image d'un segment par une application continue

[ketchupi]

Bonjour,

je n'arrive plus à démontrer le théorème suivant :
"Si f est une application continue sur un intervalle I, alors f possède un maximum et un minimum sur I."

D'abord je montre que f admet nécessairement une borne supérieure, puis que celle-ci est obligatoirement atteinte.

J'avais penser passer par un raisonnement absurde.
Supposons que f n'admette pas de borne supérieure sur I. Je peux construire une suite bornée sur I, donc d'après le théorème de bolzano-weierstrass, je peux en extraire une sous-suite convergente.
Soit l la limite de cette suite. L'application f étant continue, la suite f() est convergente vers la limite f(l).
Et là, je suis bloqué. J'aimerais dire que si f est convergente quelle que soit la suite , cela entre en contradiction que f n'admette pas de borne supérieure. Mais j'ai un doute. Quelqu'un pourrait-il m'aiguiller svp ?

Je vous remercie tous !
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[invite78df7f0b]

Salut,
ton raisonnement est un peu confus. Déjà il s'agit de montrer que f a une borne sup sur I, dans R, car f a toujours une borne sup sur I, mais il faut montrer qu'elle n'est pas infinie. En gros il s'agit de montrer que f est bornée sur I. On suppose donc f non bornée sur le segment I, par exemple f non majorée. Donc on peut construire une suite x_n d'élémets de I tq f(x_n) tende vers +oo quand n tend vers +oo. Mais la suite x_n étant bornée (puisque à valeurs dans un segment), on peut en extraire un sous-suite convergeant vers une limite l dans I. Mais alors par continuité de f, l'image par f de cette sous-suite tend vers f(l), ce qui est absurde puisqu'elle devrait tendre vers +oo en tant que sous-suite de la suite f(x_n) qui tend vers +oo. Ainsi f est majorée.
J'espère que c'est clair

[ericcc]

Bonjour,

Pour vous un intervalle dans R est nécessairement fermé ?

[invite78df7f0b]

Oh je m'excuse, je croyais que I était un segment, sinon pour un intervalle ouvert ma démonstration est fausse en effet. Parce que dans le titre du message il était écrit segment. Mais sur un intervalle le théorème est faux, il faut que I soit un segment pour qu'il soit vrai.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Oui, la proposition est bien entendu fausse pour un intervalle ouvert...Sur un segment, elle est vraie.

[ketchupi]

Merci pour la démonstration, c'est plus clair. Effectivement, c'est sur un segment I, j'ai mal rédigé mon énoncé.

MErci encore.