Polynomes: relations coefficients/racines

[invite42abb461]

Bonjour, j'ai du mal a me representer ces relations qui font intervenir les fonctions symetriques elementaires, meme si je les connais. Lorsque l'on ecrit l'egalité entre un polynome et sa forme factorisée, on developpe cette derniere pour identifier. Mais je ne sais pas comment developper "intelligemment", i.e. regrouper les bons termes, pour comprendre comment est formé chaque coefficient, sans avoir a tout ecrire (ce qu'on ne peut pas faire lorsque le degré est n quelconque). Pouvez vous m'eclairer ? Merci d'avance.
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[invite8ad87141]

Bonjour,
J'ai a peu près le même problème... moi ce que je fais c'est que je développe . Le terme de degré n est simple... c'est tous les termes en X. Ensuite, pour le terme en , on voit bien qu'on est obligé d'avoir le produit de n-1 X et d'un , on a donc ( étant bien sur les coefficients du polynôme) . Tu peux continuer comme ça... et tu es sur de ne pas te tromper en particulier pour le signe!

J'espère que ça t'aidera moi c'est ce qui me sert à me rappeler des formules et à visualiser ce qu'il se passe.

[inviteaf1870ed]

Une manière de voir : tu pars d'un polynôme UNITAIRE du second degré, et tu connais la fameuse formule X²-SX+P, où S est la somme des racines et P le produit.
AU troisième degré, on a X³-SX²+SSX-P, où SS représente la somme des produits de racines prises 2 à 2.
Ensuite tu n'as plus qu'à généraliser : le premier coefficient sera toujours l'opposé de la somme des racines, et le dernier le produit des racines avec un + si le degré est pair ou un - si le degré est impair.

[invite89449fcd]

Et elle est justifiée cette généralisation?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0b22930]

Une autre façon de voir:
Il est facile de générer à la main ou par programme, récursivement ou itérativement l'ensemble des parties à p éléments de l'ensemble {1;2;...;n}. où 0 <=o<=n
Les polynômes symétriques élémentaires s'obtiennent directement à partir de cela, la question du signe étant résolue par alternance, comme il est dit plus haut.