Bonjour,
Euclide ne croyait pas à l'infini actuel (= infini considéré comme un tout), et pour cause :
Si nous dénombrons n entiers, nous pouvons toujours en dénombrer n + 1.
Autrement dit, dans N, nous dénombrons toujours une somme non finie de parties finies.
Or, une somme non finie de parties finies donne toujours une partie non finie, jamais un tout.
L'idée d'un tout infini repose-t-elle sur une démonstration solide ?
Bonjour,
J'avoue ne pas comprendre ce que vous voulez dire ...Envoyé par akntn
Pour avoir des détails il faut voir les travaux de Cantor.
Une façon simple de comprendre cela est de faire la différence entre :
1) "Je peux manipuler tout entier que je veux, aussi grand soit-il"
2) "Je peux manipuler tous les entiers"
3) "je peux manipuler l'ensemble des entiers"
Le cas 1) correspond à un infini potentiel (je peux, potentiellement, manipuler un nombre infini de nombres), une autre façon de le dire est que l'ensemble que je peux manipuler n'est pas borné.
Le cas 3) correspond à un infini actuel, ce qui permet de faire plusieurs choses, par exemple, si je considère IN, muni de sa relation d'ordre habituel, je peux très facilement considérer l'ensemble IN U {IN}, et placer ce nouvel élément (qui n'est pas un nombre entier) après, tous les entiers (donc après l'infini).
Le cas 2) est plus ambigu car on peut comprendre cette phrase comme synonyme de la 1) ou de la 2), elle est donc source de confusion.
Pour information, la théorie ZF sans l'axiome de l'infini admet des modèles dans lesquels on trouve tous les entiers, mais pas l'ensemble des entiers.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Que signifie cette phrase? Que signifie être entier si l'ensemble des entiers n'existe pas?
Dans ZF+axiome de l'infini, pas de problème (je crois). N est le plus petit ensemble récursif (il en existe au moins un par l'axiome de l'infini) et les entiers sont par définition les éléments de N.
Mais dans ZF sans axiome de l'infini, que sont les entiers? Sont-ce les entiers de Von Neumann? J'avais cru comprendre qu'on ne pouvait pas construire une infinité d'entiers de Von Neumann (il faudrait la récurrence, et donc N, pour cela)
Cordialement
Bonjour,
Il s'agit bien des entiers de Von Neumann.
En fait, sans l'axiome de l'infini on ne peut affirmer que l'ensemble des entiers existe, mais chacun d'entre eux existe (sinon il doit y avoir une borne sup, ce qui n'est pas compatible avec la définition).
De plus ZF sans l'axiome de l'infini est consistant, et on peut en trouver un modèle (modèle d'Ackerman, j'en ai déjà parlé, mais je n'ai pas les références sous la main, avec Google, tu peux en trouver, dans les documents de Dehornoy er par un Japonais entre autres.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Merci. Je me suis peut-être mal exprimé. Le mot "somme" est impropre. J'entendais : dénombrer un ensemble non fini (je n'aime pas le terme "infini") de partie finies de N revient à dénombrer une partie non finie de N, qui serait ... N.
Ex:
{0}
{0,1}
{0,1,2}
{0,1,2,3}
...
Partie non finie de N (= N) :
{0,1,2,3,4,5,6,7, n, ... n + 1}
N ne serait jamais un "tout", mais seulement cette "partie non finie". L'infini actuel semble loin de simplifier les choses (selon moi).
Bonjour,
Désolé, mais je comprends de moins en moins :
Je ne connais pas d'autres définition de infini que "non fini", j'ai du mal à comprendre comment on peut accepter l'un et pas l'autre ...
Voulez-vous dire que toute partie non finie de IN est égale à IN ? Si oui, c'est faux, il suffit de considérer IN - {0}Partie non finie de N (= N) :
Des parties "non finies" il y en a plein (plus que d'entiers même)N ne serait jamais un "tout", mais seulement cette "partie non finie".
Au contraire puisque l'infini actuel permet de faire la différence entreL'infini actuel semble loin de simplifier les choses (selon moi).
"Je sais parler de tous les entiers" (dans le sens "de chacun des entiers")
et
"Je sais parler de tous les entiers" (dans le sens "des entiers comme un tout".
Un exemple patent est que dans certaines arithmétique faibles on peut
"pour chaque entiers n et p, on peut démontrer que n + p = p + n",
mais on ne peut pas
"démontrer que pour tous les entiers n et p : n + p = p + n".
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Le terme "infini" renvoie à l'infini considéré comme un tout, et je n'y crois pas : c'est une simple question de représentation (cantorienne essentiellement). Concevoir l'infini comme un "tout", c'est projeter le fini sur l'infini. Seul le fini est complet, fermé.
Etymologiquement, "infini" signifie "qui n'est pas fini", "qui n'est pas limité", et non pas : "infiniment grand" (ce qui n'a aucune signification).
Je n'ai pas dit que toute partie non finie de N était "égale" à N, mais que N était seulement une partie non finie de lui-même (c'est à dire qu'il n'est jamais un "tout").
Bonjour,
Si c'est une question de religion, je n'ai plus d'arguments
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
Du point de vue axiomatique, les mathématiques sont effectivement une question de religion.
Non, c'est philosophique comme cela a été dit dans cette discussion : http://forums.futura-sciences.com/ep...e-parties.html (si ta question concerne uniquement l'axiomatique, tu pourrais continuer l'argumentation sur la discussion référencée que ici).
Réfuterais tu l'usage de la notion de bijection pour caractériser celle de l'infini ?
Comme le suggère jreeman le débat aurait plus sa place dans le forum d'épistémologie, mais avec des arguments qui ne relèvent pas de la croyance.
Patrick
PS
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2686789
Maintenant si le débat s'installe que sur des aspects subjectifs alors je préfère le terme strip-tease à celui de teaser
Bonjour,
Justement non. Je ne réfute pas la notion de bijection, car elle me permet de montrer que N n'est pas un tout :
- Toute partie de N ne contient qu'une partie des éléments de N.
- N est une partie de lui-même, équipotente de chacune de ses parties.
- N ne contient donc qu'une partie de ses éléments, et ce n'est pas un tout.
Autrement dit, il n'existe pas de plus grande partie dans l'ensemble N (c'est à dire de "tout").
- oui mais c'est une tautologie.
- N n'est pas équipotent à toutes ses parties
- euh, ça veut dire quoi?
Et il existe une plus grande partie (au sens de l'inclusion) dans N, qui est N lui même.
Il faudrait maîtriser un peu plus les bases de la logique et de la théorie des ensembles avant d'aller plus loin...
Bonjour,
C'est vrai de tous les ensembles,
C'est faux
C'est n'importe quoi
Exemple typique de sophisme ; ceci n'est en rien une démonstration.
Comme vous avez admis que pour vous il s'agissait de réligion, je vous suggère d'aller prêcher sur un autre forum mieux adapté à votre méconnaissance de la logique et de la théorie des ensembles.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
"c'est faux", "c'est n'importe quoi", "ceci est un sophisme", ne constituent pas une argumentation mathématique.
Cordialement, akntn
J'utilise des arguments mathématiques face à un interlocuteur qui me parle de mathématiques comme je l'ai fait, par exemple, dans le message #4 ci-dessus.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il y en a qui sont quand même gonflés
La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation
@ Mediat
tu devrais arrêter de répondre, car cela ressemble à de la conviction voir de la foi, la discussion en devient stérile, tu pourras toujours avancer d'autre argument il restera sur son point de vue, encore un qui demande au autre d'avoir l'esprit ouvert , mais dont le sien est complètement fermé.
Je ne prétends rien du tout, je sais que ma formulation est simpliste. Je me pose simplement la question suivante :
Si N n'est pas plus grand que l'une de ses parties (il y a le même nombre d'éléments dans N que dans n'importe laquelle de ses parties, c'est prouvé par la bijection), alors dans ce cas N ne peut être un "tout" (sinon il serait forcément plus grand). C'est donc une partie comme les autres.
Qu'est-ce qui cloche là-dedans ?
Quelle est la définition MATHÉMATIQUE d'un « tout » ?
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Non !
Il y a des parties de N qui ont le même cardinal que N (par exemple : l'ensemble des entiers pairs), et d'autres qui n'ont pas le même cardinal (par exemple : l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à 10).
C'est ce que j'avais décidé en écrivant le message 8, mais quand je vois des choses trop-z-horribles, je me dis qu'un lecteur de bonne foi pourrait être induit en erreur ...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ah bon ? Ce que tu dis est un peu problématique. Une démonstration s'impose enfin plus précisément un exemple de tes dires car ce que tu dis est assez confus tout de même.
C'est quoi la notion de tout en mathématique ?
La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation
L'ensemble vide l'unique ensemble qui ne possède aucun élément et dont toute l'arithmétique dépend
0 est identifié à l'ensemble vide. 1 est identifié à l'ensemble dont le seul élément est l'ensemble vide. 2 est identifié à l'ensemble dont les éléments sont l'ensemble vide, et 1. Et ainsi de suite....
(Humour
Patrick
Bonjour,
A Telchar : nous parlons de parties "non finies", pas de parties finies.
Je ne peux pas être plus clair : il y a autant d'éléments dans N que dans n'importe laquelle de ses parties non finies (N est équipotent à l'une de ses parties non finies, n'importe laquelle). C'est prouvé par la bijection. Donc N est lui-même une partie non finie, et non un "tout".
Justement, cette notion de "tout" est encore mal définie. On confond souvent "ensemble" et "tout", mais un ensemble n'est pas toujours un tout (ex: sous-ensemble).
On peut définir un "tout" comme étant la plus grande partie d'un ensemble fini (lui-même). Donc, par définition, cette notion est inapplicable aux ensembles infinis, à moins de "calquer" les propriétés d'un ensemble fini sur les ensembles infinis, comme l'a fait Cantor, en inventant le "transfini", (= cardinal d'un ensemble infini).
J'attends de vous des arguments solides pour me prouver que N n'est pas équipotent à l'une quelconque de ses parties (cela date pourtant de Cantor, n'est-ce pas ?).
Car c'est la tienne. Elle n'a peut être pas de sens en mathématique. elle est juste ton intuition
Par contre si tu t'intéresse au formalisme de l'axiome de l'infini et au schéma de compréhension il me semble que tu va pouvoir définircomme l'ensemble de tous les entiers naturels. C'est un ordinal limite qui est le plus petit de tous les ordinaux limites.
Il me semble qu'il y a deux sortes d'ordinaux :
Les entiers naturels
L'ordinal
Mais la j'ai atteint dans mes limites
Patrick
Oui
Non, et le reste c'est n'importe quoi.Donc N est lui-même une partie non finie, et non un "tout". (...)
Et ce n'est pas une réponse au message.
C'est une indication vers les "lecteurs de bonne foi [qui] pourraient être induit en erreur ...", pour reprendre l'expression de Médiat.
Il faudrait sur ce forum et d'autres une "réponse standard" de ce genre, il y en a besoin pour ne pas laisser des messages induisant en erreur tout en refusant de discuter plus loin.
Cordialement,
Je ne réponds pas à akntn parce que :
1) C'est une perte de temps
2) Michel (mmy) a dit ce qu'il y avait à dire
Tu as l'air de dire que les seuls ordinaux sont les entiers etIl me semble qu'il y a deux sortes d'ordinaux :
Les entiers naturels
L'ordinal
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je cherchais à faire apparaître deux familles (classe d'équivalence) dont une concerne les ordinaux transfinis.Tu as l'air de dire que les seuls ordinaux sont les entiers et
On ne peut appliquer les mêmes opérations sur les ordinaux que sont les entiers et les ordinaux transfinis non ?
Patrick
Ton message n'était pas clair ; il aurait, peut-être, été plus simple de dire, "il y a deux sortes d'ordinaux, les ordinaux finis et les ordinaux infinis".
L'addition, la multiplication et même l'exponentiation des ordinaux existent. Mais elles ont des propriétés particulières sur les ordinaux finis, par exemple :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
