Infini actuel et potentiel

[invitedb2255b0]

N et {2k|k€N} on le même cardinal de toute évidence, puisqu'il sont en bijection. (l'application p: N -->N définie tel que p(n) = 2n est bien une bijection de N dans {2k|k€N})
Enfait on peut démontrer, et je ne le ferais pas ici, que toute partie non fini de N est equipotente (i.e. est en bijection avec) à N.

Quand l'axiome de reccurrence, il a permis de construire N à partir du vide:
*Card() = 0
*Card({0}) = 1
*Card({0,1}) = 2
*Card({0,1,2}) = 3
...

L'idée d'infini dénombrable et non dénombrable viens du fait que N est dénombrable.
Ceci ce prouve, très bien avec l'axiome de réccurrence.
*Je peux compter de 0 à 1. (je viens de le faire en fait).
*Si je peux compter de n-1 à n, alors je peux compter de n à n+1
*On conclus que je peux compter tout N.

Enfait N est dénombrable, mais Z et Q le sont également. (i.e. ils ont le même cardinal). La définition d'un ensemble dénombrable, est que cet ensemble est en injection avec N (où encore en bijection avec une partie de N).
En revanche R n'est pas dénombrable.
Prouvons le.


Si R étais dénombrable, alors l'intervalle [0,1] le serais également.
On pourrais donc écrire [0,1] = {}. Soit le devellopement décimal de . Pour chaque , on peut trouver un un chiffre tel que et alors on peut fabriquer un nombre et on vois immediatement que pour tout n, on a ce qui contredit l'hypothèse que [0,1] est dénombrable et prouve que R n'est pas dénombrable.

Cette proposition dit en fait qu'il y a beaucoup plus de réels que de rationnel (ou d'entier, enfait il y a autant de rationnel que d'entier) c'est à dire que le corps Q des rationnels est plein de trou. Ca se vois facilement enfait. Un nombre est rationnel si sont développement décimal est périodique à partir d'un certain rang. à partir de là il est très facile de construire un irrationnel: par exemple le nombre 0.101001000100001...1... avec à chaque fois un zero de plus entre les 1 est irrationnel. On pourrais encore faire une suite de chiffre au hasard, cela reviendrais au même.

Certain écrive que card(R) = card(P(N)) où P(N) est l'ensemble des partie de N.
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[invite6754323456711]

On peut définir un "tout" comme étant la plus grande partie d'un ensemble fini (lui-même). .

Tu sembles être resté sous l'influence du proverbe de Confucius "Le tout est plus grand que la somme de ses parties" qui date VIi eme siècle av J.C

D'où la confusion Il a aussi dit "la nature fait les hommes semblables, la vie les rend différents"

Il me semble que les mathématiques ont évolué depuis.

Patrick

[invitedb2255b0]

Bonjour,
On peut définir un "tout" comme étant la plus grande partie d'un ensemble fini (lui-même).

Donc, par définition, cette notion est inapplicable aux ensembles infinis, à moins de "calquer" les propriétés d'un ensemble fini sur les ensembles infinis, comme l'a fait Cantor, en inventant le "transfini", (= cardinal d'un ensemble infini).

J'attends de vous des arguments solides pour me prouver que N n'est pas équipotent à l'une quelconque de ses parties (cela date pourtant de Cantor, n'est-ce pas ?).

Je ne comprend pas ce sur quoi tu veux raisonner. Tu cherche à prouver que N est infini ?
C'est assez facile, il suffit d'utiliser la définition d'un ensemble infini. C'est un ensemble qui n'est pas fini.
Un ensemble fini est un ensemble qui ne peut être en bijection avec lui-même privé d'un élément.

Or, N est en bijection avec N*. En effet, il suffit de considéré l'application f: N -->N* définie telle que f(n) = n+1. Cette application est donc bien une bijection de N dans N* ce qui contredit le fait que N soit fini.

J'ai du mal à comprendre ce que tu appel un "tout".

Sinon c'est effectivement cantor qui s'est intéresser à ces choses là. Et qui à prouver que e était trancsendant.

Ps: Définition d'un nombre trancendant: C'est un nombre qui n'est pas algebrique.
Definition d'un nombre algebrique: C'est un nombre racine d'un polynome à coefficient dans Q.
*
Ps2: Cantor appelais le cardinal de R la puissance du continue Cette notion qui à fait naitre l'analyse de nos jours =).
Merci la continuité ! Vive les réels !

[Médiat]

J'ai du mal à comprendre ce que tu appel un "tout".

J'ai peur que akntn ne le sache pas lui-même, et ce qui suit ne lui est pas destiné.

Et ce n'est pas une réponse au message.
C'est une indication vers les "lecteurs de bonne foi [qui] pourraient être induit en erreur ..." [...].
Il faudrait sur ce forum et d'autres une "réponse standard" de ce genre, il y en a besoin pour ne pas laisser des messages induisant en erreur tout en refusant de discuter plus loin.

Pour avoir une définition de cette notion, on peut s'adresser aux philosophes de Platon à Lacan, où aux mathématiciens, et dans ce dernier cas, il me semble que seule la théorie des ensembles peut répondre :
Sans l'axiome de l'infini l'existence de l'ensemble des entiers n'est pas garantie, par contre l'existence de tous les entiers l'est, dans un modèle ou IN n'existe pas, ce n'est donc pas un ensemble, c'est à dire pas un "tout", car on ne peut manipuler "tous" les entiers d'un seul coup, par contre s'il existe, pas de problème, c'est bien un "tout" puisque je peux le manipuler comme n'importe quel autre ensemble, autrement dit un "tout", c'est "tout" simplement un ensemble.
La plupart des sous-ensembles (au sens naïf) d'un ensemble (au sens formel) sont des ensembles (au sens formel), donc des "tout".

[invité576543]

Sans l'axiome de l'infini l'existence de l'ensemble des entiers n'est pas garantie, par contre l'existence de tous les entiers l'est

En écrivant "par contre l'existence de chacun des entiers l'est", est-ce que ça aiderait?

(Une remarque, en écho à des messages anciens de Taladris sur ce fil, même avec l'axiome de l'infini, on se retrouve avec un "problème" similaire, mais au sujet des ordinaux. L'existence de chacun des ordinaux est garantie, mais pas plus. Conclusion : quoi qu'on fasse, vaut mieux être à l'aise avec la différence entre "existence de chacun des trucmuches" et "existence de l'ensemble des trucmuches".)

Cordialement,

[invite6754323456711]

Sans l'axiome de l'infini l'existence de l'ensemble des entiers n'est pas garantie, par contre l'existence de tous les entiers l'est,

L'axiome de l'infini pose donc par définition l'existence d'un ensemble des entiers ?

∃ x [∅ ∈ x et ∀ y (y ∈ x ⇒ S(y) ∈ x)]

Un tel x contient tous les entiers naturel ce qui peut se montrer comme suit :

Si n entier et n ∉ x,

Comme n est différent de l'ensemble vide ∃ m, m entier, S(m) = n

[m < n et m entier et m ∉ x (sinon n = S(m) ∈ x ) ] ==> n \x ≠ ∅

Soit n' le plus petit élément de n \x
n' ≠ ∅ car ∅ ∈ x
Donc ∃ m', m' entier, S(m') = n'
On a donc m' ∉ x, i.e. m' ∈ n \x
Contradiction car m' < n', et n' était le plus petit élément de n \x

On a donc n entier ==> n ∈ x

D'après le schéma de compréhension, il existe donc un "ensemble de tous les entier naturel" qui est défini comme un sous-ensemble de x.

ω = {n tel que n ∈ x et n entier}


Patrick

[Médiat]

En écrivant "par contre l'existence de chacun des entiers l'est", est-ce que ça aiderait?

Oui, c'est un peu l'idée que je défendais au message # 2 : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2682606.

(Une remarque, en écho à des messages anciens de Taladris sur ce fil, même avec l'axiome de l'infini, on se retrouve avec un "problème" similaire, mais au sujet des ordinaux. L'existence de chacun des ordinaux est garantie, mais pas plus. Conclusion : quoi qu'on fasse, vaut mieux être à l'aise avec la différence entre "existence de chacun des trucmuches" et "existence de l'ensemble des trucmuches".)

C'est exact, avec juste une considérable différence d'échelle : beaucoup de mathématiciens sont bien contents de pouvoir manipuler IN, alors que seule une poignée de logiciens a besoin de manipuler la classe des ordinaux.

[invite7863222222222]

Oui, c'est un peu l'idée que je défendais au message # 2 : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2682606.

On peut dire, que si l'on parle de tous les entiers, il faut préciser qu'on se place dans l'axiomatique de Peano. Avec cette précaution ca me semble pas confusant.

D'autre part, je trouve que pour être tout à fait exact, dans l'axiomatique de ZF, on devrait parler plus d'une représentation des entiers de Peano que des entiers.

[Médiat]

On peut dire, que si l'on parle de tous les entiers, il faut préciser qu'on se place dans l'axiomatique de Peano. Avec cette précaution ca me semble pas confusant.

Cela peut être encore pire, car si on dit "tous les entiers" dans le cadre de l'axiomatique de Peano, cela inclut les entiers non-standard, voire un "nombre" non dénombrable d'entiers (de quoi perdre le lecteur non habitué, il me semble), se placer dans ZFC avec ou sans l'axiome de l'infini me paraît un cadre plus strict.

D'autre part, je trouve que pour être tout à fait exact, dans l'axiomatique de ZF, on devrait parler plus d'une représentation des entiers de Peano que des entiers.

Certes, mais si on parle des ordinaux finis (les entiers de Von Neumann), il n'est pas nécessaire de faire appel à Peano, ni même d'en parler, il suffit de dire "les entiers" .

[invite6754323456711]

Bonjour,

Je viens de lire un article de Patrick Dehornoy ou il démontre le théorème de Goodstein en utilisant les ordinaux infinis.

Le point essentiel dans la démonstration est l’existence de l’ordinal ω (Dixi Dehornoy : l’existence d’un nombre transfini qui domine tous les entiers à la façon dont ω le fait. c’est-à-dire qui soit tel que la distance de 3 à ω soit la même que celle de 2 à ω).

De plus Kirby et Paris ont démontré en 1981 que le théorème de Goodstein ne peut pas être démontré en utilisant seulement les axiomes du système de Peano, c’est-à-dire en restant dans le cadre de l’arithmétique usuelle.

Cela ne suffit-il pas à prouver l'existence des ordinaux infinis ?

L’utilisation des ordinaux infinis permet parfois de démontrer des propriétés d’objets finis qui resteraient sinon inaccessibles.

Patrick

[invité576543]

Cela ne suffit-il pas à prouver l'existence des ordinaux infinis ?

A quel sens du mot "existence"? (Et à quel sens de l'expression "démontrer l'existence"?)

Cordialement,

[Médiat]

Je viens de lire un article de Patrick Dehornoy ou il démontre le théorème de Goodstein en utilisant les ordinaux infinis.
[...]
Cela ne suffit-il pas à prouver l'existence des ordinaux infinis ?

Cela démontre seulement que Patrick Dehornoy utilise dans sa démonstration ZFC (ou ZF s'il n'a pas besoin de AC) avec l'axiome de l'infini (ce qui est le cas le plus courant, même si la règle n'est pas absolue).

[invite6754323456711]

A quel sens du mot "existence"? (Et à quel sens de l'expression "démontrer l'existence"?)

Ben dans le même sens que

En écrivant "par contre l'existence de chacun des entiers l'est", est-ce que ça aiderait?

(Et à quel sens de l'expression "démontrer l'existence"?)

Illustrer par le fait qu'un pur résultat d’arithmétique, au sens ou son énoncé ne met en jeu que les entiers et leurs opérations élémentaires, et que l'on démontre en utilisant les ordinaux infinis, ne peut pas être démontré sans faire appel à un tel outil.

Patrick

[invité576543]

Ben dans le même sens que

J'ai des doutes. Dans ma phrase, l'existence est contextuelle à une théorie donnée, c'est le sens de "il existe" dans l'axiome "il existe un ensemble infini".

J'ai du mal à appliquer ce sens à ton message.

Illustrer par le fait qu'un pur résultat d’arithmétique, au sens ou son énoncé ne met en jeu que les entiers et leurs opérations élémentaires, et que l'on démontre en utilisant les ordinaux infinis, ne peut pas être démontré sans faire appel à un tel outil.

Tu es en train plus ou moins de dire que l'existence de l'infini (= l'axiome de l'infini?) est une conséquence de la démonstration du th. de Goodstein utilisant l'axiome de l'infini.

C'est soit une tautologie, soit une erreur conceptuelle, selon les deux seules manières que je trouve pour interpréter cela.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Tu es en train plus ou moins de dire que l'existence de l'infini (= l'axiome de l'infini?) est une conséquence de la démonstration du th. de Goodstein utilisant l'axiome de l'infini.

C'est soit une tautologie, soit une erreur conceptuelle, selon les deux seules manières que je trouve pour interpréter cela.

L'axiome de l'infini (ce que j'en comprend) permet de définir l'existence d'un ensemble x qui contient tout les entiers naturelle.

Le schéma de compréhension permet apparemment de définir l'existence d'un sous-ensemble de x (ω) qui est l'ensemble de tous les entiers naturels et c'est le plus petit ordinal limite.

La démonstration du th. de Goodstein permet de confirmer l'existence (contextuelle à la théorie des ensembles ZFC) de tel ensemble non ?

Patrick

[Médiat]

La démonstration du th. de Goodstein permet de confirmer l'existence (contextuelle à la théorie des ensembles ZFC) de tel ensemble non ?

Non !

Comme je l'ai déjà dit cela ne montre qu'une seule chose : La démonstration du théorème de Goodstein se fait dans ZF(C) avec axiome de l'infini !

[invite6754323456711]

Bonjour,

Donc si je comprend bien la finalité de construction d'une théorie mathématique ici en l'occurrence la théorie des ensembles est la "générativité conceptuelle".

Par exemple Cantor commence à formaliser l'intuition de dénombrabilité de l'ensemble des nombre algébriques et la non dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels. L'infini apparaît comme un possible être mathématique d'investigation, un objet d'étude en soi. Cela conduit à une théorie de l'infini.

L'objectif de la construction d'une théorie de l'infini est de pouvoir démontrer des propriétés de l'infini ? par exemple qu'il existe non pas un infini, mais au moins deux infinis, la possibilité de compter au-delà du fini (conduit au concept d'ordinal transfini) .....

Ce qui importe n'est pas de définir ce qu'est un ensemble, mais comment fonctionnent les ensembles (point de départ à partir duquel démontrer des théorèmes).

Donc définir à priori l'existence de d'ensembles qui contiennent tous les entiers naturels entre dans ce cadre de recherche d'efficacité des mathématiques (générativité conceptuelle) ?


Patrick

[invite7863222222222]

Par exemple Cantor commence à formaliser l'intuition de dénombrabilité de l'ensemble des nombre algébriques et la non dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels.

C'est délicat de présenter les choses ainsi car historiquement, justement, Cantor n'avait pas pensé ou eu l'intuition de non dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels, ç'est apparu comme conclusion de manière plutôt contre intuitive.

[invite6754323456711]

C'est délicat de présenter les choses ainsi car historiquement, justement, Cantor n'avait pas pensé ou eu l'intuition de non dénombrabilité de l'ensemble des nombres réels, ç'est apparu comme conclusion de manière plutôt contre intuitive.

Je ne suis pas Historien, mais ce que j'ai pu lire sur Internet : la non-dénombrabilité de l’ensemble des nombres réels, est annoncé pour la première fois dans une lettre à Dedekind datée du 7 décembre 1873. L'année suivante il est publié un article intitulé "Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" Traduction Google "Sur une propriété de la totalité de tous les nombres algébriques réels".

Ce court article contient deux résultats portant sur la possibilité ou non de numéroter les nombres réels.

Patrick

[invite7863222222222]

Je ne suis pas Historien, mais ce que j'ai pu lire sur Internet : la non-dénombrabilité de l’ensemble des nombres réels, est annoncé pour la première fois dans une lettre à Dedekind datée du 7 décembre 1873. L'année suivante il est publié un article intitulé "Uber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" Traduction Google "Sur une propriété de la totalité de tous les nombres algébriques réels".

Ce court article contient deux résultats portant sur la possibilité ou non de numéroter les nombres réels.

Patrick

Je ne suis pas historien non plus mais connais tu la phrase qu'il a adressé à ce même Dedekind (un amis proche apparemment) ? : "Je le vois mais je ne le crois pas... ", c'est assez connu.

[invite6754323456711]

Je ne suis pas historien non plus mais connais tu la phrase qu'il a adressé à ce même Dedekind (un amis proche apparemment) ? : "Je le vois mais je ne le crois pas... ", c'est assez connu.

Cela montre qu'il intéressait aux questions que l'on appelle maintenant de dénombrabilité. Une intuition cela se travaille, elle n'apparaît pas par magie.

Patrick

[invite7863222222222]

Cela montre qu'il intéressait aux questions que l'on appelle maintenant de dénombrabilité.

Cantor est tout de même reconnu comme le fondateur de la théorie des transfinis.

Une intuition cela ce travaille, elle n'apparaît pas par magie.

Une théorie ca se travaille, oui, mais dans le cas de Cantor, les résultats tombent je n'irais pas dire comme par magie mais possiblement contre intuitivement.

[invite6754323456711]

Cantor est tout de même reconnu comme le fondateur de la théorie des transfinis.

Oui elle en découle
On peut numéroter les nombres entiers... intuition, la possibilité de compter au-delà du fini, qui mène à la notion d’ordinal transfini. L’idée est de prolonger la suite des nombres entiers.

Maintenant mon message ne portait pas sur ce point mais sur l'existence d'ensemble (axiome de l'infini) contenant tous les entiers naturels à savoir le concept d'infini actuel.

Patrick

[invite6754323456711]

Maintenant mon message ne portait pas sur ce point mais sur l'existence d'ensemble (axiome de l'infini) contenant tous les entiers naturels à savoir le concept d'infini actuel.

Autrement dit qu'elle a été la motivation de définir l'axiome de l'infini ?
Un axiome ne se définit pas au hasard il y a en amont une réflexion, un consensus, un objectif, ...

Développer une arithmétique des nombres infinis ? Développer un système cohérent propice à générer de nouvelles propriétés concernant les ensembles ? ...

On parlement maintenant d'axiome de "grands cardinaux" tel que l'axiome dit détermination projective DP, afin de continuer à explorer la notion d’ensemble.

Patrick

[invitedb2255b0]

Alors si card(P(N)) = card(R)
card(P(R)) = ?
On peux créer autant d'infini que l'on veux. Mais il arrive un moment où ce jeu de construction atteint une "limite", et on peux toujours continuer de donner un degré supérieur à notre infini en prenant le cardinal de l'ensemble de partie de notre ensemble infini, cet infini resteras toujours inférieur à un certain infini.

Bref, c'est pas très clair, mais en gros il y a un nombre fini d'infini. Et c'est un resultat fort, et surtout fort embettant, car cela reviens à dire que, si par exemple on donne un nom aux degré d'infini (1 pour N, 2 pour R, 3 pour P(R) etc...) et que l'on crée l'ensemble des infini, on retombe sur un cardinal fini. lol.

[invite6754323456711]

Bref, c'est pas très clair, mais en gros il y a un nombre fini d'infini.

Pourtant Cantor semble avoir démontré (grâce à une forme de l’argument diagonal.) qu'il existe une infinité d’infinis deux à deux distincts. Les cardinalités de IN, partie(IN), partie(partie(IN), ... sont deux à deux distinctes.

La question est de déterminer la position des cardinalités d'où l'hypothèse du continu.

Patrick

[invite7863222222222]

Autrement dit qu'elle a été la motivation de définir l'axiome de l'infini ?
Un axiome ne se définit pas au hasard il y a en amont une réflexion, un consensus, un objectif, ...

Développer une arithmétique des nombres infinis ? Développer un système cohérent propice à générer de nouvelles propriétés concernant les ensembles ? ...

On parlement maintenant d'axiome de "grands cardinaux" tel que l'axiome dit détermination projective DP, afin de continuer à explorer la notion d’ensemble.

Patrick

La motivation, c'est de de formaliser quelque chose qui correspond à une expérience conceptuelle de pensée. Mais après les théories sont étendues là où notre intuition n'est pas d'une grande aide.

Après, la question de savoir si on a l'intuition profonde d'une vérité, j'imagine que ca dépend si on est platonicien ou formaliste.

[Médiat]

Bref, c'est pas très clair, mais en gros il y a un nombre fini d'infini. Et c'est un resultat fort, et surtout fort embettant, car cela reviens à dire que, si par exemple on donne un nom aux degré d'infini (1 pour N, 2 pour R, 3 pour P(R) etc...) et que l'on crée l'ensemble des infini, on retombe sur un cardinal fini. lol.

Vous avez des références pour un tel résultat qui me paraît en parfaite contradiction avec le théorème de Cantor ?

[invité576543]

Autrement dit qu'elle a été la motivation de définir l'axiome de l'infini ?

C'est pragmatique! La physique implique des besoins particuliers d'outils mathématiques. Les réels, la continuité, la dérivabilité datent de bien avant l'axiome de l'infini.

Ce serait un peu débile de se limiter à une axiomatique ne remplissant pas les demandes des modèles physiques, non?

Cordialement,

[invite6754323456711]

Ce serait un peu débile de se limiter à une axiomatique ne remplissant pas les demandes des modèles physiques, non?

L'objectif pour le mathématicien serait de concevoir des théories ayant des capacités prédictives et explicatives d'une "réalité" ?

A représenter une "réalité" et en anticiper le comportement afin qu'elle soit adapté pour rencontrer des données empiriques ?

Il me semble qu'une théorie mathématique est féconde si elle sait engendrer des idées nouvelles. Il s'avère que certain de ces concepts nouveaux sont efficaces dans de nombreux domaines scientifiques. C'est une conséquence non un objectif en soi non ?

Patrick