rationnel ou irrationnel?

[ash117]

bonjour,
me voilà confronté à un exercice pas si difficile que ça, je vous l'énonce:

montrez que les loi" addition" et " multiplication" ne sont pas des lois internes dans l'ensemble des nombres irrationnels.

en prenant Racine(2),
on a bien racine(2)*racine(2)=2 qui n'est pas irrationnel
mais pour l'addition,
racine(2)+racine(2)=racine(8). ....comment prouver que ce n'est pas un irrationnel?

pour moi, c'est un irrationnel, mais ca contredirait l'enoncé.
la correction donne racine(2)-racine(2)=0, qui n'est pas irrationnel, mais par esprit de contradiction, je veux savoir si racine(8) est rationnel et comment le prouver.(j'ai essaiyé un raisonnement par l'absurde, je n'y parvient pas)

merci d'avance!
(je sais pas pourquoi mais je sens que ca va etre tout simple..)
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[invite4ef352d8]

Salut !

racine de 8 est irationel : si racine(8) etait rationel, raicne(2) =racine(8)/2 serait rationel !

[ash117]

alors je ne comprend plus, ca voudrait dire que l'addition est une loi interne dans l'ensemble des irrationnels....mais 0 prouve le contraire........euh...compren d plus là

[inviteb0df2270]

Ce serait une loi interne si c'était vérifié pour TOUS les irrationnels !

Il suffit d'un contre-exemple pour démontrer qu'une assertion est fausse, mais il ne suffit pas en général d'un exemple pour démontrer qu'une assertion est vraie

[A voir en vidéo sur Futura]

[ash117]

...d'où la notion de loi....ok jai compris, mais j'aurai pas penser tout de suite aà faire l'addition entre un element et son opposé.
merci beaucoup!!

[Médiat]

Il suffit d'un contre-exemple pour démontrer qu'une assertion est fausse, mais il ne suffit pas en général d'un exemple pour démontrer qu'une assertion est vraie

Par exemple l'assertion : , tu es sur que je peux appliquer ton affirmation ?
Comme je viens de trouver un contre-exemple à ton assertion, est-ce que je peux en conclure quelque chose sur sa valeur de vérité ?

[inviteb0df2270]

Par exemple l'assertion : , tu es sur que je peux appliquer ton affirmation ?
Comme je viens de trouver un contre-exemple à ton assertion, est-ce que je peux en conclure quelque chose sur sa valeur de vérité ?

Le "en général" me sauve

[ash117]

il voulait dire toute assertions mettant en jeux le quantificateur " pour tout".
la remarque de Mediat est tres drole, et juste en plus, mais c'est vraiment jouer sur les mots.
(mais je sais,les maths sont exactes)

merci encore!

[Médiat]

Le "en général" me sauve

Ce n'est pas de l'acharnement de ma part , mais ce n'est pas vrai non plus, puisqu'ici un contre-exemple ne permet pas de montrer qu'elle est fausse, et tu n'as pas mis "en général" dans cette partie.
En fait, pour que ton adage devienne un théorème, il faudrait préciser si l'assertion est universelle (et dans ce cas il est vrai) ou existentielle (et dans ce cas il est faux), c'est d'ailleurs le sens des quantificateurs universel et existentiel.

[inviteb0df2270]

Ce n'est pas de l'acharnement de ma part , mais ce n'est pas vrai non plus, puisqu'ici un contre-exemple ne permet pas de montrer qu'elle est fausse, et tu n'as pas mis "en général" dans cette partie.
En fait, pour que ton adage devienne un théorème, il faudrait préciser si l'assertion est universelle (et dans ce cas il est vrai) ou existentielle (et dans ce cas il est faux), c'est d'ailleurs le sens des quantificateurs universel et existentiel.

Je plaide l'inconscience, votre honneur !

C'est tout à fait exact, merci de ces précisions J'ai mal raisonné puisque j'ai généralisé par rapport au problème initial, qui concernait justement une assertion universelle

[inviteaf1870ed]

Salut !

racine de 8 est irationel : si racine(8) etait rationel, raicne(2) =racine(8)/2 serait rationel !

Pour l'addition il y a encore plus simple : racine (2) et -racine(2)