Bonjour,
Voilà j'ai résolu un exercice et je vous demande de me corriger si cela ne vous dérange pas, et si possible, de me donner une solution alternative (même si la mienne est correcte ?).
Démontrer queest irrationnel.
On supposeracine d'un polynôme à coefficients entiers que l'on va déterminer (dans le cas général) :
Soient a et b deux entiers naturels non carrés parfaits vérifiantet étant racine d'un polynôme à coefficients entiers. On a :
Réciproquement, on vérifit queconvient. Ainsi,
est racine de
. Or, si
est racine d'un polynôme à coefficients entiers, alors
et
Supposons alors par l'absurderationnel. Il existe donc deux entiers premiers entre eux vérifiant :
.
Ainsi, p | 1 et q | 1, puisqueest racine de
.
D'oùet
et puisque
alors on doit avoir :
On vérifit que cette égalité aboutit à une contradiction D'oùirrationnel.
-----