triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

**xxxxxxxx** · 05/03/2007, 20h57

Bonjour,

Avec, je dois l'avouer une petite idée derrière la tête, j'ai été amené a étudier le théorème de Pythagore avec un oeil particulier.

J'ai d'abord trouvé empiriquement un lien entre les valeurs $A$ , $B$ et $C$ des triplets pythagoriciens à partir d'une variable $x$ .

A cause de ma petite idée, j'ai tenté de trouver une condition qui devait porter sur cette variable $x$

Après des tatonnements et avec l'aide d'un autre forum j'ai affiné un énoncé général qui reste à démontrer

Voici cet énoncé :

On veut
$A^2 + B^2 = C^2$

$A, B, C$ entiers
si on ne retient que les cas où PGCD $(A, B, C)=1$ , c'est à dire qu'on ne retient pas les formules $n A^2 + n B^2 = n C^2$

nota : on veut aussi trouver les triplets avec $A < B$

Pour $B$ impair

(on peut faire une présentation comparable pour $B$ pair mais elle est légèrement plus compliquée)

on pose $x$ impair tel que :

$x^2 < B$
et
$\frac{B}{x}$ entier (cela permet de gagner du temps dans le traitement des données)

On défini $A$ par $B^2=(2A+x^2)*x^2$

soit $A=\frac{\left(\frac{B^2}{x^2} - x^2 \right) }{2}$

les valeurs de $x$ à utiliser pour que $A$ soit entier seront telles que :
$Y=\left(\frac{B-x^2}{x} \right)$ soit un entier (remarque : si $Y$ entier, $Y$ sera pair)
et
$Y$ et $x$ doivent être premiers entre eux quand $x>1$

$C$ sera alors un entier tel que $C =A + x^2$

exemple :

$B = 217$

$\sqr(B) = 14,73...$

$max(x) = 13 < \sqr(B)$

valeurs possibles de
$x$ ... $x^2$
1 ....1... $B \div x$ entier
3 ....9
5 ...25
7 ..49 ... $B \div x$ entier
9 ...81
11. 121
13 .169

on teste les 2 valeurs de x pour $Y=\left(\frac{B-x^2}{x} \right)$$

pour $Y=\left(\frac{B-x^2}{x} \right)$ entier, on trouve $x=1$ et $x=7$

on reporte les valeurs de $x$ dans $A=\frac{\left(\frac{47089}{x^2 } - x \right) }{2}$

$A$ sera entier pour $x=1$ et $x=7$ (il ne le sera pas pour les autres valeurs de $x$ )
Attention : ce test est important car même si B/x entier on aura pas nécessairement un triplet pythagoricien

$A = 23544$ et $A= 456$
$C = 23545$ et $C= 505$

on aura immédiatement $C = A + x^2$

autrement dit et pour résumer :

$B$ impair (on peut faire une présentation très proche pour B pair)

$x$ impair tel que

$x^2<B$ et $\frac{B}{x}$ entier

si $Y=\left(\frac{B-x^2}{x} \right)$ entier, et, $Y$ et $x$ premiers entre eux.

je sais immédiatement définir $A$ et $C$ entiers en fonction de la variable $x$

On peut alors (sous réserve de démonstration), chercher de manière ordonnée tous les triplets pythagoriciens pour tout $B$ impair.

Dès qu'elle est mise au format Latex je poste une proposition de démonstration pour laquelle j'aimerais qu'on me dise si elle est juste ou fausse

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invite67423456789 · 05/03/2007, 23h28

tu es a quel niveau ? prépa / licence ?
je sais pas si tu as fait spé maths en Tale mais jai du bcp travaille dessus, au cas ou ... sinon je jetterai un coup d oeil

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 01h22

Pour les maths je n'ai qu'un vieux Bac E qui date de 1985, sinon j'ai une licence Administration Economique et Social mais qui ne m'a pas apporté grand chose pour les maths.

Mais pour faire ma demande de validation de ma démonstration j'ai pensé que cette partie du forum était la plus adéquate. Je vais tacher de la mettre en ligne avant demain soir (je débute avec le Latex)

Elle est déjà sur un autre site, tu peux la trouver avec google avec le titre du sujet : "triplets pythagoriciens demande de démonstration" mais pous l'instant là non plus elle n'est pas au format Latex

**Médiat** · 06/03/2007, 05h53

A partir du moment où tu imposes une relation entre A et B, je ne vois pas comment tu peux affirmer que ta méthode permet de trouver tous les triplets pythagoriciens. Je ne dis pas que c'est faux, je dis juste que ce n'est pas démontré.

**Médiat** · 06/03/2007, 07h28

Pour info, que reproches-tu à la méthode (p²-q², 2pq, p²+q²), qui donne tous les triplets pythagoriciens ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 07h49

Envoyé par Médiat

A partir du moment où tu imposes une relation entre A et B, je ne vois pas comment tu peux affirmer que ta méthode permet de trouver tous les triplets pythagoriciens. Je ne dis pas que c'est faux, je dis juste que ce n'est pas démontré.

Bonjour,

Effectivement, il est sans doute utile de démontrer que la relation entre $A$ , $B$ et $C$ n'est pas le simple fait du hasard mais corespond bien à la relation $A^2 +B^2=C^2$

J'ai un segment de longeur $C = A + b'$ ( $C$ impair et $A$ pair) exemple : $C=5$ et $A=4$
Je trace les carrés de coté $C$ , et de coté $A$ (je construis mon carré $A$ en prolongeant mes segments jusqu'aux cotés du carré $C$ )

J'obtiens en terme de mesure des surfaces :

$C^2= A^2 + b'^2 + Ab' + Ab'$
$C^2= A^2 + b'^2 + 2Ab'$
$C^2-A^2=2Ab'+b'^2$

Pour obtenir $C^2 = A^2 + B^2$
je pose

$C^2-A^2=B^2$

donc

$B^2= 2Ab' + b'^2$ (soit l'égalité entre la mesure de deux surfaces dont l'une sera un carré)

j'arrive à

$B^2 = (2A + b') b'$

( c'est cette valeur de b' que j'ai "mouliné" avec un programme pour trouver empiriquement que c'était systématiquement des valeurs telles que $b' = x^2$ , avec $x$ impair pour les triplets pythagoriciens quand $B$ impair.)

Je remplace $b'$ par $x^2$ pour retrouver $B^2=(2A + x^2) x^2$
cette formule me sert à trouver $A$ dans mon premier post :

$\frac{B^2}{x^2} - x^2 = 2A$

$\frac{\left(\frac{B^2}{x^2}-x^2\right)}{2}\ = A$

Voilà qui répondra, correctement je l'espère, à ta question.

ps : je viens de trouver la balise TEX à la fin de la rédaction de ce post

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**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 08h10

Envoyé par Médiat

Pour info, que reproches-tu à la méthode (p²-q², 2pq, p²+q²), qui donne tous les triplets pythagoriciens ?

Elle marche très bien mais n'est pas applicable avec des nombres ordinaux car dans ce cas la soustraction n'est pas définie.
C'est une approche légèrement différente de l'espace (qui heureusement retombe sur notre réalité concrète pour ce que j'ai pu en appréhender) de celle qui est communément admise qui m'a conduit directement sur cette application ainsi qu'à découvrir entre autres la notion d'ordinal.

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 09h17

Voici la démonstration à valider ou invalider. Merci d'avance pour vos réponses

$B$ impair et $x$ impair on montre facilement $Y$ pair si $Y$ entier

soit $y$ : $Y = 2 y$

$2 y =\frac{(B - x^2)}{x }$

$2 y =\left(\frac{B}{x } \right)-x$

$\frac{B}{x } = 2y+x$

$B = (2 y + x ) * x$

$A= \frac{\left(\frac{B^2}{x^2 }-x^2\right)}{2 }$

$A = (\frac{B}{x } + x ) * (\frac{B}{x } - x ) / 2$

$A = (\frac{B}{x } + x ) * y$

$A = (2y + x + x) * y$

$A = 2(y+x)*y$
____________

si $y$ et $x$ non premiers entre eux pour $x>1$
il existe $n$ tel que :

$n x' = x$

$n y' = y$

alors
$A = 2(y + x ) * n y' = n A'$

$B = (2 y + x ) * n x' = n B'$

$C = A + x^2$

$C = n ( A' + n x'^2)$

$A$ , $B$ et $C$ ne seront pas premiers entre eux, ils seront des multiples de $n$

_________

Sous réserve de validation de cette démonstration :

On pourra noter que cette approche permet d'associer le théorème de Pythagore avec les nombres ordinaux du plan :

$A = 2(y+x)*y$

$B = (2 y + x ) * x$

$C = 2(y^2+xy) + x^2$

de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir $A$ , $B$ , $C$ vérifiant la relation $A^2+B^2=C^2$

invite986312212 · 06/03/2007, 09h41

Envoyé par xxxxxxxx

on pose $x$ impair tel que :

$x^2 < B$
et
$\frac{B}{x}$ entier (cela permet de gagner du temps dans le traitement des données)

un tel $x$ n'existe pas nécessairement.

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 10h04

Envoyé par ambrosio

un tel $x$ n'existe pas nécessairement.

si : il existe toujours le cas $x=1$

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 11h19

Oups j'ai fini par dire une bêtise

Envoyé par xxxxxxxx

Sous réserve de validation de cette démonstration :

On pourra noter que cette approche permet d'associer le théorème de Pythagore avec les nombres ordinaux du plan :

$A = 2(y+x)*y$

$B = (2 y + x ) * x$

$C = 2(y^2+xy) + x^2$

de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir $A$ , $B$ , $C$ vérifiant la relation $A^2+B^2=C^2$

ça ne vaut que pour $x$ et $y$ réels positfs

invite986312212 · 06/03/2007, 11h50

bon, pour x=1 ok. Mais je ne saisis pas trop l'intérêt de la notion de triplet pythagoricien en réels.

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**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 16h31

Envoyé par ambrosio

bon, pour x=1 ok. Mais je ne saisis pas trop l'intérêt de la notion de triplet pythagoricien en réels.

Je me suis sans doute mal exprimé pardon...

En choisisant deux réels positifs $x$ , et $y$ quelconques ( $x=1,5$ et $y=2,3$ par exemple)
on va obtenir des valeurs réelles pour $A$ , $B$ , et $C$ qui vérifieront $A^2+B^2=C^2$

C'est une autre formulation de $(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)$ qui ne fait pas appel à la soustraction

P.S. : si quelqu'un avait la bonté de me dire si la démonstration est juste ou fausse, je lui en serait très reconnnaissant

**martini_bird** · 06/03/2007, 16h56

Salut,

les solutions (A, B, C) que tu donnent pour l'équation $a^2+b^2=c^2$ correspondent exactement aux solutions classiques $(2pq,\ p ^2-q^2,\ p^2+q^2)$ avec le changement de variables p=x+y et q=y.

Cordialement.

**xxxxxxxx** · 06/03/2007, 18h41

Merci beaucoup.

**leg** · 07/03/2007, 09h59

bonjour

Envoyé par xxxxxxxx

C'est une autre formulation de $(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)$ qui ne fait pas appel à la soustraction

quel est le but recherché stp ,
de trouver un triplet pythagoricien d'entiers naturels non nul , autre que ceux qui sont donné par (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2) ?
car le fait de reformuler la nature des triplets ne change en rien le fait, que ces triplets seront toujours donné par la même formule avec p et q entiers positifs et premiers entre eux
et la soustraction est trés utile..

**leg** · 07/03/2007, 12h50

Envoyé par leg

bonjour

quel est le but recherché stp ,
de trouver un triplet pythagoricien d'entiers naturels non nul , autre que ceux qui sont donné par (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2) ?
car le fait de reformuler la nature des triplets ne change en rien le fait, que ces triplets seront toujours donné par la même formule avec p et q entiers positifs et premiers entre eux
et la soustraction est trés utile..

désolé mais je n'avais pas tout lu, effectivement tu obtiens tous les triplets primitifs en remodifiant les paramètres des triplet par exemple,pour:
p=4 et q=1 donne x=3 et y =2

**leg** · 07/03/2007, 14h04

Envoyé par xxxxxxxx

Voici la démonstration à valider ou invalider. Merci d'avance pour vos réponses

de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir $A$ , $B$ , $C$ vérifiant la relation $A^2+B^2=C^2$

je pense que tu ne peux généraliser car x et y sont fonction de p et q et non pas l'inverse!
pour tout couple p et q tel que p²-q²,2pq et p²+q² il existe au moins un couple x et y réels mais pas quelconques exemple P = sqrt9 et q =sqrt2 il existe x et y réels
le triplet n'est pas pythagoricien avec A, B et C entier naturels: B²=49, C²=121, A² = 72 donc A n'est pas un entier.
non?

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**leg** · 07/03/2007, 14h09

Envoyé par leg

désolé mais je n'avais pas tout lu, effectivement tu obtiens tous les triplets primitifs en remodifiant les paramètres des triplet par exemple,pour:
p=4 et q=1 donne x=3 et y =2

désolé
lire Y et non y soit pour ce cas y=1 et Y=2

**xxxxxxxx** · 07/03/2007, 16h42

Envoyé par leg

bonjour

quel est le but recherché stp ,
de trouver un triplet pythagoricien d'entiers naturels non nul , autre que ceux qui sont donné par (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2) ?
car le fait de reformuler la nature des triplets ne change en rien le fait, que ces triplets seront toujours donné par la même formule avec p et q entiers positifs et premiers entre eux
et la soustraction est trés utile..

Je ne suis pas certain que c'est la formulation mathématique correcte de l'idée de base qui m'a amené à étudier le théome de Pytagore, mais c'est la plus proche que j'ai trouvé pour l'heure :

1. L'idée serait d'associer les nombres ordinaux transfinis aux dimensions géométriques.

0 = {} (ensemble vide)
1 = {0} = { {} }
2 = {0,1} = { {}, { {} } }
3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

... quoique j'ai une hésitation sur la formulation à retenir dès la dimension 3.

2.De plus l'idée correspondrait (?) à remplaçer le 0 = {} (ensemble vide) par R⁺

Dans un tel cadre, si j'ai bien compris ce que l'on m'a expliqué et ce que j'ai étudié la soustraction n'est pas permise...

d'où l'intérêt de pouvoir s'en passer pour le théorème de Pythagore qui doit rester applicable en dimension 2.

(cependant je pense que la soustration devrait être incontournable, sinon ça ne serait pas cohérent, et qu'elle doit pouvoir être réintroduite mais peut être qu'il faut des conditions particulières)

Cordialement.

**martini_bird** · 07/03/2007, 20h09

Salut,

je ne comprends pas trop ton projet, mais je me permets de faire deux remarques.

1. L'idée serait d'associer les nombres ordinaux transfinis aux dimensions géométriques.

Les ordinaux 0, 1, 2, 3, 4, ... sont bravement finis (c'est quand même mieux ainsi, non ?

).

pour le théorème de Pythagore qui doit rester applicable en dimension 2.

Le théorème de Pythagore a des grands frères en dimension >2 (voire en dimension infinie dans les espaces de Hilbert - cf. égalité de Parseval).

Cordialement.

**leg** · 09/03/2007, 10h51

bonjour

Envoyé par xxxxxxxx

(cependant je pense que la soustration devrait être incontournable, sinon ça ne serait pas cohérent, et qu'elle doit pouvoir être réintroduite mais peut être qu'il faut des conditions particulières)

Cordialement.

je pense aussi que oui.
car suppose alors , que la formule des triplets n'existe pas encore, tu obtiens tous les triplets primitifs avec ta formule; soit avec x et y réels quelconques.
je peux donc supposer qu'il existe alors deux réel x et y tel que défini, qui me donne dans un triplet A²,B et C² tel que (A²)² + B² = (C²)² d'où il existe:
p²-q² = A²
p²+q² = C²
avec p, q et A pythagoriques, ainsi que p,q et C
or si p et q sont pythagorique, c'est qu'ils ont été choisis dans un triplets pythagoricien inferieur , X, Y et Z . il ne sont pas quelconque , ils sont déterminés.
comme par supposition q = Y pair et P = X = Z ce qui est impossible!
P = X ou Z mais pas les deux!

donc ton couple de réels: x et y ne peut être quelconque

ceci dit est ce que le couple x,y pourrait être des réels positifs autre que des entiers naturels ou agébriques ,
exemple : 1,00005... et 2,10003...?

Amicalement,

**xxxxxxxx** · 09/03/2007, 17h48

Envoyé par leg

bonjour

je pense aussi que oui.
car suppose alors , que la formule des triplets n'existe pas encore, tu obtiens tous les triplets primitifs avec ta formule; soit avec x et y réels quelconques.
je peux donc supposer qu'il existe alors deux réel x et y tel que défini, qui me donne dans un triplet A²,B et C² tel que (A²)² + B² = (C²)² d'où il existe:
p²-q² = A²
p²+q² = C²
avec p, q et A pythagoriques, ainsi que p,q et C
or si p et q sont pythagorique, c'est qu'ils ont été choisis dans un triplets pythagoricien inferieur , X, Y et Z . il ne sont pas quelconque , ils sont déterminés.
comme par supposition q = Y pair et P = X = Z ce qui est impossible!
P = X ou Z mais pas les deux!

donc ton couple de réels: x et y ne peut être quelconque

Bonjour il y a, sauf si je me trompe, une erreur dès le départ dans ton raisonnement :

A² + B² = C² et non (A²)² + B² = (C²)²

ensuite :

(p²-q²)² = A²
(p²+q²)² = C²

et non :

p²-q² = A²
p²+q² = C²

la conséquence, c'est que ce que tu déduis est très probablement faux.

Envoyé par leg

ceci dit est ce que le couple x,y pourrait être des réels positifs autre que des entiers naturels ou agébriques ,
exemple : 1,00005... et 2,10003...?

Amicalement,

tu peux poser
x= 1,00005 et y=2,10003
ou
x'= 2,10003 et y'=1,00005
tu obtiendras A, B, C et A', B', C' qui vérifierons le théorème de Pyhtagore
avec C≠C' (enfin je crois... je n'ai pas cherché la démonstration)

tu devras poser :
p= 2,10003 et q=1,00005 car on doit avoir p>q ... (p²-q²) doit être positif.

Cordialement,

**leg** · 09/03/2007, 18h07

je pense que tu n'as pas compris mon raisonnement .
A² + B² = C² et non (A²)² + B² = (C²)²

si tu prends deux réels comme tu les a défini, comment démontre tu que ce cas (A²)² + B² = (C²)² est justement impossible, sans te servir de la formule des triplets pythagoriciens ?

tu devras donc démotrer que c'est impossible et tu t'appercevras alors, que c'est p et q qui définissent tes deux réel x et y et non l'inverse.

tu devras poser :
p= 2,10003 et q=1,00005 car on doit avoir p>q ... (p²-q²) doit être positif.
tu obtiens un triangle rectangle mesuré par des entiers naturel ? c'est à dire un triplet pythagoricien classique ??

donc ma question est bien: si tu prend deux réels quelconques, par exemple x = 2,10003.. et y = 1,0005..
quel genre de triplet pythagoricien obtiens tu ?

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**xxxxxxxx** · 10/03/2007, 14h57

Envoyé par leg

je pense que tu n'as pas compris mon raisonnement .
A² + B² = C² et non (A²)² + B² = (C²)²

si tu prends deux réels comme tu les a défini, comment démontre tu que ce cas (A²)² + B² = (C²)² est justement impossible, sans te servir de la formule des triplets pythagoriciens ?

tu devras donc démotrer que c'est impossible et tu t'appercevras alors, que c'est p et q qui définissent tes deux réel x et y et non l'inverse.

Effectivement, je n'avais pas compris... (même encore je ne suis pas certain d'avoir tout compris )

$A = 2(y+x)*y$

$B = (2 y + x ) * x$

$C = 2(y^2+xy) + x^2$

si A'²= A => équation du second degrè en y
∆<0 pas de solution

si B'²=B
(je suis donc obliger d'intervertir les valeurs de A et de B pour trouver quelque chose de cohérent, mais ça ne prête pas à conséquence)

x² + 2y x - B'² = 0
∆= 4 (y²-B'²)
d'où une seule racine positive :

$x'= \sqr(y^2+B'^2) -y$

on veut $\sqr (y^2+B'^2)$ entier soit un nombre entier C' vérifiant $y^2+B'^2=C'^2$

soit X et Y définissant le triplet (y,B',C')

$y = 2(Y+X)*Y$

$B' = (2 Y + X ) * X$

$C' = 2(Y^2+XY) + X^2$

ou

$B' = 2(Y+X)*Y$

$y = (2 Y + X ) * X$

$C' = 2(Y^2+XY) + X^2$

partant de là on devrait pouvoir exprimer A,B et C en fonction de X et Y et trouver le schisme, si comme tu l'avances il y en a un. (je ne suis pas certain d'avoir tout compris)

Envoyé par leg

tu devras poser :
p= 2,10003 et q=1,00005 car on doit avoir p>q ... (p²-q²) doit être positif.
tu obtiens un triangle rectangle mesuré par des entiers naturel ? c'est à dire un triplet pythagoricien classique ??

donc ma question est bien: si tu prend deux réels quelconques, par exemple x = 2,10003.. et y = 1,0005..
quel genre de triplet pythagoricien obtiens tu ?

bien sûr, il suffit que l'une des valeurs x ou y ne soit pas un entier pour que ce ne soit pas un triplet de nombre entiers. tu obtiendras simplement des valeurs décimales pour A, B et C avec A²+B²=C²

Cordialement,

**leg** · 12/03/2007, 09h57

bonjour
donc il est évident que dans ta démonstratiton, le fait de dire de plus si x et y réels quelconques, on pourra se limiter aux opérations définies pour les nombres ordinaux et avoir A, B et C, vérifiant la relation A² + B² = C² est faux !
pour tout couple réel x,et y , effectivement tu peux vérifier la relation du théorème de pythagore; mais cela ne veut pas dire que le triangle rectangle, ainsi obtenu est constitué de trois entiers A, B et C = 1
il ne serra constitué de ces trois entiers que si et seulement si il existe le couple p et q comme te l'à fait remarqué Martini.

en définitive, dans ton idée tu es parti des triplets pythagoriciens donc des entiers, pour finir par des triplets de réels non entiers .

pour chaque triplet pythagoricien tu peux obtenir une infinitée de triplets de réels de plus en plus petits qui vérifieront toujours la relation de pythagore
a'² + b'² = c'²

exemple le triplet A, B ,C = 3, 4 et 5
tu fais un losange dont la surface S = (B b)/2 où:
B = C = 5
donc b = 4,8
a'=2,4 ; b'= 3,2 et c' = 4
ainsi que :
a'' = 1,8 ; b'' = 2,4 et c'' = 3

tu peux touver x' et y' réels ainsi que x" et y"

et ainsi , de plus en plus petit....

**leonlapin** · 26/09/2007, 04h09

je cherche une méthode pour construire un triplet pythagoricien en connaissant

2n =a2 + b2 - c2

je précise en ne connaissant que 2n

quelqu'un a t il des lumières sur le sujet

**Médiat** · 26/09/2007, 18h17

Envoyé par leonlapin

je cherche une méthode pour construire un triplet pythagoricien en connaissant
2n =a2 + b2 - c2
je précise en ne connaissant que 2n

Est-ce que tu cherches une solution ou toutes les solutions pour un n donné ?

**Médiat** · 27/09/2007, 15h39

Envoyé par leonlapin

quelqu'un a t il des lumières sur le sujet

Tu t'intéresses encore au sujet, ou je suis le seul à m'y intéresser ?

**xxxxxxxx** · 03/10/2007, 04h50

Salut

pour moi pour un triplet pythagoricien
$a$ ² $+b$ ² $-c$ ² $=0$
mais bon je suis pas à l'abri d'une erreur

triplets pythagoriciens : recherches sur une "autre" démonstration

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