Bonjour,
Existe-t'il un critère général pour déterminer si un polynôme de degré supérieur ou égal à 5 possède des racines multiples, un peu comme le critère du discriminant nul pour le degré 2, ou tout autre critères que l'on pourrait déterminer aisément pour le degré 3 ou 4 (puisque l'on a des écritures analytiques des solutions).
En fait, même mieux : pourrait-on savoir le nombre de racines distinctes d'un polynôme de degré supérieur ou égal à 5 ?
Merci d'avance
G.eek
Oui, il existe un critère général pour tout polynôme de K[X] avec K un corps commutatif: tu regardes le PGCD de P et P'. P et P' sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont de racines communes donc si et seulement si P n'a pas de racines multiples.
Salut !
sinon, le discriminant est définit pour tous les polynomes de degré quelconque et il est nul si et seulement si le polynome possede des racines multiples (cherche discriminant et resultant sur wikipédia, tu trouvera des explications claire)
sinon effectivement calculer le PGCD de P et P' donne directement le nombres de ces racines, et permet d'obtenir le polynome Q qui a les meme racine que P, mais uniquement des racines simple (Q=P/pgcd(P,P') ), c'est tres utile pour caluler numériquement les racines de P, ou savoir si une matrice qui a comme polynome charactéristique P est diagonalisable ou non... la condition etant " M est diagonalisable dans une cloture algébrique du corps si et seulement si Q(M)=0", mais sa demande un tous petit peu plus de calcule (vraiment un tous petit peu... mais nettement moins de théorie en revanche ^^ )
Salut,
Merci à tous les deux
