Epistémologie des notions infini actuel et de cardinal pour un ensemble infini

[karlp]

Bonjour

Je crois avoir compris que la cohérence de ZFC ne peut être démontrée à l'intérieur de ZFC (selon le second théorème de Gödel)
Mais que cette cohérence peut être démontrée dans un système plus puissant.
Cher Médiat, je suis impatient de lire votre correction.
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[Médiat]

Bonjour

Je crois avoir compris que la cohérence de ZFC ne peut être démontrée à l'intérieur de ZFC (selon le second théorème de Gödel)

Exact

Mais que cette cohérence peut être démontrée dans un système plus puissant.

Oui, et on connaît même un exemple : ZFC + Il existe un cardinal fortement inaccessible (CFI), marche très bien. Attention je ne dis pas que si ZFC + CFI est consistante alors ZFC est consistante, ce qui est une trivialité sans intérêt, mais que ZFC + CFI permet de démontrer Cons(ZFC) (il y a un changement de niveau dans le langage, du métamathématique vers le mathématique).

Donc pas de correction .

[karlp]

Donc pas de correction .

Certes,mais de riches précisions pour moi.

[Les Terres Bleues]

C'est une bonne question, qui m'a turlupiné un temps.

Mon idée est que, non, il n'est pas défini explicitement dans les axiomes, il est défini explicitement dans la notion de langage.

Le terme qu'on rencontre alors est "ensemble récursif". Plus généralement, dans tout ce qui est théorie des langages, les mots "récursif", "récursivement", indique souvent l'infini potentiel (pas toujours, puisque cela inclut aussi le fini).

On tombe ainsi sur l'auto-référence fondamentale des mathématiques, qui nécessitent un langage et qui théorisent ce qu'est un langage.

Vu comme cela, l'infini potentiel m'apparaît totalement intuitif : c'est juste le concept qu'à partir de n formules mathématiques (par exemple n prédicats logiques) on peut toujours en construire une n+1ème différente des n premières.

Il me semble que cette faculté est un a priori à toutes les mathématiques, y compris celles s'intéressant aux fondements.

Bonjour,

Il me semble comprendre le point de vue que tu exposes là, et être en accord avec.

Cependant, j'ai l'impression que la définition de la récursivité elle-même fait déjà (implicitement) appel à la notion d'infini actuel puisque le point de départ est affirmé ex-nihilo (sans prédécesseur dans l'arithmétique par exemple). Et du coup, on n'a même plus besoin d'infini potentiel de ce côté-là.

Ça donne le vertige.

Cordiales salutations.