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Critère de multiplicité de racines pour des polynômes de degré supérieur à 5



  1. #1
    Gwyddon

    Critère de multiplicité de racines pour des polynômes de degré supérieur à 5


    ------

    Bonjour,

    Existe-t'il un critère général pour déterminer si un polynôme de degré supérieur ou égal à 5 possède des racines multiples, un peu comme le critère du discriminant nul pour le degré 2, ou tout autre critères que l'on pourrait déterminer aisément pour le degré 3 ou 4 (puisque l'on a des écritures analytiques des solutions).

    En fait, même mieux : pourrait-on savoir le nombre de racines distinctes d'un polynôme de degré supérieur ou égal à 5 ?

    Merci d'avance

    G.eek

    -----
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  2. Publicité
  3. #2
    indian58

    Re : Critère de multiplicité de racines pour des polynômes de degré supérieur à 5

    Oui, il existe un critère général pour tout polynôme de K[X] avec K un corps commutatif: tu regardes le PGCD de P et P'. P et P' sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont de racines communes donc si et seulement si P n'a pas de racines multiples.

  4. #3
    Ksilver

    Re : Critère de multiplicité de racines pour des polynômes de degré supérieur à 5

    Salut !


    sinon, le discriminant est définit pour tous les polynomes de degré quelconque et il est nul si et seulement si le polynome possede des racines multiples (cherche discriminant et resultant sur wikipédia, tu trouvera des explications claire)


    sinon effectivement calculer le PGCD de P et P' donne directement le nombres de ces racines, et permet d'obtenir le polynome Q qui a les meme racine que P, mais uniquement des racines simple (Q=P/pgcd(P,P') ), c'est tres utile pour caluler numériquement les racines de P, ou savoir si une matrice qui a comme polynome charactéristique P est diagonalisable ou non... la condition etant " M est diagonalisable dans une cloture algébrique du corps si et seulement si Q(M)=0", mais sa demande un tous petit peu plus de calcule (vraiment un tous petit peu... mais nettement moins de théorie en revanche ^^ )

  5. #4
    Gwyddon

    Re : Critère de multiplicité de racines pour des polynômes de degré supérieur à 5

    Salut,

    Merci à tous les deux
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. A voir en vidéo sur Futura

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