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Infini actuel et potentiel



  1. #1
    akntn

    Infini actuel et potentiel


    ------

    Bonjour,

    Euclide ne croyait pas à l'infini actuel (= infini considéré comme un tout), et pour cause :

    Si nous dénombrons n entiers, nous pouvons toujours en dénombrer n + 1.
    Autrement dit, dans N, nous dénombrons toujours une somme non finie de parties finies.
    Or, une somme non finie de parties finies donne toujours une partie non finie, jamais un tout.
    L'idée d'un tout infini repose-t-elle sur une démonstration solide ?

    -----

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  3. #2
    Médiat

    Re : infini actuel et potentiel

    Bonjour,
    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    Autrement dit, dans N, nous dénombrons toujours une somme non finie de parties finies.
    Or, une somme non finie de parties finies donne toujours une partie non finie, jamais un tout.
    J'avoue ne pas comprendre ce que vous voulez dire ...

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    L'idée d'un tout infini repose-t-elle sur une démonstration solide ?
    Pour avoir des détails il faut voir les travaux de Cantor.
    Une façon simple de comprendre cela est de faire la différence entre :
    1) "Je peux manipuler tout entier que je veux, aussi grand soit-il"
    2) "Je peux manipuler tous les entiers"
    3) "je peux manipuler l'ensemble des entiers"

    Le cas 1) correspond à un infini potentiel (je peux, potentiellement, manipuler un nombre infini de nombres), une autre façon de le dire est que l'ensemble que je peux manipuler n'est pas borné.

    Le cas 3) correspond à un infini actuel, ce qui permet de faire plusieurs choses, par exemple, si je considère IN, muni de sa relation d'ordre habituel, je peux très facilement considérer l'ensemble IN U {IN}, et placer ce nouvel élément (qui n'est pas un nombre entier) après, tous les entiers (donc après l'infini ).

    Le cas 2) est plus ambigu car on peut comprendre cette phrase comme synonyme de la 1) ou de la 2), elle est donc source de confusion.

    Pour information, la théorie ZF sans l'axiome de l'infini admet des modèles dans lesquels on trouve tous les entiers, mais pas l'ensemble des entiers.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    taladris

    Re : infini actuel et potentiel

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pour information, la théorie ZF sans l'axiome de l'infini admet des modèles dans lesquels on trouve tous les entiers, mais pas l'ensemble des entiers.
    Que signifie cette phrase? Que signifie être entier si l'ensemble des entiers n'existe pas?

    Dans ZF+axiome de l'infini, pas de problème (je crois). N est le plus petit ensemble récursif (il en existe au moins un par l'axiome de l'infini) et les entiers sont par définition les éléments de N.

    Mais dans ZF sans axiome de l'infini, que sont les entiers? Sont-ce les entiers de Von Neumann? J'avais cru comprendre qu'on ne pouvait pas construire une infinité d'entiers de Von Neumann (il faudrait la récurrence, et donc N, pour cela)

    Cordialement

  5. #4
    Médiat

    Re : infini actuel et potentiel

    Bonjour,
    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Que signifie cette phrase? Que signifie être entier si l'ensemble des entiers n'existe pas?
    Il s'agit bien des entiers de Von Neumann.

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    Mais dans ZF sans axiome de l'infini, que sont les entiers? Sont-ce les entiers de Von Neumann? J'avais cru comprendre qu'on ne pouvait pas construire une infinité d'entiers de Von Neumann (il faudrait la récurrence, et donc N, pour cela)
    En fait, sans l'axiome de l'infini on ne peut affirmer que l'ensemble des entiers existe, mais chacun d'entre eux existe (sinon il doit y avoir une borne sup, ce qui n'est pas compatible avec la définition).

    De plus ZF sans l'axiome de l'infini est consistant, et on peut en trouver un modèle (modèle d'Ackerman, j'en ai déjà parlé, mais je n'ai pas les références sous la main, avec Google, tu peux en trouver, dans les documents de Dehornoy er par un Japonais entre autres.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    akntn

    Re : infini actuel et potentiel

    Bonjour,

    Merci. Je me suis peut-être mal exprimé. Le mot "somme" est impropre. J'entendais : dénombrer un ensemble non fini (je n'aime pas le terme "infini") de partie finies de N revient à dénombrer une partie non finie de N, qui serait ... N.

    Ex:

    {0}
    {0,1}
    {0,1,2}
    {0,1,2,3}
    ...

    Partie non finie de N (= N) :

    {0,1,2,3,4,5,6,7, n, ... n + 1}

    N ne serait jamais un "tout", mais seulement cette "partie non finie". L'infini actuel semble loin de simplifier les choses (selon moi).

  8. #6
    Médiat

    Re : infini actuel et potentiel

    Bonjour,

    Désolé, mais je comprends de moins en moins :
    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    un ensemble non fini (je n'aime pas le terme "infini")
    Je ne connais pas d'autres définition de infini que "non fini", j'ai du mal à comprendre comment on peut accepter l'un et pas l'autre ...

    Partie non finie de N (= N) :
    Voulez-vous dire que toute partie non finie de IN est égale à IN ? Si oui, c'est faux, il suffit de considérer IN - {0}

    N ne serait jamais un "tout", mais seulement cette "partie non finie".
    Des parties "non finies" il y en a plein (plus que d'entiers même)

    L'infini actuel semble loin de simplifier les choses (selon moi).
    Au contraire puisque l'infini actuel permet de faire la différence entre
    "Je sais parler de tous les entiers" (dans le sens "de chacun des entiers")
    et
    "Je sais parler de tous les entiers" (dans le sens "des entiers comme un tout".

    Un exemple patent est que dans certaines arithmétique faibles on peut
    "pour chaque entiers n et p, on peut démontrer que n + p = p + n",
    mais on ne peut pas
    "démontrer que pour tous les entiers n et p : n + p = p + n".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    akntn

    Re : infini actuel et potentiel

    Bonjour,

    Le terme "infini" renvoie à l'infini considéré comme un tout, et je n'y crois pas : c'est une simple question de représentation (cantorienne essentiellement). Concevoir l'infini comme un "tout", c'est projeter le fini sur l'infini. Seul le fini est complet, fermé.
    Etymologiquement, "infini" signifie "qui n'est pas fini", "qui n'est pas limité", et non pas : "infiniment grand" (ce qui n'a aucune signification).
    Je n'ai pas dit que toute partie non finie de N était "égale" à N, mais que N était seulement une partie non finie de lui-même (c'est à dire qu'il n'est jamais un "tout").

  11. #8
    Médiat

    Re : infini actuel et potentiel

    Bonjour,
    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    Le terme "infini" renvoie à l'infini considéré comme un tout, et je n'y crois pas
    Si c'est une question de religion, je n'ai plus d'arguments
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    akntn

    Re : Infini actuel et potentiel

    Bonjour,

    Du point de vue axiomatique, les mathématiques sont effectivement une question de religion.

  13. #10
    invite7863222222222
    Invité

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    Bonjour,

    Du point de vue axiomatique, les mathématiques sont effectivement une question de religion.
    Non, c'est philosophique comme cela a été dit dans cette discussion : http://forums.futura-sciences.com/ep...e-parties.html (si ta question concerne uniquement l'axiomatique, tu pourrais continuer l'argumentation sur la discussion référencée que ici).

  14. #11
    invite6754323456711
    Invité

    Re : infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    Le terme "infini" renvoie à l'infini considéré comme un tout, et je n'y crois pas
    Réfuterais tu l'usage de la notion de bijection pour caractériser celle de l'infini ?

    Comme le suggère jreeman le débat aurait plus sa place dans le forum d'épistémologie, mais avec des arguments qui ne relèvent pas de la croyance.

    Patrick
    PS
    http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2686789
    Maintenant si le débat s'installe que sur des aspects subjectifs alors je préfère le terme strip-tease à celui de teaser

  15. #12
    akntn

    Re : Infini actuel et potentiel

    Bonjour,

    Justement non. Je ne réfute pas la notion de bijection, car elle me permet de montrer que N n'est pas un tout :

    - Toute partie de N ne contient qu'une partie des éléments de N.
    - N est une partie de lui-même, équipotente de chacune de ses parties.
    - N ne contient donc qu'une partie de ses éléments, et ce n'est pas un tout.
    Autrement dit, il n'existe pas de plus grande partie dans l'ensemble N (c'est à dire de "tout").

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  17. #13
    telchar

    Re : Infini actuel et potentiel

    - oui mais c'est une tautologie.
    - N n'est pas équipotent à toutes ses parties
    - euh, ça veut dire quoi?
    Et il existe une plus grande partie (au sens de l'inclusion) dans N, qui est N lui même.


    Il faudrait maîtriser un peu plus les bases de la logique et de la théorie des ensembles avant d'aller plus loin...

  18. #14
    Médiat

    Re : Infini actuel et potentiel

    Bonjour,
    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    - Toute partie de N ne contient qu'une partie des éléments de N.
    C'est vrai de tous les ensembles,

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    - N est une partie de lui-même, équipotente de chacune de ses parties.
    C'est faux

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    - N ne contient donc qu'une partie de ses éléments, et ce n'est pas un tout.
    C'est n'importe quoi

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    Autrement dit, il n'existe pas de plus grande partie dans l'ensemble N (c'est à dire de "tout").
    Exemple typique de sophisme ; ceci n'est en rien une démonstration.

    Comme vous avez admis que pour vous il s'agissait de réligion, je vous suggère d'aller prêcher sur un autre forum mieux adapté à votre méconnaissance de la logique et de la théorie des ensembles.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    akntn

    Re : Infini actuel et potentiel

    Bonjour,

    "c'est faux", "c'est n'importe quoi", "ceci est un sophisme", ne constituent pas une argumentation mathématique.

    Cordialement, akntn

  20. #16
    Médiat

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    "c'est faux", "c'est n'importe quoi", "ceci est un sophisme", ne constituent pas une argumentation mathématique.
    J'utilise des arguments mathématiques face à un interlocuteur qui me parle de mathématiques comme je l'ai fait, par exemple, dans le message #4 ci-dessus.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #17
    hhh86

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    Bonjour,

    "c'est faux", "c'est n'importe quoi", "ceci est un sophisme", ne constituent pas une argumentation mathématique.

    Cordialement, akntn
    Il y en a qui sont quand même gonflés
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  22. #18
    manuelarm

    Re : Infini actuel et potentiel

    @ Mediat

    tu devrais arrêter de répondre, car cela ressemble à de la conviction voir de la foi, la discussion en devient stérile, tu pourras toujours avancer d'autre argument il restera sur son point de vue, encore un qui demande au autre d'avoir l'esprit ouvert , mais dont le sien est complètement fermé.

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  24. #19
    akntn

    Re : Infini actuel et potentiel

    Je ne prétends rien du tout, je sais que ma formulation est simpliste. Je me pose simplement la question suivante :

    Si N n'est pas plus grand que l'une de ses parties (il y a le même nombre d'éléments dans N que dans n'importe laquelle de ses parties, c'est prouvé par la bijection), alors dans ce cas N ne peut être un "tout" (sinon il serait forcément plus grand). C'est donc une partie comme les autres.
    Qu'est-ce qui cloche là-dedans ?

  25. #20
    God's Breath

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    N ne peut être un "tout"
    Quelle est la définition MATHÉMATIQUE d'un « tout » ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  26. #21
    telchar

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    (il y a le même nombre d'éléments dans N que dans n'importe laquelle de ses parties
    Non !

    Il y a des parties de N qui ont le même cardinal que N (par exemple : l'ensemble des entiers pairs), et d'autres qui n'ont pas le même cardinal (par exemple : l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à 10).

  27. #22
    Médiat

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par manuelarm Voir le message
    @ Mediat

    tu devrais arrêter de répondre.
    C'est ce que j'avais décidé en écrivant le message 8, mais quand je vois des choses trop-z-horribles, je me dis qu'un lecteur de bonne foi pourrait être induit en erreur ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  28. #23
    hhh86

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    Si N n'est pas plus grand que l'une de ses parties
    il y a le même nombre d'éléments dans N que dans n'importe laquelle de ses parties
    Ah bon ? Ce que tu dis est un peu problématique. Une démonstration s'impose enfin plus précisément un exemple de tes dires car ce que tu dis est assez confus tout de même.

    C'est quoi la notion de tout en mathématique ?
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  29. #24
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par hhh86 Voir le message
    C'est quoi la notion de tout en mathématique ?
    L'ensemble vide l'unique ensemble qui ne possède aucun élément et dont toute l'arithmétique dépend

    0 est identifié à l'ensemble vide. 1 est identifié à l'ensemble dont le seul élément est l'ensemble vide. 2 est identifié à l'ensemble dont les éléments sont l'ensemble vide, et 1. Et ainsi de suite....

    (Humour )
    Patrick

  30. Publicité
  31. #25
    akntn

    Re : Infini actuel et potentiel

    Bonjour,

    A Telchar : nous parlons de parties "non finies", pas de parties finies.
    Je ne peux pas être plus clair : il y a autant d'éléments dans N que dans n'importe laquelle de ses parties non finies (N est équipotent à l'une de ses parties non finies, n'importe laquelle). C'est prouvé par la bijection. Donc N est lui-même une partie non finie, et non un "tout".
    Justement, cette notion de "tout" est encore mal définie. On confond souvent "ensemble" et "tout", mais un ensemble n'est pas toujours un tout (ex: sous-ensemble).
    On peut définir un "tout" comme étant la plus grande partie d'un ensemble fini (lui-même). Donc, par définition, cette notion est inapplicable aux ensembles infinis, à moins de "calquer" les propriétés d'un ensemble fini sur les ensembles infinis, comme l'a fait Cantor, en inventant le "transfini", (= cardinal d'un ensemble infini).
    J'attends de vous des arguments solides pour me prouver que N n'est pas équipotent à l'une quelconque de ses parties (cela date pourtant de Cantor, n'est-ce pas ?).

  32. #26
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    Justement, cette notion de "tout" est encore mal définie.
    Car c'est la tienne. Elle n'a peut être pas de sens en mathématique. elle est juste ton intuition

    Par contre si tu t'intéresse au formalisme de l'axiome de l'infini et au schéma de compréhension il me semble que tu va pouvoir définir comme l'ensemble de tous les entiers naturels. C'est un ordinal limite qui est le plus petit de tous les ordinaux limites.

    Il me semble qu'il y a deux sortes d'ordinaux :

    Les entiers naturels
    L'ordinal , qui est l'ensemble des entiers naturels

    Mais la j'ai atteint dans mes limites

    Patrick

  33. #27
    invité576543
    Invité

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par akntn Voir le message
    il y a autant d'éléments dans N que dans n'importe laquelle de ses parties non finies (N est équipotent à l'une de ses parties non finies, n'importe laquelle).
    Oui

    Donc N est lui-même une partie non finie, et non un "tout". (...)
    Non, et le reste c'est n'importe quoi.

    Et ce n'est pas une réponse au message.

    C'est une indication vers les "lecteurs de bonne foi [qui] pourraient être induit en erreur ...", pour reprendre l'expression de Médiat.

    Il faudrait sur ce forum et d'autres une "réponse standard" de ce genre, il y en a besoin pour ne pas laisser des messages induisant en erreur tout en refusant de discuter plus loin.

    Cordialement,

  34. #28
    Médiat

    Re : Infini actuel et potentiel

    Je ne réponds pas à akntn parce que :
    1) C'est une perte de temps
    2) Michel (mmy) a dit ce qu'il y avait à dire
    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Il me semble qu'il y a deux sortes d'ordinaux :

    Les entiers naturels
    L'ordinal , qui est l'ensemble des entiers naturels
    Tu as l'air de dire que les seuls ordinaux sont les entiers et , c'est inexact, à partir du moment ou existe, aussi (ainsi que beaucoup d'autres)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  35. #29
    invite6754323456711
    Invité

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Tu as l'air de dire que les seuls ordinaux sont les entiers et , c'est inexact, à partir du moment ou existe, aussi (ainsi que beaucoup d'autres)
    Je cherchais à faire apparaître deux familles (classe d'équivalence) dont une concerne les ordinaux transfinis.

    On ne peut appliquer les mêmes opérations sur les ordinaux que sont les entiers et les ordinaux transfinis non ?

    Patrick

  36. #30
    Médiat

    Re : Infini actuel et potentiel

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    Je cherchais à faire apparaître deux familles (classe d'équivalence) dont une concerne les ordinaux transfinis.
    Ton message n'était pas clair ; il aurait, peut-être, été plus simple de dire, "il y a deux sortes d'ordinaux, les ordinaux finis et les ordinaux infinis".

    Citation Envoyé par ù100fil Voir le message
    On ne peut appliquer les mêmes opérations sur les ordinaux que sont les entiers et les ordinaux transfinis non ?
    L'addition, la multiplication et même l'exponentiation des ordinaux existent. Mais elles ont des propriétés particulières sur les ordinaux finis, par exemple :

    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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