Somme des puissances et formule d'inversion de Pascal.

[invitea250c65c]

Bonjour à tous,

Avant tout, ce n'est pas dans le cadre d'un exercice, je ne sais pas si ces questions admettent des réponses (niveau bac+1).

Je voudrais obtenir une expression "simple" de où (sans utiliser les nombres de Bernouilli ...).
J'ai montré dans un exercice que l'on avait : .
Et à partir de là je pensais utiliser un truc comme la formule d'inversion de Pascal pour obtenir la valeur de , mais ici ça ne correspond pas tout à fait.
Voyez-vous une variante de la formule de Pascal qui nous permettrait de conclure ?

Et à propos de cette formule, en voyez-vous une interprétation ou une démonstration "simple"? Je veux dire autre que calculatoire parce que quand on connait le résultat ca se montre avec un peu de calcul mais je me demande bien comment à fait Pascal pour la devinner ...

Merci d'avance.
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[invite4ef352d8]

Salut !

Je vois pas trop ce que tu espère obtenir : connaitre l'expression des Sp(n) c'est la meme choses que de connaitre les nombres de bernoulli. (si tu arrive à obtenir l'expression des Sp(n) alors tu retrouve les nombres de bernoulli dans les coeficients de n^i...)

[Universus]

Ce n'est pas grand chose ce que je vais dire, mais quand j'ai tenté de trouver aussi par moi-même (c'est-à-dire sans 'croire' wikipédia ou utiliser une preuve par induction sur l'équation) une expression des , j'ai procédé (peut-être comme tu l'as fait) en travaillant sur les définitions des sommes.

Clairement, on a . De là, j'ai dit que . En faisant des inversions de sommations et tous et en répétant ma démarche pour des de rang p plus élevé une fois ceux de rang moins élevé connus, j'ai remarqué l'apparition des coefficients binomiaux. De là j'ai procédé par récurrence (ce qui est plus simple que de démontrer que les étapes faites font effectivement apparaître les coefficients binomiaux) pour obtenir l'expression que tu as entre et les sommes de puissances d'entiers. Alors j'imagine que c'est peut-être comme ça que ça a été trouvé. Autrement, j'ai essayé par la suite d'une façon plutôt fastidieuse d'obtenir une expression des coefficients des polynômes égaux aux . D'après le peu que je connaisse des nombres de Bernoulli, bien que je ne sois pas parvenus à l'expression finale où figurent explicitement ces nombres, les nombres de Bernoulli sont vraiment inévitables ; après tout, c'est leur nature profonde que de faire partie de ces coefficients.

[g_h]

Et à propos de cette formule, en voyez-vous une interprétation ou une démonstration "simple"? Je veux dire autre que calculatoire parce que quand on connait le résultat ca se montre avec un peu de calcul mais je me demande bien comment à fait Pascal pour la devinner ...

Je ne sais pas quelle démonstration tu as vu, mais ça me saute toujours aux yeux quand je vois cette formule qu'il suffit juste d'inverser la matrice des coefficients binomiaux (la seule démo que je connaisse, enfin j'en ai pas vraiment cherché une autre)
Une fois qu'on a vu qu'on a sous les yeux un produit matriciel, c'est fini

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea250c65c]

Merci pour vos réponses.

Excusez-moi Ksilver et Universus, je voulais dire dans le premier message par "sans utiliser les nombres de Bernouilli" ceci : sans avoir recours à des résultats établis sur les nombres de Bernouilli, en refaisant tout moi-même, sans utiliser la théorie des nombres de Bernouilli (même si évidemment à la fin je vais retomber sur ces nombres).

Merci g_h, je viens de lire une démo avec les matrices, c'est sur que c'est beaucoup plus naturel que celle que j'avais trouvée dans un exercice (la même que sur wiki : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule...sion_de_Pascal ).