question un peu bete,
Est-ce que la primitive d'un polynome à n racines distinctes est toujours un polynome à n-1 racines distinctes?
je pense que c'est faux (bien que ce me serait tres utile xD), mais je ne vois pas comment démontrer que ça ne marche pas(contre exemple?) - ou que ça marche éventuellement.
Merci.
Salut !
Prend un polynome de degrée impair scindé (unitaire) ar exemple x^3-x=(x(x-1)(x+1)
une primitve est un polynome de degré paire + une constante : x^4/4-x²/2 + k
ensuite tu regarde le minimum du polynome de degré paire, et tu prend une constante K strictement plus grande que son opposé. ici le minimum est -1/4, donc tu prend K>1/4, par exemple K=1 et dans ce cas x^4/4-x²/2 + 1 est une primitive de x^3-x qui ne s'annule pas.
erreur: la question c'est ...n+1 racines evidement.
Merci pour la réponse (c'est ce que tu as compris apparement) jvais essayer d'y réfléchir(j'avoue pas avoir tout compris la...)
bon ok j'ai compris le contre exemple, c'est pas si compliqué finalement^^.
merci pour ton aide à+.
Salut,
Et si on se place sur C plutot que sur R ? J'imagine que c'est encore faux, mais je ne trouve pas de contre-exemple.
Mais bon, on peut toujours faire comme ça :
Prendre un polynôme P scindé à racines simples tel que P' est aussi scindé à racines simples avec racines différentes, puis considérer P^2, qui est un polynôme constitué de degré(P) racines distinctes, alors que (P^2)' en a 2deg(P)-1.
Le problème est de trouver un tel P, n'est - ce pas ?
Disons que je prends juste un polynôme P a racines simples. Alors il est facile de voir que les racines de P' sont distinctes de celles de P (sinon P a une racine double). Après, pourquoi peut-on trouver des polynômes P tel que P' soient scindés ? Y a-t-il une manière d'en construire de façon intelligente ?
Autre question : Si P est un polynôme tel que P' est scindé à racines simples, peut-on trouver un k tel que P+k est scindé à racines simples ? (je me place sur C). J'ai bien l'impression que oui...
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rvz
Rolle est ton ami
Déjà, un polynome est toujours scindé sur C. Ensuite, le problème vient de l'odm des racines. Pour que P' soit à racines simples, il suffit que l'odm des racines de P soit TJS <= 2, tu conclues ensuite avec Rolle en comptant les racines (racines crées + racines d'odm 1 ds P' : le comtpe est bon).
