Théorème d'inversion des limites

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai fait quelques recherches sur la fonction zêta de Riemann, et sur la détermination d'un équivalent en de , j'ai rencontré un théorème que je ne connaissais pas, et dont j'aimerais connaître les hypothèses d'utilisation.

Le théorème en question se nommerait théorème d'inversion des limites, mais je n'ai pas trouvé grand chose dans mes recherces ; celui-ci permet d'écrire ceci :

.

Pour écrire cela, suffit-il que converge en pour tout ?

Merci d'avance
Phys2
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[invitec317278e]

c'est un peu plus compliqué que ça.

le théorème nécessite la convergence uniforme de la fonction qui a x associe au voisinage de l'infini, ainsi que la convegence, pour tout k, de

[g_h]

Hello,

Tu peux poser
Il faut que tu montres la convergence uniforme de vers la fonction sur un intervalle de la forme ]A, +oo[ (c'est toi qui choisis A)

La notion de convergence uniforme est plus forte que la convergence "simple". Elle veut dire en gros que la convergence ne se fait pas "de plus en plus lente" quand tu bouge x (attention, c'est imagé et à prendre avec des pincettes, le "de plus en plus" n'est vraiment pas assez précis)

Exemple, la fonction sur [0, 1[ ne tend pas uniformément vers la fonction nulle sur [0, 1[, car quelque soit n, tu peux toujours trouver un x tel que xⁿ soit arbitrairement proche de 1 (et pas de 0, qui est la limite !)

Ton cas est un des plus simples (une fois que tu as compris le concept bien sur) que l'on peut espérer : tu peux procéder en disant que quelque soit x plus grand ou égal à 2 . Or, cette dernière somme tend vers 0 quand n tend vers + l'infini, et est totalement indépendante de x, ce qui prouve la convergence uniforme.

Si tu tournes autour de la fonction zeta, tu pourra voir des choses un peu plus générales que la convergence uniforme, par exemple les "familles sommables", et le magnifique (dans la pratique) théorème du produit eulérien, qui permet de démontrer très facilement tout un tas de formules impliquant la fonction zeta et d'autres fonctions fondamentales de l'arithmétique

[Seirios]

Merci à vous deux

[A voir en vidéo sur Futura]