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Mêmes racines donc mêmes polynômes ?



  1. #1
    Gaara

    Mêmes racines donc mêmes polynômes ?


    ------

    Bonjour à tous ^^

    Je post ici parce que je ne sait pas si c'est vraiment niveau terminale ou supérieur.

    Ma question est comment démontrer que deux polynômes qui ont même racines sont égaux ?

    Je m'explique; On considère deux polynôme de degré 4 on a :





    Si ceux-ci ont les 5 racines identiques, donc ils sont égaux. (1)
    Si ceux-ci ont 4 racines identiques et donc ils sont égaux. (2)

    S'il vous plaît, comment faire pour le démontrer ??


    Merci d'avance




    PS: je ne sait pas si c'est formulé de façon correcte mais j'apprécierai votre aide.

    -----
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

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  3. #2
    Theyggdrazil

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    En un mot : factorisation.

    Ah et puis 5 racines pour un polynôme de degré 4, la réponse est assez évidente

    Edit : hmm quoique, tu es lycéen encore je présume ? Alors ce n'est peut-être pas si évident ^^
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

  4. #3
    b0uh34

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Salut,
    ALors quand un polynome a des racines il faut directement le mettre sous la forme a(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3) pour un polynome en x^4. Du coup si ton autre polynome a les memes racines bah il sera egal au premier seulement si le a est le meme. (toras juste a le mettre sous la meme forme pour le demontrer)
    Par contre ton polynome a au maximum 4 racines pcq son terme de coefficient dominant est en puissance 4.
    Voila si ca te va pas hésite pas.

  5. #4
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par b0uh34 Voir le message
    Par contre ton polynome a au maximum 4 racines pcq son terme de coefficient dominant est en puissance 4.

    Salut,

    Oui j'ai honte là, un polynôme de degré 4 avec 5 racines çà ne court pas les rues

    Edit : hmm quoique, tu es lycéen encore je présume ? Alors ce n'est peut-être pas si évident ^^
    oui lol je fait toujours ce genre d'âneries

    En tout cas merci Beacoup pour vos réponses rapides et précises et merci b0uh34 j'ai enfin compris merci Beaucoup je vais voir si je peux y arriver ^^


    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  6. #5
    jobherzt

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Une precision quand meme : pour etre precis, il ne faut pas parler de polynome ayant les memes racines, mais "les memes racine avec les meme multiplicité"; pour eviter toute ambiguité.

    Par exemple, et sont de meme degré, ont les memes racines (2 et 3); mais ne sont pas egaux !! parec que dans le premier cas 2 est une racine double et 3 une racine simple, alors que c'est le contraire pour le 2 polynome.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Une precision quand meme : pour etre precis, il ne faut pas parler de polynome ayant les memes racines, mais "les memes racine avec les meme multiplicité"; pour eviter toute ambiguité.

    Par exemple, et sont de meme degré, ont les memes racines (2 et 3); mais ne sont pas egaux !! parec que dans le premier cas 2 est une racine double et 3 une racine simple, alors que c'est le contraire pour le 2 polynome.
    Re Bonjour et Merci pour la précision jobhertz ^^,

    Mais voilà il s'avère que j'ai mal formulé mon problème XD

    En fait c'est :

    Comment prouver que deux polynômes de degré n, qui prennent les mêmes valeurs pour n+1 variables, sont égaux.

    Merci beaucoup ^^

    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

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  10. #7
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Snif personne ?

    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message
    Comment prouver que deux polynômes de degré n, qui prennent les mêmes valeurs pour n+1 variables, sont égaux.
    La différence entre les deux polynômes est un polynôme.

    De quel degré au maximum? Et combien de racines a-t-il au minimum?

    Cordialement,

  12. #9
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    La différence entre les deux polynômes est un polynôme.

    De quel degré au maximum? Et combien de racines a-t-il au minimum?

    Cordialement,
    Salut

    Euh le pour des polynomes de degré supérieurs à 2 (sinon c facile ^^) et on suppose qu'ils ont des racines dans IR.


    mercii

    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  13. #10
    indian58

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message

    Euh le pour des polynomes de degré supérieurs à 2 (sinon c facile ^^) et on suppose qu'ils ont des racines dans IR.
    Oui, vaut mieux que tes polynômes soient réels (ou complexes). Car le résultat que tu énonces n'est pas valable dans tous les corps.

  14. #11
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Oui, vaut mieux que tes polynômes soient réels (ou complexes). Car le résultat que tu énonces n'est pas valable dans tous les corps.
    Comment prouver alors qu'il est valable ??


    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  15. #12
    invité576543
    Invité

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message
    Euh le pour des polynomes de degré supérieurs à 2 (sinon c facile ^^) et on suppose qu'ils ont des racines dans IR.
    Je parlais du degré du polynome différence! Et mes questions visent à t'aider à trouver par toi-même la démonstration du résultat...

    Cordialement,

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  17. #13
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Je parlais du degré du polynome différence! Et mes questions visent à t'aider à trouver par toi-même la démonstration du résultat...

    Cordialement,
    désolé du malentendu le degré du polynôme différence ? Je dirais 5 mais je ne comprends vraiment pas désolé



    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  18. #14
    invité576543
    Invité

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message
    :le degré du polynôme différence ? Je dirais 5 mais je ne comprends vraiment pas désolé
    Tu as posé le problème avec des polynômes de degré n. La réponse ne peut pas être 5!

    Cordialement,

  19. #15
    indian58

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    En fait, le résultat que tu dois démontrer est : soit P un polynôme réel (ou complexe) non nul de degré n. Alors s'il admet n+1 racines, c'est le polynôme nul.

  20. #16
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Tu as posé le problème avec des polynômes de degré n. La réponse ne peut pas être 5!

    Cordialement,
    Aie en effet je suis troubé mais çà ne m'avance pas plus

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    En fait, le résultat que tu dois démontrer est : soit P un polynôme réel (ou complexe) non nul de degré n. Alors s'il admet n+1 racines, c'est le polynôme nul.
    Euh pourquoi faire intervenir les racines ??

    Pitié je suis dur a la détente

    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  21. #17
    invité576543
    Invité

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message
    Euh pourquoi faire intervenir les racines ??
    Que connais-tu comme polynômes (sur R ou C...) de degré 1 ou moins ayant 2 racines ou plus? de degré 3 ou moins ayant 4 racines ou plus? de degré n ou moins ayant n+1 racines ou plus?

    Cordialement,

  22. #18
    jobherzt

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    tu as une maniere simple de voir que ca marche :

    Si tu as un polynome de degré n, alors il a n+1 coefficients. si tu connais la valeur que ton polynome prend en n+1 valeur , alors remarque que tu as donc n+1 equation de la forme , et que tu as n+1 inconnues, a savoir les coefficients !!!

    or, un systeme de n+1 equation lineaires a n+1 inconnue, possede soit 0 soit 1 unique solution. Or tu sais qu'il existe une solution (puisque ton polynome existe), donc elle est unique.

    dis de maniere moins bourrine : si tu connais les valeurs d'un polynome en n+1 points, alors tu peux retrouver les coefficients de ce polynome, et ils sont uniquement determinés. donc si tu en as 2 qui prennent les meme valeurs, ils sont forcement identique puisqu'ils ont les memes coeffs !

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  24. #19
    invité576543
    Invité

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    or, un systeme de n+1 equation lineaires a n+1 inconnue, possede soit 0 soit 1 unique solution.
    Euh... Y'a quand même une petite condition d'indépendance qui mérite d'être vérifiée, non? Et prouver l'indépendance dans le cas précis n'est peut-être pas un exercice du même niveau...

    (Et dans quel cas y-a-t-il 0 solution ?)

    Cordialement,

  25. #20
    Médiat

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    (Et dans quel cas y-a-t-il 0 solution ?)
    Par exemple :
    a+b = 1
    a+b = 0
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #21
    jobherzt

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Euh... Y'a quand même une petite condition d'indépendance qui mérite d'être vérifiée, non? Et prouver l'indépendance dans le cas précis n'est peut-être pas un exercice du même niveau...

    (Et dans quel cas y-a-t-il 0 solution ?)

    Cordialement,
    pas faux, j'ai un peu simplifié le truc... mais avec la structure d'espace vectoriel sous jacente c'est a moitié evident, mais c'est vrai que c'est a prendre en compte...

  27. #22
    invité576543
    Invité

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    (Et dans quel cas y-a-t-il 0 solution ?)
    La question hors contexte n'était pas claire. La question, à lire dans le contexte, était:

    Dans quel cas, si la condition d'indépendance est vérifiée, y-a-t-il 0 solution?

    (L'affirmation "0 ou 1 solution" est incorrecte, il me semble, aussi bien si la condition d'indépendance est vérifiée que si elle n'est pas vérifiée, dans le premier cas parce que 0 solution n'est pas possible, et dans le second parce qu'il y a d'autres cas...)

    Cordialement,

  28. #23
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Bonjour à tous et déjà un grand merci d'avoir voulu m'expliquer mais je n'ai rien compris comme à mon habitude XD

    je vais citer l'exemple tel quel :

    On a deux polynomes de degré 4, P(x) et R(x).
    On trouve :
    R(1) = 2; P(1) = 2.
    R(5) = 10; P(5) = 10.
    R(12) = 4; P(12) = 4.
    R(6) = 15; P(6) = 15.
    R(64) = 45; P(64) = 45.

    J'ai pris les chiffres au hasard. A partir de là, peut-on dire que R(x) = P(x) ???

    Et si oui, peut-on étendre ce résultat à tous les polynomes ??

    la structure d'espace vectoriel sous jacente
    J'ai vraiment RIEN compris.

    Je le rappelle, je ne suis qu'en terminale S et je ne suis PAS un prodige ou un surdoué. Si c'est trop compliqué à expliquer dites le moi.
    Merci quand même



    Dernière modification par Gaara ; 28/09/2007 à 16h09.
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  29. #24
    jobherzt

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Bon alors, plus facile :

    que peux tu dire du polynome P-R ? quelles valeurs prend t il en les differents points que tu cites ? que peux tu en conclure ?

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  31. #25
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Bon alors, plus facile :

    que peux tu dire du polynome P-R ? quelles valeurs prend t il en les differents points que tu cites ? que peux tu en conclure ?
    Je dirais que c'est le polynôme nul vu qu'ils sont égaux. Pour toutes les valeurs que je cite, il prends la valeur 0. Je ne sait pas quoi conclure vu que :

    R(1) - P(1) = 0.
    R(5) - P(5) = 0.
    R(12) - P(12) = 0.
    R(6) -P(6) = 0.
    R(64) - P(64) = 0.

    C'est clair qu'il s'annule plus de 5 fois, mais celà suffit-il pour dire que c'est le polynôme nul ?

    ( sa me prends la tete ce truc )

    Merci jobherzt

    Dernière modification par Gaara ; 28/09/2007 à 16h28. Motif: confondu vitesse et précipitation
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  32. #26
    jobherzt

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message

    C'est clair qu'il s'annule plus de 5 fois, mais celà suffit-il pour dire que c'est le polynôme nul ?
    Il s'annule en tes 5 valeurs, et il est de degré inferieur ou egal a 4. Quelle est la seule possibilité ? souviens toi qu'un polynome de degré n a au plus n racines dans R.

  33. #27
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    La seule possibilité est que R(x) = P(x) ?? Mais quel est le théorème qui permet d'affirmer çà ??




    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  34. #28
    Gaara

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Il me semble que c'est çà :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...%A8me_de_Rolle

    en tout cas merci beaucoup pour ton aide et pour l'aide de tous les autres je galère c'est abusé




    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  35. #29
    jobherzt

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message
    Il me semble que c'est çà :

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...%A8me_de_Rolle

    en tout cas merci beaucoup pour ton aide et pour l'aide de tous les autres je galère c'est abusé




    Tu ne reponds pas a ma question : quelle est la seule possibilité pour P-R ??? il a 5 racines, et il est de degre inferieur a 4. comme il est de degre inferieur a 4, il ne devrait avoir que 4 racines, sauf s'il est ..... et donc P=R.

    il te reste un mot a mettre dans ma phrase precedente et tu as fini

  36. #30
    homotopie

    Re : Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

    Citation Envoyé par kimuto Voir le message
    C'est clair qu'il s'annule plus de 5 fois, mais celà suffit-il pour dire que c'est le polynôme nul ?
    La réponse est oui.
    Est-ce un résultat considéré comme admis en TleS, pas à ce que je sache.
    Est-ce difficile à montrer ? Oui et non, l'idée est facile, l'écrire de mnaière rigoureuse est un peu technique.
    L'idée est la suivante :
    si a est une racine d'un polynôme P alors P(X)=(X-a)Q(X) où Q(X) est un polynôme de degré (le degré de P) -1 (on considère que deg(polynôme nul)=-infini et -infini-1=-infini)
    Pour montrer ceci, on montre que l'on peut toujours faire une division d'un polynôme par un autre mais avec un reste de manière génrale, exemple :
    on divise X3+2X²+3X+1 par X²+1 :
    X3+2X²+3X+1
    =(X²+1)X+[X3+2X²+3X+1-X3-X]
    =(X²+1)X+X²+3X+1=(X²+1)X+(X²+1).1+(X²+3X+1-X²-1)=(X²+1)X+(X²+1)1+3X
    =(X²+1)(X+1)+3X
    =(X²+1)Q(X)+R(X)
    où Q et R sont des polynômes et le degré de R est strictement inférieur à celui de X²+1 (si le polynôme divisé n'est pas nul)
    Si on divise P par X-a, on a
    P(X)=(X-a)Q(X)+R(X) avec degré de R strictement inférieur à celui de X-a, donc R est degré 0 (ou est nul) donc est une constante c.
    Evaluons cette constante grace au fiat que a est une racine de P :
    P(a)=0=(a-a)Q(a)+c=0+c=c cette constante est nulle, il ne reste donc que P(X)=(X-a)Q(X).
    Si un polynôme degré 4 a 5 racines distinctes a1, a2, a3, a4, a5, on a
    P(X)=(X-a1)Q(X) a2, a3, a4, a5 sont racines de P mais pas de X-a1 donc sont racines de Q qui est de degré <=3
    Q(X)=(X-a2)Q'(X) Q' est un polynôme degré <=2 admettant trois racines a3, a4, a5
    Q'(X)=(X-a3)Q"(X) Q" est un polynôme degré <=1 admettant deux racines
    Q"(X)=(X-a4)Q"'(X) Q"' est un polynôme degré<=0 (donc une constante) admettant une racine donc est le polynôme nul. Il en est de même de P(X)=(X-a1)(X-a2)(X-a3)(X-a4)Q"'(X).

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