démontrer rigoureusement que f(x) est C^infini

[Lévesque]

Bonjour,

je m'acharne à démontrer rigoureusement que x dans R^n est infiniment différentiable (i.e. ses composantes sont infiniment différentiables).

Ma question est facile : est-ce difficile à montrer, ou bien ça se fait en trois lignes?

Au début, je voulais montrer que la limite

,

existe. C'est pas si pire, quoique 100 fois plus long que de dériver directement.

Je m'étais dit qu'après, j'exprimerais la limite en fonction de n, le nombre de dérivation appliqué à f. Par exemple, la deuxièmre dérivée est donnée par



Si j'augmente n pour voir l'allure général, ça devient très laid.

En fait, je souhaite démontrer que

est infiniment différentiable.

Ne pourrais-je pas seulement utiliser des propriété de la dérivée première (continuité, domaine de définition, densité), pour au moins être assez certain que la fonction est infiniment différentiable?

Il est tellement évident pour moi que cette fonction est infiniment différentiable sur R^n\{0} que, si j'écrivais un livre de physique, je dirais que c'est trop évident pour en faire la preuve.

Mais bon, au moins un fois dans sa vie il faut se demander ce qu'on fait...

Dans le Westenholz, Differential forms in mathematical physics, on considère S^n, avec les projection stéréographiques (Nord et Sud) h_N et h_S de R^{n+1} vers R^n.

Je trouve aisément que

, qui prend un point d'un hyperplan (généré par le pole Sud) vers un autre (généré par le pole nord).

Westenholz écrit: puisque , lorsque restreint à , les cartes sont compatibles .

L'un d'entre vous est assez convaincu par son argument pour me l'expliquer? Où bien utilise t-il aussi le bon sens pour dire que c'est différentiable?

Merci beaucoup,

Simon
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[invite95bf5763]

Voila je me demandais avec mon humble avis de néophite que la différenciacibilité n'est pas une chôse facile d'argumentation en effet comme le disais si bien mon grand père Mr Jean Marc Plouk "ce qui se différencie le plus de ton esprit c le c**"
enfin brefvoila trève de plaisenteries et de boutades inutiles

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris... tu veux dire que l'identité de Rⁿ est C^₶ ? (le machin avant, c'était une tentative pour écrire mais j'ai pas bien compris apparemment...)

-- françois

[invite6de5f0ac]

Je savais que j'y arriverais:

C^∞

nom de d'là...

-- françois

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Westenholz écrit: puisque , lorsque restreint à , les cartes sont compatibles .

L'un d'entre vous est assez convaincu par son argument pour me l'expliquer? Où bien utilise t-il aussi le bon sens pour dire que c'est différentiable?

Bonsoir,

La première partie de la phrase ne pose aucun problème.

La seconde suppose que l'on sache que h_N et h_S sont C^∞ , ce que l'on peut au choix considérer comme une évidence intuitive, ou comme susceptible de démonstration...

-- françois

[invite6b1e2c2e]

Salut !
Attention, on ne peut pas intervertir des limites sans justification. Du coup, je doute que cette formule soit vraie en général !
Si tu regardes la différentiabilité de la fonction f =Id sur R^n, revient à la définition !
Prend x fixé.
Alors f(x+h) = x+h = f(x) +h
Donc df(x) (h) = h et toutes les dérivées d'ordre supérieures sont nulles puisques
f(x+h) -f(x)- df(x)(h) = 0.
Pour la fonction v(x) = f(x)/|f(x)|, alors f étant régulière sur R^n, et étant non nulle en dehors de 0, la fonction inverse étant régulière en dehors de 0, v est régulière en dehors de(s) point(s) tel(s) que f(x) = 0, ie ici x=0.
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rvz