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idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels



  1. #1
    bambelbitz

    idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels


    ------

    Soit A un anneau commutatif et I un ideal de A. Alors la racine de I est donnée par:
    racine(I)= tous les x qui appartient à A tel qu'il existe un n qui appartient à N*, Xn appartient à I

    racine(I) est un idéal de A contenant I.


    De plus I est primaire si pour tous x,y qui appartient à A, xy appartient à I => x appartient à racine(I) ou y appartient à racine(I)

    Question: Montrer que I est un idéal PRIMAIRE ssi racine(I) est un idéal PREMIER.

    J'ai déjà montrer que si I est primaire alors racine(I) est premier. Mais pour l'autre sens je n'ai aucune idée comment on pourrait le démontrer.

    Autre Question: Calculer la racine d'un idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients dans R. Montrer ensuite qu'un idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels est primaire si I=(0) ou s'il existe un polynôme irréductible P et un entier a tel que I=(Pa)

    Je serais très reconnaissant pour toute suggestion de votre part. Merci en avance!

    -----

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  4. #2
    homotopie

    Re : idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels

    Citation Envoyé par bambelbitz Voir le message

    Question: Montrer que I est un idéal PRIMAIRE ssi racine(I) est un idéal PREMIER.

    J'ai déjà montrer que si I est primaire alors racine(I) est premier. Mais pour l'autre sens je n'ai aucune idée comment on pourrait le démontrer.
    Tu as pourtant montrer le sens le plus délicat.
    A montrer que I est primaire si est premier.
    Soient x, y dans A avec xy dans I, d'où xy est aussi dans ... et donc... (la preuve n'est pas plus longue que ça)

    Citation Envoyé par bambelbitz
    Autre Question: Calculer la racine d'un idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients dans R. Montrer ensuite qu'un idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels est primaire si I=(0) ou s'il existe un polynôme irréductible P et un entier a tel que I=(Pa)
    Un idéal de R[X] est de la forme (P) où P est un polynome. Or,
    où les Pi sont irréductibles.
    Maintenant tu considères un polynome Q tel que Qn est dans (P), Que peux-tu dire de Pi et de Q ?
    Ca doit suffir pour te mettre sous la voie.

  5. #3
    Taar

    Re : idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels

    Citation Envoyé par bambelbitz Voir le message

    J'ai déjà montrer que si I est primaire alors racine(I) est premier. Mais pour l'autre sens je n'ai aucune idée comment on pourrait le démontrer.
    À mon avis, tu as peut-être tout simplement oublié que . Sinon, c'est comme a dit homotopie.

    Taar.

  6. #4
    bambelbitz

    Re : idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels

    Si on considère un polynôme Q tel que Qn est dans l'idéal (P) alors Q se trouve dans la racinde de l'idéal (P). De plus si Qn est dans P, alors Qn peut s'écrire Qn = P*T (où T appartient aux polynômes à coefficients réels). Puisque le polynôme P est sous la forme de polynômes irréductibles, alors chaque polynôme irréductible divise Q. Est-ce que la racine est alors sous la forme: racine(p1*p2*...*R[X])
    où p1,p2... sont la décomposition en polynômes irréductibles de P???

    Merci pour toute réponse!!

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  8. #5
    homotopie

    Re : idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels

    Citation Envoyé par bambelbitz Voir le message
    Si on considère un polynôme Q tel que Qn est dans l'idéal (P) alors Q se trouve dans la racinde de l'idéal (P). De plus si Qn est dans P, alors Qn peut s'écrire Qn = P*T (où T appartient aux polynômes à coefficients réels). Puisque le polynôme P est sous la forme de polynômes irréductibles, alors chaque polynôme irréductible divise Q. Est-ce que la racine est alors sous la forme: racine(p1*p2*...*R[X])
    où p1,p2... sont la décomposition en polynômes irréductibles de P???

    Merci pour toute réponse!!
    Ce que j'ai mis en rouge est une erreur de frappe j'imagine (quoique le résultat soit vrai aussi mais présenté de manière "bizzare").
    Tu y es presque tu ne peux pas réécrire la réponse autrement (celle-ci est un idéal donc de la forme (R) où r est un polynôme) ?

  9. #6
    bambelbitz

    Re : idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels

    Merci pour toutes vos réponses, elles m'ont vraiment aidé. En ce qui concerne la dernière question: I idéal de R[X], I primaire ssi I=(Pa) (où P est un polynôme irréductible) . Est-ce qu'on peut utiliser le premier point en posant que tous les Pi égauc???? Mais comment est-ce qu'on peut faire apparaître que I est primaire????

    Je serais ravi pour toute aide, parce que c'est assez confus pour moi!!!

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  11. #7
    homotopie

    Re : idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels

    Citation Envoyé par bambelbitz Voir le message
    Merci pour toutes vos réponses, elles m'ont vraiment aidé.
    Je serais ravi pour toute aide, parce que c'est assez confus pour moi!!!
    De rien c'est aussi un plaisir de pouvoir aidé.
    Citation Envoyé par bambelbitz
    En ce qui concerne la dernière question: I idéal de R[X], I primaire ssi I=(Pa) (où P est un polynôme irréductible) . Est-ce qu'on peut utiliser le premier point en posant que tous les Pi égauc???? Mais comment est-ce qu'on peut faire apparaître que I est primaire????
    Tu as calculé la racine d'un idéal quelconque où les Pi sont irréductibles.
    Maintenant tu utilises ce qui précède, l'idéal I est primaire si et seulement si sa racine est un idéal premier.
    Ce qu'il reste à faire est de caractériser de manière simple le fait que cette racine est première (indice : parles du nombre de facteurs irréductibles et non de "ils sont égaux"*)

    * ce qui est d'ailleurs :
    i) faux (P.P)=(P²) n'est pas premier même si P est irréductible alors que P1=P2
    ii) contraire à l'hypothèse que est la décomposition en facteurs irréductibles de q ce qui suppose que les Pi sont distincts quand ils n'ont pas le même indice.
    L'idée y est mais mal exprimée.

  12. #8
    bambelbitz

    Re : idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels

    Or, pour tout x,y qui appartient à A, tel que xy appartient à racine(I) => x appartient à racine(I) ou y appartient à racine.

    donc si xy appartient à racine(I): xy = P1*P2*...Pr*T (où T est un polynôme)

    donc: x appartient à racine(I) ssi y est un polynôme inversible tel que:

    x= P1*P2*...Pr*T*y-1

    et T*y-1 est aussi un polynôme. => x appartient à racine(I)
    (car produit de deux polynômes est un polynôme)
    de même si x est un polynôme inversible alors y appartient à la racine(I).

    => racine(I) est premier

    Mais alors on n'a pas de condition sur les Pi.

  13. #9
    homotopie

    Re : idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients réels

    Citation Envoyé par bambelbitz
    Mais alors on n'a pas de condition sur les Pi.
    Ce qui n'est pas étonnant puisque tu pars de :
    Citation Envoyé par bambelbitz Voir le message
    Or, pour tout x,y qui appartient à A, tel que xy appartient à racine(I) => x appartient à racine(I) ou y appartient à racine.
    autrement dit tu supposes que racine(I) est premier
    puis:
    [QUOTE=bambelbitz]
    donc si xy appartient à racine(I): xy = P1*P2*...Pr*T (où T est un polynôme)

    donc: x appartient à racine(I) ssi y est un polynôme inversible tel que:

    x= P1*P2*...Pr*T*y-1

    et T*y-1 est aussi un polynôme. => x appartient à racine(I)
    (car produit de deux polynômes est un polynôme)
    de même si x est un polynôme inversible alors y appartient à la racine(I).

    => racine(I) est premier[QUOTE]
    tu aboutis à racine (I) est premier.
    Tu n'avais donc pas grand chose à utiliser mais tu as surtout beaucoup écrit pour rester sur place.

    Reprenons, ce que tu as pour l'instant c'est ceci :
    I primaire <=> racine(I) premier (C'était la première partie)

    Or racine (I ) est un idéal engendré par le produit de n polynomes irréductibles. A quelle condition (C) racine (I) est premier ? (je suppose que tu as déjà étudié les idéaux premiers de R[X] vu la question posée sinon préviens il faudra combler une lacune).
    On a donc :
    I=() est primaire
    <=> racine(I)=() est premier
    <=> (C)
    Et de là tu devrais en déduire une nouvelle équivalence avec I=(Pm) pour un polynome irréductible P et un entier m.

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