Mêmes racines donc mêmes polynômes ?

[inviteec581d0f]

Désolé ^^

il a 5 racines, et il est de degre inferieur a 4. comme il est de degre inferieur a 4, il ne devrait avoir que 4 racines, sauf s'il est 'Nul' et donc P=R.

c'est çà ??


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[invitebe0cd90e]

Oui, c'est ca.

[inviteec581d0f]

La réponse est oui.
Est-ce un résultat considéré comme admis en TleS, pas à ce que je sache.
Est-ce difficile à montrer ? Oui et non, l'idée est facile, l'écrire de mnaière rigoureuse est un peu technique.
L'idée est la suivante :
si a est une racine d'un polynôme P alors P(X)=(X-a)Q(X) où Q(X) est un polynôme de degré (le degré de P) -1 (on considère que deg(polynôme nul)=-infini et -infini-1=-infini)
Pour montrer ceci, on montre que l'on peut toujours faire une division d'un polynôme par un autre mais avec un reste de manière génrale, exemple :
on divise X³+2X²+3X+1 par X²+1 :
X³+2X²+3X+1
=(X²+1)X+[X3+2X²+3X+1-X³-X]
=(X²+1)X+X²+3X+1=(X²+1)X+(X²+1).1+(X²+3X+1-X²-1)=(X²+1)X+(X²+1)1+3X
=(X²+1)(X+1)+3X
=(X²+1)Q(X)+R(X)
où Q et R sont des polynômes et le degré de R est strictement inférieur à celui de X²+1 (si le polynôme divisé n'est pas nul)
Si on divise P par X-a, on a
P(X)=(X-a)Q(X)+R(X) avec degré de R strictement inférieur à celui de X-a, donc R est degré 0 (ou est nul) donc est une constante c.
Evaluons cette constante grace au fiat que a est une racine de P :
P(a)=0=(a-a)Q(a)+c=0+c=c cette constante est nulle, il ne reste donc que P(X)=(X-a)Q(X).
Si un polynôme degré 4 a 5 racines distinctes a1, a2, a3, a4, a5, on a
P(X)=(X-a1)Q(X) a2, a3, a4, a5 sont racines de P mais pas de X-a1 donc sont racines de Q qui est de degré <=3
Q(X)=(X-a2)Q'(X) Q' est un polynôme degré <=2 admettant trois racines a3, a4, a5
Q'(X)=(X-a3)Q"(X) Q" est un polynôme degré <=1 admettant deux racines
Q"(X)=(X-a4)Q"'(X) Q"' est un polynôme degré<=0 (donc une constante) admettant une racine donc est le polynôme nul. Il en est de même de P(X)=(X-a1)(X-a2)(X-a3)(X-a4)Q"'(X).

C'est un Miracle j'ai Compriiiiiss Merci homotopie et Merci à jobherzt

[ericcc]

Homotopie, ne peut on le démontrer de manière plus simple par récurrence.

C'est vrai pour deg P = 1

Soit un polynôme P de degré n, sa dérivée P' est de degré n-1 et a donc au plus n-1 racines. Par le théorème des valeurs intermédiaires en en comptant les "piquets" et les "intervalles" on en déduit que P ne peut avoir au plus que n racines.

[invite35452583]

Homotopie, ne peut on le démontrer de manière plus simple par récurrence.

C'est vrai pour deg P = 1

Soit un polynôme P de degré n, sa dérivée P' est de degré n-1 et a donc au plus n-1 racines. Par le théorème des valeurs intermédiaires en en comptant les "piquets" et les "intervalles" on en déduit que P ne peut avoir au plus que n racines.

C'est vrai qu'il y a plus simple pour les polynômes à coefficients réels (quand on se sent plus à l'aise en analyse qu'en algèbre tout du moins).
Mais est-ce dans le programme de TleS ? Je crois que le théorème des valeurs intermédiaires n'est pas/plus (?) vu en tant que tel en TleS mais sous la version du théorème de la bijection.
Car, avec le théorème des valeurs intermédiaires (version "compact" f([a,b]=[m,M]) ce qui est utilisé est que si f(a)=f(b) et f continue sur [a,b] alors f a un extremum qu'il atteint en un certain point x₀ de ]a,b[ (qu'il soit à l'intérieur est primordial) maintenant si f est dérivable sur ]a,b[ alors f' s'annule en x₀.
Autre version (plus faible) si f est continue sur [a,b] alors f atteint toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). Donc si f(a)=f(b) et que f' est continue sur ]a,b[ (ça suffit il n'y a pas besoin de [a,b] même si ici c'est le cas) alors f' ne peut avoir le même signe partout sur ]a,b[ sinon f est strictement monotone (en TleS cette conséquence ils l'ont) ce qui contredit f(a)=f(b) donc il existe a' tel que f'(a)>=0, et b' tel que f(b')<=0 donc f' s'annule entre a' et b' i.e. entre a et b.
Je n'y arrive pas avec seulement le théorème de bijection qui est moins souple. ceci dit ça me paraît néanmoins compréhensible pour un TleS, et même ES, (qui est habitué à admettre des théorèmes d'analyse-topologie relativement intuitif).

[ericcc]

On va voir cela : ma progéniture est en Tle S cette année...

[invite986312212]

On va voir cela : ma progéniture est en Tle S cette année...

la mienne aussi... l'an dernier elle me dit qu'on va leur enseigner les espaces vectoriels. Je commence:
- un EV, c'est un groupe...
- groupe? sais pas ce que c'est
- un groupe c'est un ensemble...
- ensemble? jamais entendu parler
- aaargh!!!
comment peut-on faire des maths sans parler d'ensembles?

bon, tout ça est hautement hors sujet...

[ericcc]

Oui les maths au lycée ce n'est plus vraiment un jardin à la française...

[Médiat]

comment peut-on faire des maths sans parler d'ensembles?

Il parait même que l'on peut faire des maths sans faire de logique