=428s et t2=8549s. Donc le temps de vol de surface à surface vaut 8121s.
C'est un peu moins que tes 9000s car il n'est pas pris en compte le temps pour aller de la surface au centre de la Terre soit ici environ 2 fois 428s.

Okiiii la période T est la même sur la totalité des ellipses, mais dans le cas qui nous intéresse ici l'objet ne parcours pas toute l'ellipse (dégénérée),
car une partie traverse la Terre, je comprends la logique merci !

Oublie tout ça. Tout est normal.
Dans le cas d'une ellipse tu trouves un demi grand axe de 9389 km et dans le cas d'une trajectoire purement radiale on trouve une altitude max de 18755 km soit exactement le double.
En fait la trajectoire purement radiale est une ellipse dégénérée d’excentricité de 1 dont le périastre passe infiniment proche de l'astre central, donc l'altitude maximum est exactement le double du demi grand axe! Et c'est exactement ce qu'on trouve!

Ok, en fait on a simplement r=2a !
On est pas exactement d'accord sur l'application numérique (9389x2=18778) mais peu importe...
Sinon j'imagine que l'excentricité est 0,9999... pas 1 sinon elle ne se referme pas

La morale c'est que pour une vitesse initiale en module donnée, peu importe la direction, le demi grand axe est le même. C'est complètement logique car le demi grand axe est relié directement à l'énergie mécanique de ta particule et cette dernière ne dépend que du module de la vitesse (et pas de la direction). Il est donc normal de trouver la même période. Rien de surprenant ou de nouveau donc!

Il y a quand même une "inversion" de l'ellipse, car dans un cas (~vertical) on reste du même coté de la planète et dans l'autre (ellipse) on en fait le tour.
J'ai beaucoup de mal à imaginer ce que donnerait une éjection aléatoire (ni horizontale, ni verticale)...
Il y a un passage où l'ellipse va traverser la Terre et l'objet va donc s'écraser ailleurs sur la surface de la Terre ?

Concernant la question initiale : es tu d'accord pour dire que dans une éjection verticale l'objet retombera toujours "plus vieux" que l'observateur ?

Dernière question, avec tes formules qui relient la vitesse d’éjection (v) à la distance au centre de l'astre (r),
je trouve que, quelle que soit la vitesse d’éjection, on a toujours une égalité étrange :
le ralentissement du temps RR pour une vitesse v est exactement égal à l'accélération du temps RG pour un objet à une distance r,
par rapport à un observateur fixe à la surface de la Terre
(j'avais donné un exemple numérique mais en fait la période T n'intervient pas dans le calcul)
dans tous les cas on obtient que =1/z+1, comment expliquer cette égalité ?

Merci d'avance

[invite80fcb52e]

Okiiii la période T est la même sur la totalité des ellipses, mais dans le cas qui nous intéresse ici l'objet ne parcours pas toute l'ellipse (dégénérée),
car une partie traverse la Terre, je comprends la logique merci !

Oui bien sur! Je te parle seulement du calcul si on a un objet ponctuel. En pratique c'est bien différent... Tu chipotes un peu!

On est pas exactement d'accord sur l'application numérique (9389x2=18778) mais peu importe...

Tu chipotes encore là! Vu comment j'ai fait à l'arrache et ne sachant pas quelles valeurs tu as utilisés, faut pas s'étonner si c'est pas égal avec 3 décimales près!

Sinon j'imagine que l'excentricité est 0,9999... pas 1 sinon elle ne se referme pas

Oui elle tend vers 1! Tu chipotes toujours...

Il y a quand même une "inversion" de l'ellipse, car dans un cas (~vertical) on reste du même coté de la planète et dans l'autre (ellipse) on en fait le tour.

Dan le cas vertical en fait l'autre côté se fait à l'endroit de l'astre central. Comme s'il tombait sur l'astre central ponctuel et repartait aussitôt une fois atteint. C'est bien sur un cas limite car un objet ponctuel en pratique ça n'existe pas.

J'ai beaucoup de mal à imaginer ce que donnerait une éjection aléatoire (ni horizontale, ni verticale)...
Il y a un passage où l'ellipse va traverser la Terre et l'objet va donc s'écraser ailleurs sur la surface de la Terre ?

Beh ça donne une ellipse avec le même demi grand axe mais pas la même excentricité.

Concernant la question initiale : es tu d'accord pour dire que dans une éjection verticale l'objet retombera toujours "plus vieux" que l'observateur ?

J'en ai aucune idée. Je m'y suis pas intéressé à la question initiale...

Dernière question, avec tes formules qui relient la vitesse d’éjection (v) à la distance au centre de l'astre (r),
je trouve que, quelle que soit la vitesse d’éjection, on a toujours une égalité étrange :

Quelles formules?

[Mailou75]

Merci,

Tu chipotes un peu!
Tu chipotes encore là!
Tu chipotes toujours...

Non non je cherche à savoir si j'ai bien compris...
Tu sais les maths ne sont pas, comme pour toi, une langue maternelle

Beh ça donne une ellipse avec le même demi grand axe mais pas la même excentricité.

Je vais déjà essayer de comprendre les cas simples avant de me lancer là dedans,
mais ça m’intéresserait de connaitre l'excentricité en fonction de l'angle d’éjection et l'orientation du grand axe de l'ellipse par rapport à cet angle d'ejection,
mais je sens que la solution ne va pas être évidente je garde donc ce problème pour plus tard

J'en ai aucune idée. Je m'y suis pas intéressé à la question initiale...

Ben j'essayais voir si cette affirmation de Zef (message #9) est vraie ou non... il semblerait qu'elle soit fausse

* Si à l'instant initial, deux observateurs sont situés à la même altitude dans un champ de gravitation et que l'un décide de faire un bond en l'air ( il quitte le sol à la vitesse V), quand il retombera, il sera aussi vieux que celui qui sera resté à Terre.

Quelles formules?

Celles ci

Si on calcule le lié à notre vitesse initiale v₀
et le décalage d'Einstein z+1 entre la surface r₀ la distance max r de ta dernière formule,
numériquement je trouve que =1/z+1
(on rappelle que r₀ est le rayon de l'astre, la Terre en l'occurence)

Si j'essaye de rester dans les formules ça nous donne normal...

Et avec normal aussi...

ce qui, avec tes formules citées précédemment qui définissent r, nous donne la mignonne égalité :



si je ne me suis pas trompé... qui se vérifie quelle que soit la vitesse v₀ (avec G, M et r₀ connues et constantes)

Donc d'une certaine façon j'ai envie de penser que l'altitude max r et la vitesse initiale v₀ sont liées... par le temps

Merci pour vos critiques

[invite60be3959]

Bonjour,

Concernant la question initiale : es tu d'accord pour dire que dans une éjection verticale l'objet retombera toujours "plus vieux" que l'observateur ?

Je me permet de faire une remarque par rapport à cette question. Ton approximation qui consiste à poser Vmoy = 2H'/T est trop drastique. Elle serait justifiée si la vitesse ne changeait pas trop au cours du temps, or ce n'est pas du tout le cas! On peut donc tout à fait trouver un résultat inverse au calcul sans approximation. Donc en toute rigueur(presque en fait) on doit calculer les facteurs de dilatation du temps moyens grâce à une moyenne intégrale (voir paragraphe "moyenne"). Une moyenne intégrale n'est qu'en fait une somme continue divisée par le temps total et qui permet de tenir compte de la variation de la fonction au cours du temps. C'est l'équivalent d'une moyenne habituelle(arithmétique) pour une somme discrète. Plus précisément, cette moyenne intégrale pour les facteurs de dilatation du temps est exprimée par :



Le facteur gamma dépend du temps à travers la vitesse qui est une fonction du temps. Je ne sais pas si cette intégration est possible car tout dépend de la forme de . Je vais voir ce que ça donne.

[invite80fcb52e]

Je vais déjà essayer de comprendre les cas simples avant de me lancer là dedans,
mais ça m’intéresserait de connaitre l'excentricité en fonction de l'angle d’éjection et l'orientation du grand axe de l'ellipse par rapport à cet angle d'ejection,
mais je sens que la solution ne va pas être évidente je garde donc ce problème pour plus tard

C'est relié en partie au moment cinétique. Si tu lances de façon perpendiculaire au rayon, le moment cinétique est maximum, l'excentricité est petite. Au contraire si lance plutôt dans la direction du rayon (verticale), le moment cinétique est faible et l'excentricité est grande.

Je te conseille de regarder le problème à deux corps connu depuis longtemps.

si je ne me suis pas trompé... qui se vérifie quelle que soit la vitesse v₀ (avec G, M et r₀ connues et constantes)

L'expression de r que j'ai donné c'est l'altitude max atteinte (quand v=0), c'est pas la fonction r.

De plus il faut préciser dans tes formules qui est l'observateur, car la dilatation du temps s'applique pour un observateur.

Le mieux à faire c'est de calculer le temps propre de chacune des 2 personnes, celle qui saute et celle qui reste sur Terre et de voir la différence. C'est pas moi qui vais le faire, un petit calcul de RG j'ai pas très envie.

Par contre j'ai fait un petit truc. J'ai calculé l'intervalle de temps mesuré par celui qui saute (dt) par rapport à celui resté au sol (dT). J'ai combiné la formule de dilatation lié à la vitesse et celle lié à l'effet Einstein (que tu as donné de façon maladroite). Après quelques développements limités justifiés: r et R << Rs et v, v0 << c, avec R le rayon de la Terre, beaucoup de choses se simplifient et je trouve que dt > dT quelque soit r.

Et comme la dilatation du temps est symétrique en vitesse mais pas en altitude j'ai calculé cette fois le temps mesuré par celui resté au sol (dT) par rapport à celui qui saute (dt). Après simplifications je trouve cette fois que dT < dt quelque soit r. Ce qui est cohérent avec avant heureusement (je me méfis d'un effet subtil des jumeaux).

Donc je pense qu'on peut approximativement dire que celui qui saute est plus vieux.

Une façon peut être plus simple voir ça est de dire que la dilatation de temps gravitationnelle vue de l'infini est équivalente à celle de la RR avec pour vitesse la vitesse de libération. Comme celui qui saute et retombe a une vitesse forcément inférieure à la vitesse de libération, l'effet gravitationnel est plus important donc celui qui saute est plus vieux.

Ou encore vu de celui qui saute on a "ralentissement" lié à la vitesse et à la gravitation et pour celui reste on a ralentissement lié à la vitesse et "accélération" lié à la gravitation, donc celui qui saute "voit plus de ralentissement" que celui qui reste donc il est plus vieux.

Ca répond à ta question?

[inviteaecfdedf]

ça y est, je crois que j'ai compris !
J'ai toujours supposé que c'était le temps qui se déformait fortement dans le vide mais Mailou et les autres avez raison, le temps agit comme vous le dites.
Je m'accorde un peu de réflexion avant d'ouvrir une nouvelle discussion.

[Mailou75]

Merci à vous,

Je me permet de faire une remarque par rapport à cette question. Ton approximation qui consiste à poser Vmoy = 2H'/T est trop drastique.

Oui j'ai un peu honte, d'ailleurs je n'ose pas donner de chiffres...

Je vais voir ce que ça donne.

Une intégrale... je te laisse faire

C'est relié en partie au moment cinétique (...)
Je te conseille de regarder le problème à deux corps connu depuis longtemps.

J'essayerai mais j'ai peur qu'il me manque certaines données

L'expression de r que j'ai donné c'est l'altitude max atteinte (quand v=0), c'est pas la fonction r.

Oui oui j'avais compris ça

Donc je pense qu'on peut approximativement dire que celui qui saute est plus vieux.

C'est aussi ce que disent mes approximation barbares, difficile de dire exactement de combien il est plus vieux,
mais si on d'accord sur le principe c'est déjà pas mal

Une façon peut être plus simple voir ça est de dire que la dilatation de temps gravitationnelle vue de l'infini est équivalente à celle de la RR avec pour vitesse la vitesse de libération.

Oui c'est exactement ce que j'essaye de dire avec cette égalité :

Si v₀ est la vitesse de libération, le ralentissement du temps lié à la RR est exactement égal à l'accélération du temps RG à l'infini de l'astre (~60μs/jour pour la Terre).
Mais la formule est plus générale, elle dit que pour toute vitesse initiale v₀ le ralentissement RR est égal à l'accélération RG à la hauteur maximale atteinte (r)

[invite60be3959]

Bonsoir,

si je ne me suis pas trompé...

Je crois malheureusement que c'est le cas. Cette égalité est fausse, il n'y a pas de GM de chaque côté. Je croyais que tu cherchais le point de la trajectoire et la vitesse pour lesquelles se compense la dilatation du temps RR et RG. Cela consisterait plutôt à écrire :



...

[invite60be3959]

...

Ha non pardon, tu veux calculer la vitesse d'éjection pour laquelle une fois l'observateur mobile revenu, il a le même âge que l'observateur resté sur Terre.

[invite60be3959]

Pour répondre au problème posé, on doit égaler l'intervalle de temps de l'observateur mobile et celui de l'observateur "fixe".

On pose donc :



p.s : désolé pour le nombre de message, je me plante à chaque fois!

[Mailou75]

Salut,

Attention tu parles de choses différentes :

-La question initiale est en effet de savoir pour quelle vitesse d'éjection le voyageur en orbite retombe au même âge que l'observateur statique à la surface de la Terre.
On vient de voir à la louche que pour une éjection verticale le voyageur revient toujours plus vieux, il n'y a donc pas de solution au problème dans ce cas.
Par contre si l’éjection est horizontale on trouve des orbites d'équilibre illustrées ici : http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post4320552
où l'ellipse rouge vaut pour une éjection depuis la surface de la Terre à v~9,09km/s et le voyageur revient effectivement au même âge.
(c'est le résultat de mes premières approximations, on peut sans doute être plus précis mais je pense que ça ne changera pas grand chose, en ordre de grandeur)

-La dernière égalité que j'ai donnée c'est autre chose...
Dans le cas d'une éjection verticale à une vitesse v les formules de Gloubi nous disent que le voyageur atteint une distance depuis le centre de la Terre r.
Or si on fait le calcul le ralentissement du temps pour cette vitesse v du fait de la RR, dicté par le
est exactement égal à l'accélération du temps loin de la Terre (à une distance r du centre) du fait de la RG, dicté par le z+1 cette fois.
Ce que dit la dernière égalité que j'ai donnée c'est cela : que pour une vitesse d’éjection donnée v on peut connaitre l'altitude maximale r en ne s’intéressant qu'à l'écoulement du temps.
Je ne sais pas exactement ce que ça veut dire ni pourquoi ça marche, mais ça marche

A vos neurones

[Mailou75]

que pour une vitesse d’éjection donnée v on peut connaitre l'altitude maximale r en ne s’intéressant qu'à l'écoulement du temps

Pour le calcul, si tu trouves que pour une vitesse v le ralentissement du temps est -N secondes/seconde (RR)
alors si tu envoies un objets à la verticale à cette vitesse il atteindra une hauteur maximale (distance au centre de la Terre r)
telle qu'à cette distance l'accélération du temps est +N secondes/seconde (RG).
Je ne sais pas si c'est plus clair ?

Bonne réflexion

[Mailou75]

Un exemple numérique :
Pour la vitesse de libération v~11,18km/s on trouve que le ralentissement RR est d'environ -60μs/jour
et à la hauteur atteinte (infini) l'accélération du temps RG est l'inverse soit +60μs/jour

Un autre exemple:
Pour v=8km/s l'objet atteint une distance r~13037km soit une hauteur depuis la surface de la Terre H=r-Rt~6666km
Le calcul nous dit que le ralentissement du temps RR à cette vitesse est environ -30,7μs/jour
et que l'accélération du temps RG à cette altitude est environ +30,7μs/jour

Et l'égalité reste vraie pour toute vitesse inférieure à la vitesse de libération (au delà le calcul n'a pas de sens)

[invite60be3959]

Aller ce sera le dernier !

L'intervalle de temps propre se calcule en intégrant la métrique de Schwarschild pour une trajectoire radiale entre les temps 0 et , où est le temps de montée(égale au temps de descente) à la hauteur maximum h, le tout divisé par c et multiplié par 2(montée + descente). Selon ce cours, en champs faible et vitesse faible(ce qui est bien notre cas ici), on peut montrer que l'intervalle de temps propre vaut(au passage on se rend compte que le RR est implicitement contenue dans la RG, donc pas besoin de "rajouter" à la main un facteur de dilatation du temps RR) :




Or , selon l'expression de l'énergie mécanique. Ce qui fait :



Et on a . Donc on vérifie, en effet (selon l'estimation de Gloubi) que pour E<0 l'observateur mobile revient toujours plus vieux. On peut tout de même étudier le cas limite où l'énergie tend vers 0. C'est la seule possibilité pour qu'il y est égalité des intervalles de temps(uniquement à la limite). Or puisqu'on peut écrire , cela implique que ce qui est justement la vitesse de libération à la surface de la Terre. Or pour cette vitesse on remarque que la hauteur maximum tend vers l'infini et le tend de montée également.

[invite60be3959]

-La dernière égalité que j'ai donnée c'est autre chose...
Dans le cas d'une éjection verticale à une vitesse v les formules de Gloubi nous disent que le voyageur atteint une distance depuis le centre de la Terre r.
Or si on fait le calcul le ralentissement du temps pour cette vitesse v du fait de la RR, dicté par le
est exactement égal à l'accélération du temps loin de la Terre (à une distance r du centre) du fait de la RG, dicté par le z+1 cette fois.
Ce que dit la dernière égalité que j'ai donnée c'est cela : que pour une vitesse d’éjection donnée v on peut connaitre l'altitude maximale r en ne s’intéressant qu'à l'écoulement du temps.
Je ne sais pas exactement ce que ça veut dire ni pourquoi ça marche, mais ça marche

A vos neurones

Je ne suis pas vraiment d'accord son l'interprétation de l'égalité que tu proposes. Si on la résoud en v₀, on obtient justement la vitesse de libération à la surface de la Terre. Cette égalité est donc équivalente à poser , comme je l'explique dans mon dernier message. Or la hauteur maximum est Donc cette égalité impose une seule hauteur maximum : l'infini.

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
Je veux bien croire que l'observateur mobile reviendra plus vieux d'après l'observateur de référence à l'oo, et j'ai peut être mal compris la démo.

Je croyais que Mailou avait montré que pour Vo initial < à la vitesse de libération, l'effet de dilatation du temps (RR) était compensé par le décallage d'Einstein lorsque le mobile atteint la hauteur maximale Hm

De la il me paraît clair qu'il existe une hauteur Ho telle que lorsque le mobile se trouve à une hauteur Z<Ho, qu'il évolue à V , il existe une hauteur Ho <H <Hm où le décallage d'Einstein l'effet de dilatation du temps du à V ; et inversement lorsque Z>Ho il existe une hauteur H<Ho.

Je me demande si la réponse àla question suivante n'est pas nécessaire pour résoudre ce problème :
Si, pour l'observateur à l'oo le rayon du TN est 2GM/c² , quel est le rayon de ce TN pour l'observateur local fixe situé à une distance R du TN?

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Re,

On peut tout de même étudier le cas limite où l'énergie tend vers 0. C'est la seule possibilité pour qu'il y est égalité des intervalles de temps(uniquement à la limite). Or puisqu'on peut écrire , cela implique que ce qui est justement la vitesse de libération à la surface de la Terre. Or pour cette vitesse on remarque que la hauteur maximum tend vers l'infini et le tend de montée également.

Là tu t’intéresses à la première question : dans quel cas l'objet retombe-t-il au même âge que l’observateur?
Je te fais confiance sur les calculs qui nous disent apparemment que, pour une éjection à la verticale, l'objet retombe toujours plus vieux,
SAUF comme tu le dis pour le cas limite de la vitesse de libération où, si il retombait, il aurait le même âge que l'observateur sur Terre.
(Ça veut dire que pour Vlib-epsilon on aurait effectivement un objet d'âge identique à l’observateur à son retour)
Je trouve ce résultat très intéressant

Je ne suis pas vraiment d'accord son l'interprétation de l'égalité que tu proposes.

L'autre formule n’a presque rien à voir avec le problème précédent, faut pas mélanger...

Je croyais que Mailou avait montré que pour Vo initial < à la vitesse de libération, l'effet de dilatation du temps (RR) était compensé par le décallage d'Einstein lorsque le mobile atteint la hauteur maximale Hm

C'est presque ça, il n'est plus ici question de temps de parcours, de temps écoulé ni rien du genre...
Tout ce que dit la formule c'est :
Pour une vitesse v, le temps est ralenti d'un certain facteur.
Si on cherche à quelle altitude le temps est accéléré du même facteur,
on trouve que c'est justement l'altitude qu'aurait atteint l'objet si on l'avait éjecté verticalement à la vitesse v.
Ça n'a rien à voir avec la première question, c'est juste une égalité remarquable.

Merci à vous