Formule des compléments et limite d'une somme

[le fouineur]

Bonsoir à tous,

J' ai pu avancer depuis mon post précédent sur la convergence de la série de terme:

u(n)=ln[1+(1/n^2)] en effet u(n) est équivalent à
v(n)=1/n^2 qui converge....donc u(n) converge.

Mais un problème plus difficile est d'évaluer la limite de la somme des u(n) quand n->+oo
M'étant renseigné sur ce point j'ai finalement obtenue l'information suivante:

Somme de u(n) de k=1 jusqu'à l' oo =ln[sinh(Pi)/Pi]
et l'auteur du post a ajouté que pour démontrer cette formule,il fallait passer par les produits infinis eulériens.

Moi,j'ai voulu y voir une analogie possible avec la formule des compléments de la fonction Gamma d' Euler

On a en effet Gam(z)*Gam(1-z)=Pi/sin(Pi*z)

En faisant z=i (ce qui n'est pas interdit),on obtient:

Gam(i)*Ga(1-i)= -i*[Pi/sinh(Pi)] et en retournant l'expression comme une chausette on obtient encore:

-i/[Gam(i)*Gamma(1-i)]=sinh(Pi)/Pi

et en prenant le logarithme de chaque membre il vient:

ln[-i/[Gam(i)*Gam(-i)]]=ln[sinh(Pi)/Pi]

Maintenant on a l'expression demandée dans le membre de droite et il faut démontrer que:

Somme de 1 à l' oo de u(n) =ln[-i/[Gam(i)*Gam(1-i)]]

Avez-vous des pistes pour ce faire ou ma démonstration est-elle mal partie dans cette direction?(je ne connais évidement pas toutes les propriétés de la fonction Gamma étendue au champ complexe)

Nota Bene:la question que je pose ce soir n'est évidement pas dans l'énoncé du problème oû on me demande seulement d'établir la convergence,c'est une question que je me pose par curiosité mathématique....

Merci d' avance de me répondre

Cordialement le fouineur
-----

[invited5b2473a]

u(n)=ln[1+(1/n^2)] en effet u(n) est équivalent à
v(n)=1/n^2 qui converge....donc u(n) converge.

Attention!! Il faut rajouter le fait que est positive.

[le fouineur]

Attention!! Il faut rajouter le fait que est positive.

Bonsoir indian58,Bonsoir à tous

Je veux bien que v(n) soit à valeurs positives mais d' oû sort-tu cette condition supplémentaire? Du critère de Cauchy peut-être?

Merci de me fournir des explications....

Sinon,pour revenir à la formule que j'ai énoncé dans le message #1,elle est juste,je l'ai vérifiée à l'aide de "Mathematica".Mais reste le plus dur à faire,c'est à dire établir le lien avec la somme....
Je ne dispose que de deux livres sur le sujet:le tome 2 d'analyse de J.M. Arnaudiès et H.Fraysse (Chapitre "notions sur les produits infinis") et "Compléments de mathématiques" par André Angot (Chapitre 7-4 "fonction factorielle")
Mais ces deux ouvrages restent assez laconiques sur le sujet: Je ne vois en effet nulle part le lien entre les produits eulériens et la somme que je me propose de calculer...
Pourtant un tel lien doit bien exister dans la littérature,sinon personne n'aurait pu me donner la formule qui permet de calculer la limite de cette somme.

J'espère toujours trouver sur ce forum un amateur d'analyse complexe qui serait intéressé par ce problème...

Merci d'avance à tous

Cordialement le fouineur

[invite4793db90]

Salut,

pour ma part, je pense que la démonstation la plus directe est d'utiliser le produit eulérien relativement bien connu (voir par exemple ici, 21) :



Le résultat tombe tout de suite, en faisant :

________________

Si tu tiens absolument à utiliser la formule des compléments, pose , dérive pour obtenir



et fait apparaître la fonction digamma (formule 6) , dérivée logarithmique de la fonction :



pour revenir enfin à la fonction :



et intégrer (je passe l'interversion des symboles) puis faire :



CQFD.

Ceci dit, cette démo est capillotractée ! On aurait tout de suite pu remarquer que



qui n'est autre que la dérivée logarithmique de ...


Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[le fouineur]

Bonjour martini_bird

Merci pour ta réponse rapide,elle me satisfait pleinement....
Pour ma part,je préfère la démonstration bourrine qui utilise la formule des compléments car elle seule fait le lien (et ce dès le départ en faisant x=i) entre la somme infinie et le logarithme du sinus hyperbolique.
Par contre je ne nie pas que pour des sommes plus compliquées (genre u(n)=1/n^4 par exemple) ,la méthode par la formule des compléments s'avère rapidement impraticable....car j' ai vu la forme des solutions pour ce genre d'exemple et il m'apparait alors inimaginable de la bidouiller....

Cordialement le fouineur

[invite4793db90]

Salut,

(genre u(n)=1/n^4 par exemple)

On doit pouvoir s'en sortir avec des polygammas, mais bon...

Cordialement.