Application continue

**invite52487760** · 02/10/2007, 22h58

Soit $\ f \hspace{10cm} : \hspace{10cm} E \hspace{10cm} \longrightarrow \hspace{10cm} F$ une application .
Montrer que :
si : $\ \forall A \subset E \hspace{10cm}$ : $\ f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$ alors $\ f$ est continue.
Merci d'avance !!

**Gwyddon** · 02/10/2007, 23h11

Bonsoir,

Le solveur d'exercices de FuturaSciences est en panne. Merci donc de poster une vraie question prouvant qu'il y a de la recherche de solution derrière, sinon la discussion sera fermée.

Pour la modération,

Gwyddon

**invite52487760** · 02/10/2007, 23h36

Soit $\ B$ un fermé de $\ F$ .
On a, par hypothèse, $\ f(\overline{f^{-1}(B)}) \subset \overline{f(f^{-1}(B))} \subset \overline{B} = B$
$\ \Longrightarrow$
$\ f^{-1}(f(\overline{f^{-1}(B)})) \subset f^{-1}(B)$
Et puisque :
$\ \overline{f^{-1}(B)} \subset f^{-1}(f(\overline{f^{-1}(B)}))$
Alors :
$\ \overline{f^{-1}(B)} \subset f^{-1}(B)$
Et puisque :
$\ f^{-1}(B) \subset \overline{f^{-1}(B)}$
Alors :
$\ f^{-1}(B) = \overline{f^{-1}(B)}$
Par conséquent :
$\ f^{-1}(B)$ est fermé !
CQFD.

Application continue

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