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image par une application d'un ensemble infini est infini ?



  1. #1
    Snakeater

    image par une application d'un ensemble infini est infini ?


    ------

    Bonjour,

    Dans le processus pour démontrer que N est le plus petit ensemble dénombrable, j'aimerai demontrer que l'image d'un ensemble infini est infinie.

    Voici le raisonnement depuis le debut :

    supposons l'inverse, qu'un tel ensemble existe.
    Soit E, infini et moins puissant que N.
    Donc il existerait une injection f de E dans N (Cantor)
    cette image f(E) est un sous ensemble infini de N.
    Comment demontrer d'abord que f(E) est infini?
    Il faudrait montrer qu'il existe une bijection de f(E) dans ses parties.
    Intuitivement cela semble vrai, que la fonction conserve "l'infinitude". Mais j'aimerai une démonstration.

    Si ceci est démontré, la suite ne me pose pas de problème.

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Ksilver

    Re : image par une application d'un ensemble infini est infini ?

    salut

    "N est le plus petit ensemble dénombrable" >>> cela ne veut rien dire. "Dénombrable" signifie "en bijection avec N".

    donc un ensemble dénombrable est un ensemble "de la meme taille que N".
    (et encore si on considère que les ensemble finit sont dénombrable, dans ce cas N est meme le plus grand ensemble dénombrable)




    ta question est de montrer que N est le plus petit ensemble infinit.


    sinon en géneral f(E) na aucune raison d'etre infinit. pour une application f quelconque, f pourait par exemple etre une application constante f(E) aurait alors un seul element. mais ici f est injective, c'est cela qui prouve que f(E) est infinit.


    "Il faudrait montrer qu'il existe une bijection de f(E) dans ses parties." >>> un ensemble n'est jammais en bijection avec ces parties ! c'est le théorème de cantor qui assure cela.

    ceci dit, je pense que ta démarche n'est pas la bonne du tous !

    l'idée est plutot de prendre un ensemble infinit E quelconque et de montrer que N s'injecte dedans (c'est assez facile). ce qui prouve que E est au moins aussi gros que N.

  4. #3
    Snakeater

    Re : image par une application d'un ensemble infini est infini ?

    "N est le plus petit ensemble dénombrable" >>> cela ne veut rien dire. "Dénombrable" signifie "en bijection avec N".

    donc un ensemble dénombrable est un ensemble "de la meme taille que N".
    (et encore si on considère que les ensemble finit sont dénombrable, dans ce cas N est meme le plus grand ensemble dénombrable)
    mea culpa j'ai fait un horrible contre sens.

    l'idée est plutot de prendre un ensemble infinit E quelconque et de montrer que N s'injecte dedans (c'est assez facile). ce qui prouve que E est au moins aussi gros que N.
    euh si il y a une applicatoin injective de N dans cet ensemble E, alors N est moins puissant que E, or c'est le contraire que j'essaie de démontrer, c'est a dire que N est le plus petit des ensemble infinis (aleph0)

    je reformule car je crois que cela portait a confusion

    Je considère qu'un ensemble E, moins puissant que N et infini, existe. (ce qui aboutira a une contradiction plus tard).
    D'apres Cantor et cette hypothese, il existerait une application injective f de E dans N. L'ensemble des images de E par f, est necessairement un sous ensemble de N.
    Ce que je voudrais démontrer est que cet ensemble d'image par f, qui est un sous ensemble de N, est lui aussi infini, ou en d'autres termes qu'il existe une bijection de cet ensemble dans une de ses parties (et non pas "ses parties" comme je l'ai formulé, car toujours d'apres cantor d'ailleurs, les partie d'un ensemble infini est toujours plus puissante que l'ensemble).

    merci encore

  5. #4
    Ksilver

    Re : image par une application d'un ensemble infini est infini ?

    "euh si il y a une applicatoin injective de N dans cet ensemble E, alors N est moins puissant que E, or c'est le contraire que j'essaie de démontrer, c'est a dire que N est le plus petit des ensemble infinis (aleph0)" >>>>

    je vois pas ce qui ne te plai pas la dedans : si tu montre que N est moins puissant que tous ensemble infinit, tu montre que N est le plus petit enemble infinit non ?

  6. #5
    Snakeater

    Re : image par une application d'un ensemble infini est infini ?

    oups pardon oui. Que N s'injecte dedans. J'avais compris l'inverse:/

    Bah en fait, je sais que cette demonstration existe, je suis juste bloqué à cette étape.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : image par une application d'un ensemble infini est infini ?

    J'en doute.


    tu suppose que tu as un ensemble E 'strictement plus petit que N'. le fait qu'il existe une injection de E dans N ne t'amenera a aucune contradiction (il existe des injection de N dans N, ceci caractérise juste le fait que E est plus petit que N - pas strictement ).

    ce qu'il faut supposer si tu espère avoir une contradiction, c'est supposer qu'il n'existe aucune surjection de E dans N, ou qu'il n'existe aucune injection de N dans E. mais ca ma pas l'air tres pratique. (alors qu'il est tellement simple d'injecter N dans E sans raisoner par l'absurde...)

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  10. #7
    Snakeater

    Re : image par une application d'un ensemble infini est infini ?

    oui en effet, tu as raison, j'aurai du preciser en plus "qui n'est pas une surjection, donc une bijection" pour le strict. Mais en fait, ce n'est pas la peine d'aller jusque là dans la demonstration, donc je l'ai omis !

    Bref, le problème reste le même. A savoir demontrer que cet ensemble est lui aussi infini, et donc de démontrer qu'il y a une bijection avec une de ses parties !

  11. #8
    Ksilver

    Re : image par une application d'un ensemble infini est infini ?

    j'apelle pas trop ca un probleme : f(E) est infinit car il est en bijection avec un ensemble infinit.

    (en effet f est injective, donc c'est une bijection entre E et f(E) )


    accesoirement : ' "qui n'est pas une surjection, donc une bijection" pour le strict' n'aurait pas suffit, ce qu'il faut supposer c'est qu'il n'existe AUCUNE surjection de E sur N, ou aucune injection de N dans E. pas qu'une application donnée n'est par surjective (il existe des injection de N dans N non surjective, typiquement n->n+1 ou n->n²... )

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