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triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration



  1. #1
    xxxxxxxx

    triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration


    ------

    Bonjour,

    Avec, je dois l'avouer une petite idée derrière la tête, j'ai été amené a étudier le théorème de Pythagore avec un oeil particulier.

    J'ai d'abord trouvé empiriquement un lien entre les valeurs , et des triplets pythagoriciens à partir d'une variable .

    A cause de ma petite idée, j'ai tenté de trouver une condition qui devait porter sur cette variable

    Après des tatonnements et avec l'aide d'un autre forum j'ai affiné un énoncé général qui reste à démontrer

    Voici cet énoncé :

    On veut


    entiers
    si on ne retient que les cas où PGCD, c'est à dire qu'on ne retient pas les formules

    nota : on veut aussi trouver les triplets avec

    Pour impair

    (on peut faire une présentation comparable pour pair mais elle est légèrement plus compliquée)

    on pose impair tel que :


    et
    entier (cela permet de gagner du temps dans le traitement des données)


    On défini par

    soit


    les valeurs de à utiliser pour que soit entier seront telles que :
    soit un entier (remarque : si entier, sera pair)
    et
    et doivent être premiers entre eux quand


    sera alors un entier tel que


    exemple :







    valeurs possibles de
    ...
    1 ....1... entier
    3 ....9
    5 ...25
    7 ..49 ... entier
    9 ...81
    11. 121
    13 .169

    on teste les 2 valeurs de x pour

    pour entier, on trouve et

    on reporte les valeurs de dans

    sera entier pour et (il ne le sera pas pour les autres valeurs de )
    Attention : ce test est important car même si B/x entier on aura pas nécessairement un triplet pythagoricien

    et
    et

    on aura immédiatement

    autrement dit et pour résumer :

    impair (on peut faire une présentation très proche pour B pair)

    impair tel que

    et entier

    si entier, et, et premiers entre eux.

    je sais immédiatement définir et entiers en fonction de la variable


    On peut alors (sous réserve de démonstration), chercher de manière ordonnée tous les triplets pythagoriciens pour tout impair.

    Dès qu'elle est mise au format Latex je poste une proposition de démonstration pour laquelle j'aimerais qu'on me dise si elle est juste ou fausse

    -----

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  3. #2
    invite67423456789

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    tu es a quel niveau ? prépa / licence ?
    je sais pas si tu as fait spé maths en Tale mais jai du bcp travaille dessus, au cas ou ... sinon je jetterai un coup d oeil

  4. #3
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Pour les maths je n'ai qu'un vieux Bac E qui date de 1985, sinon j'ai une licence Administration Economique et Social mais qui ne m'a pas apporté grand chose pour les maths.

    Mais pour faire ma demande de validation de ma démonstration j'ai pensé que cette partie du forum était la plus adéquate. Je vais tacher de la mettre en ligne avant demain soir (je débute avec le Latex)

    Elle est déjà sur un autre site, tu peux la trouver avec google avec le titre du sujet : "triplets pythagoriciens demande de démonstration" mais pous l'instant là non plus elle n'est pas au format Latex

  5. #4
    Médiat

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    A partir du moment où tu imposes une relation entre A et B, je ne vois pas comment tu peux affirmer que ta méthode permet de trouver tous les triplets pythagoriciens. Je ne dis pas que c'est faux, je dis juste que ce n'est pas démontré.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    Médiat

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Pour info, que reproches-tu à la méthode (p²-q², 2pq, p²+q²), qui donne tous les triplets pythagoriciens ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    A partir du moment où tu imposes une relation entre A et B, je ne vois pas comment tu peux affirmer que ta méthode permet de trouver tous les triplets pythagoriciens. Je ne dis pas que c'est faux, je dis juste que ce n'est pas démontré.
    Bonjour,

    Effectivement, il est sans doute utile de démontrer que la relation entre , et n'est pas le simple fait du hasard mais corespond bien à la relation

    J'ai un segment de longeur ( impair et pair) exemple : et
    Je trace les carrés de coté , et de coté (je construis mon carré en prolongeant mes segments jusqu'aux cotés du carré )

    J'obtiens en terme de mesure des surfaces :





    Pour obtenir
    je pose



    donc

    (soit l'égalité entre la mesure de deux surfaces dont l'une sera un carré)

    j'arrive à



    ( c'est cette valeur de b' que j'ai "mouliné" avec un programme pour trouver empiriquement que c'était systématiquement des valeurs telles que , avec impair pour les triplets pythagoriciens quand impair.)

    Je remplace par pour retrouver
    cette formule me sert à trouver dans mon premier post :





    Voilà qui répondra, correctement je l'espère, à ta question.

    ps : je viens de trouver la balise TEX à la fin de la rédaction de ce post

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  10. #7
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pour info, que reproches-tu à la méthode (p²-q², 2pq, p²+q²), qui donne tous les triplets pythagoriciens ?
    Elle marche très bien mais n'est pas applicable avec des nombres ordinaux car dans ce cas la soustraction n'est pas définie.
    C'est une approche légèrement différente de l'espace (qui heureusement retombe sur notre réalité concrète pour ce que j'ai pu en appréhender) de celle qui est communément admise qui m'a conduit directement sur cette application ainsi qu'à découvrir entre autres la notion d'ordinal.
    Dernière modification par xxxxxxxx ; 06/03/2007 à 08h13. Motif: un mot en trop

  11. #8
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Voici la démonstration à valider ou invalider. Merci d'avance pour vos réponses

    impair et impair on montre facilement pair si entier

    soit :



















    ____________

    si et non premiers entre eux pour
    il existe tel que :





    alors








    , et ne seront pas premiers entre eux, ils seront des multiples de

    _________

    Sous réserve de validation de cette démonstration :

    On pourra noter que cette approche permet d'associer le théorème de Pythagore avec les nombres ordinaux du plan :







    de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir , , vérifiant la relation

  12. #9
    invite986312212
    Invité

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    on pose impair tel que :


    et
    entier (cela permet de gagner du temps dans le traitement des données)
    un tel n'existe pas nécessairement.

  13. #10
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    un tel n'existe pas nécessairement.
    si : il existe toujours le cas

  14. #11
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Oups j'ai fini par dire une bêtise

    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    Sous réserve de validation de cette démonstration :

    On pourra noter que cette approche permet d'associer le théorème de Pythagore avec les nombres ordinaux du plan :







    de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir , , vérifiant la relation
    ça ne vaut que pour et réels positfs

  15. #12
    invite986312212
    Invité

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    bon, pour x=1 ok. Mais je ne saisis pas trop l'intérêt de la notion de triplet pythagoricien en réels.

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  17. #13
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par ambrosio Voir le message
    bon, pour x=1 ok. Mais je ne saisis pas trop l'intérêt de la notion de triplet pythagoricien en réels.
    Je me suis sans doute mal exprimé pardon...

    En choisisant deux réels positifs , et quelconques ( et par exemple)
    on va obtenir des valeurs réelles pour , , et qui vérifieront

    C'est une autre formulation de qui ne fait pas appel à la soustraction

    P.S. : si quelqu'un avait la bonté de me dire si la démonstration est juste ou fausse, je lui en serait très reconnnaissant
    Dernière modification par xxxxxxxx ; 06/03/2007 à 16h33. Motif: édition pour mettre le "P.S."

  18. #14
    martini_bird

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Salut,

    les solutions (A, B, C) que tu donnent pour l'équation correspondent exactement aux solutions classiques avec le changement de variables p=x+y et q=y.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  19. #15
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Merci beaucoup.

  20. #16
    leg

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    bonjour
    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    C'est une autre formulation de qui ne fait pas appel à la soustraction
    quel est le but recherché stp ,
    de trouver un triplet pythagoricien d'entiers naturels non nul , autre que ceux qui sont donné par (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2) ?
    car le fait de reformuler la nature des triplets ne change en rien le fait, que ces triplets seront toujours donné par la même formule avec p et q entiers positifs et premiers entre eux
    et la soustraction est trés utile..

  21. #17
    leg

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    bonjour


    quel est le but recherché stp ,
    de trouver un triplet pythagoricien d'entiers naturels non nul , autre que ceux qui sont donné par (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2) ?
    car le fait de reformuler la nature des triplets ne change en rien le fait, que ces triplets seront toujours donné par la même formule avec p et q entiers positifs et premiers entre eux
    et la soustraction est trés utile..
    désolé mais je n'avais pas tout lu, effectivement tu obtiens tous les triplets primitifs en remodifiant les paramètres des triplet par exemple,pour:
    p=4 et q=1 donne x=3 et y =2

  22. #18
    leg

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    Voici la démonstration à valider ou invalider. Merci d'avance pour vos réponses


    de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir , , vérifiant la relation
    je pense que tu ne peux généraliser car x et y sont fonction de p et q et non pas l'inverse!
    pour tout couple p et q tel que p²-q²,2pq et p²+q² il existe au moins un couple x et y réels mais pas quelconques exemple P = sqrt9 et q =sqrt2 il existe x et y réels
    le triplet n'est pas pythagoricien avec A, B et C entier naturels: B²=49, C²=121, A² = 72 donc A n'est pas un entier.
    non?

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  24. #19
    leg

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    désolé mais je n'avais pas tout lu, effectivement tu obtiens tous les triplets primitifs en remodifiant les paramètres des triplet par exemple,pour:
    p=4 et q=1 donne x=3 et y =2
    désolé
    lire Y et non y soit pour ce cas y=1 et Y=2

  25. #20
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    bonjour


    quel est le but recherché stp ,
    de trouver un triplet pythagoricien d'entiers naturels non nul , autre que ceux qui sont donné par (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2) ?
    car le fait de reformuler la nature des triplets ne change en rien le fait, que ces triplets seront toujours donné par la même formule avec p et q entiers positifs et premiers entre eux
    et la soustraction est trés utile..
    Je ne suis pas certain que c'est la formulation mathématique correcte de l'idée de base qui m'a amené à étudier le théome de Pytagore, mais c'est la plus proche que j'ai trouvé pour l'heure :


    1. L'idée serait d'associer les nombres ordinaux transfinis aux dimensions géométriques.

    0 = {} (ensemble vide)
    1 = {0} = { {} }
    2 = {0,1} = { {}, { {} } }
    3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
    4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

    ... quoique j'ai une hésitation sur la formulation à retenir dès la dimension 3.


    2.De plus l'idée correspondrait (?) à remplaçer le 0 = {} (ensemble vide) par R+



    Dans un tel cadre, si j'ai bien compris ce que l'on m'a expliqué et ce que j'ai étudié la soustraction n'est pas permise...

    d'où l'intérêt de pouvoir s'en passer pour le théorème de Pythagore qui doit rester applicable en dimension 2.

    (cependant je pense que la soustration devrait être incontournable, sinon ça ne serait pas cohérent, et qu'elle doit pouvoir être réintroduite mais peut être qu'il faut des conditions particulières)

    Cordialement.

  26. #21
    martini_bird

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Salut,

    je ne comprends pas trop ton projet, mais je me permets de faire deux remarques.
    1. L'idée serait d'associer les nombres ordinaux transfinis aux dimensions géométriques.
    Les ordinaux 0, 1, 2, 3, 4, ... sont bravement finis (c'est quand même mieux ainsi, non ? ).

    pour le théorème de Pythagore qui doit rester applicable en dimension 2.
    Le théorème de Pythagore a des grands frères en dimension >2 (voire en dimension infinie dans les espaces de Hilbert - cf. égalité de Parseval).

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  27. #22
    leg

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    bonjour
    Citation Envoyé par xxxxxxxx Voir le message
    (cependant je pense que la soustration devrait être incontournable, sinon ça ne serait pas cohérent, et qu'elle doit pouvoir être réintroduite mais peut être qu'il faut des conditions particulières)

    Cordialement.
    je pense aussi que oui.
    car suppose alors , que la formule des triplets n'existe pas encore, tu obtiens tous les triplets primitifs avec ta formule; soit avec x et y réels quelconques.
    je peux donc supposer qu'il existe alors deux réel x et y tel que défini, qui me donne dans un triplet A²,B et C² tel que (A²)² + B² = (C²)² d'où il existe:
    p²-q² = A²
    p²+q² = C²
    avec p, q et A pythagoriques, ainsi que p,q et C
    or si p et q sont pythagorique, c'est qu'ils ont été choisis dans un triplets pythagoricien inferieur , X, Y et Z . il ne sont pas quelconque , ils sont déterminés.
    comme par supposition q = Y pair et P = X = Z ce qui est impossible!
    P = X ou Z mais pas les deux!

    donc ton couple de réels: x et y ne peut être quelconque

    ceci dit est ce que le couple x,y pourrait être des réels positifs autre que des entiers naturels ou agébriques ,
    exemple : 1,00005... et 2,10003...?

    Amicalement,

  28. #23
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    bonjour


    je pense aussi que oui.
    car suppose alors , que la formule des triplets n'existe pas encore, tu obtiens tous les triplets primitifs avec ta formule; soit avec x et y réels quelconques.
    je peux donc supposer qu'il existe alors deux réel x et y tel que défini, qui me donne dans un triplet A²,B et C² tel que (A²)² + B² = (C²)² d'où il existe:
    p²-q² = A²
    p²+q² = C²
    avec p, q et A pythagoriques, ainsi que p,q et C
    or si p et q sont pythagorique, c'est qu'ils ont été choisis dans un triplets pythagoricien inferieur , X, Y et Z . il ne sont pas quelconque , ils sont déterminés.
    comme par supposition q = Y pair et P = X = Z ce qui est impossible!
    P = X ou Z mais pas les deux!



    donc ton couple de réels: x et y ne peut être quelconque
    Bonjour il y a, sauf si je me trompe, une erreur dès le départ dans ton raisonnement :

    A² + B² = C² et non (A²)² + B² = (C²)²

    ensuite :

    (p²-q²)² = A²
    (p²+q²)² = C²

    et non :

    p²-q² = A²
    p²+q² = C²

    la conséquence, c'est que ce que tu déduis est très probablement faux.


    Citation Envoyé par leg Voir le message
    ceci dit est ce que le couple x,y pourrait être des réels positifs autre que des entiers naturels ou agébriques ,
    exemple : 1,00005... et 2,10003...?

    Amicalement,
    tu peux poser
    x= 1,00005 et y=2,10003
    ou
    x'= 2,10003 et y'=1,00005
    tu obtiendras A, B, C et A', B', C' qui vérifierons le théorème de Pyhtagore
    avec C≠C' (enfin je crois... je n'ai pas cherché la démonstration)

    tu devras poser :
    p= 2,10003 et q=1,00005 car on doit avoir p>q ... (p²-q²) doit être positif.

    Cordialement,

  29. #24
    leg

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    je pense que tu n'as pas compris mon raisonnement .
    A² + B² = C² et non (A²)² + B² = (C²)²

    si tu prends deux réels comme tu les a défini, comment démontre tu que ce cas (A²)² + B² = (C²)² est justement impossible, sans te servir de la formule des triplets pythagoriciens ?

    tu devras donc démotrer que c'est impossible et tu t'appercevras alors, que c'est p et q qui définissent tes deux réel x et y et non l'inverse.

    tu devras poser :
    p= 2,10003 et q=1,00005 car on doit avoir p>q ... (p²-q²) doit être positif.

    tu obtiens un triangle rectangle mesuré par des entiers naturel ? c'est à dire un triplet pythagoricien classique ??

    donc ma question est bien: si tu prend deux réels quelconques, par exemple x = 2,10003.. et y = 1,0005..
    quel genre de triplet pythagoricien obtiens tu ?

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  31. #25
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par leg Voir le message
    je pense que tu n'as pas compris mon raisonnement .
    A² + B² = C² et non (A²)² + B² = (C²)²

    si tu prends deux réels comme tu les a défini, comment démontre tu que ce cas (A²)² + B² = (C²)² est justement impossible, sans te servir de la formule des triplets pythagoriciens ?

    tu devras donc démotrer que c'est impossible et tu t'appercevras alors, que c'est p et q qui définissent tes deux réel x et y et non l'inverse.
    Effectivement, je n'avais pas compris... (même encore je ne suis pas certain d'avoir tout compris )






    si A'²= A => équation du second degrè en y
    ∆<0 pas de solution

    si B'²=B
    (je suis donc obliger d'intervertir les valeurs de A et de B pour trouver quelque chose de cohérent, mais ça ne prête pas à conséquence)

    x² + 2y x - B'² = 0
    ∆= 4 (y²-B'²)
    d'où une seule racine positive :



    on veut entier soit un nombre entier C' vérifiant

    soit X et Y définissant le triplet (y,B',C')







    ou







    partant de là on devrait pouvoir exprimer A,B et C en fonction de X et Y et trouver le schisme, si comme tu l'avances il y en a un. (je ne suis pas certain d'avoir tout compris)



    Citation Envoyé par leg Voir le message
    tu devras poser :
    p= 2,10003 et q=1,00005 car on doit avoir p>q ... (p²-q²) doit être positif.

    tu obtiens un triangle rectangle mesuré par des entiers naturel ? c'est à dire un triplet pythagoricien classique ??

    donc ma question est bien: si tu prend deux réels quelconques, par exemple x = 2,10003.. et y = 1,0005..
    quel genre de triplet pythagoricien obtiens tu ?
    bien sûr, il suffit que l'une des valeurs x ou y ne soit pas un entier pour que ce ne soit pas un triplet de nombre entiers. tu obtiendras simplement des valeurs décimales pour A, B et C avec A²+B²=C²

    Cordialement,

  32. #26
    leg

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    bonjour
    donc il est évident que dans ta démonstratiton, le fait de dire de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir A, B et C, vérifiant la relation A² + B² = C² est faux !
    pour tout couple réel x,et y , effectivement tu peux vérifier la relation du théorème de pythagore; mais cela ne veut pas dire que le triangle rectangle, ainsi obtenu est constitué de trois entiers A, B et C = 1
    il ne serra constitué de ces trois entiers que si et seulement si il existe le couple p et q comme te l'à fait remarqué Martini.

    en définitive, dans ton idée tu es parti des triplets pythagoriciens donc des entiers, pour finir par des triplets de réels non entiers .

    pour chaque triplet pythagoricien tu peux obtenir une infinitée de triplets de réels de plus en plus petits qui vérifieront toujours la relation de pythagore
    a'² + b'² = c'²

    exemple le triplet A, B ,C = 3, 4 et 5
    tu fais un losange dont la surface S = (B b)/2 où:
    B = C = 5
    donc b = 4,8
    a'=2,4 ; b'= 3,2 et c' = 4
    ainsi que :
    a'' = 1,8 ; b'' = 2,4 et c'' = 3

    tu peux touver x' et y' réels ainsi que x" et y"

    et ainsi , de plus en plus petit....

  33. #27
    leonlapin

    Smile Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    je cherche une méthode pour construire un triplet pythagoricien en connaissant

    2n =a2 + b2 - c2

    je précise en ne connaissant que 2n

    quelqu'un a t il des lumières sur le sujet

  34. #28
    Médiat

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par leonlapin Voir le message
    je cherche une méthode pour construire un triplet pythagoricien en connaissant
    2n =a2 + b2 - c2
    je précise en ne connaissant que 2n
    Est-ce que tu cherches une solution ou toutes les solutions pour un n donné ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  35. #29
    Médiat

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Citation Envoyé par leonlapin Voir le message
    quelqu'un a t il des lumières sur le sujet
    Tu t'intéresses encore au sujet, ou je suis le seul à m'y intéresser ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  36. #30
    xxxxxxxx

    Re : triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

    Salut

    pour moi pour un triplet pythagoricien
    222
    mais bon je suis pas à l'abri d'une erreur
    Dernière modification par xxxxxxxx ; 03/10/2007 à 04h54.

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