P de degré n de R [X], possède n racines distinctes
Q= P²+P'
Mq que le nombre de racines est compris entre n-1 et n+1
Pour montrer que le nombre de racines est inférieur ou égal à (n-1), il suffit d'utiliser le théorème de Rolle.
Mais pour montrer qu'il y en a au plus (n+1) racines , je me retrouve entrain de faire de nombreuses distinctions de cas.
Cordialement.
Il suffir de montrer que :
i) il y a exactement une racine de P²+P' entre duex racines consécutives de P
ii) il y a au plus une racine de P²+P' plus grande que les racines de P
ii) il y a au plus une racine de P²+P' plus petite que les racines de P
Pour i), on divise l'intervalle [a ; a'] en deux zones avant l'unique racine b de P' sur cet intervalle, après cette racine.
Deux cas possibles : i) P'(a)>0, P'(a')<0 ii) P'(a)<0, P'(a')>0
Il y a toujours un des deux intervalles dont on connaît le signe strictement (cas i) entre a et b ii) entre b et a', sur cette partie il n'y aucune racine possible
Pour l'autre intervalle, on connaît "presque" la variation. (P²)'=2PP' ne changera pas de signe, (P')'=P" ne peut changer qu'une seule fois de signe (pour la même raison qu'il n'y qu'une racine possible de P' entre deux racines de P).
Dans le cas i), par exemple, on a :
soit P²+P' décroît de + vers - (P" ne s'annule pas)
soit P²+P' décroît de + vers ? puis croît de ? vers - (on en déduit que ?=-)
Dans ces deux cas une racine réelle et une seule.
Pour ii) et iii) même type d'idée.
Certes 4 cas pour i).
Après plus mûre réflexion, j'ai été un peu optimiste sur le sens de variation (le résultat est peut être vrai mais ma preuve ne tient pas la route) donc pas mieux qu'une minoration comme toi pour l'instant.
A l'aide je suis bloquée!!!
Voici ce que je dirais, mais il faudrait pouvoir le formaliser surtout le 3)
1) P' possède exactement n-1 racines, donc P" aussi et toutes les dérivées de P;
2) Q>P' car P² ne peut être nul en même temps que P' sinon il y aurait une racine double de P
3) Pour que Q soit nul il faut donc que P' soit négatif ce qui ne peut se produire que n-1, n ou n+1 fois suivant les configurations (c'est évident sur un dessin)
Bonjour, merci ericcc pour ta réponse mais j'ai encore un petit problème; tu m'as dit:
Mais je ne vois pas en quoi ça permet de conclure qu'il y a u plus n+1 racines??Envoyé par ericcc
Cordialement
Si ce que je dis est vrai (et je ne suis pas entièrement sur de moi), Q s'annule donc quand P' prend une certaine valeur négative. Ce cas ne se produit au plus que n+1 fois.
Bonsoir,
Le problème ericc est qu'est ce qui empecherait que dans un des cas où P' est négatif, que Q ne s'annule pas deux fois .
L'affirmation doit être vraie mais elle est un rapide.
Pour ma part j'ai d'abord regardé ce qui pouvait se passer entre deux racines de P. On a une minoration mais difficile de majorer.
Il semble qu'il soit plus intéressant de se placer entre deux racines consésutives de P', notons les b et b', telles que P' soit négatif entre ces deux racines. (Il y en a entre (n-1)/2 et (n+1)/2).
P s'annule une fois et une seule, disons en a, entre b et b', sinon on parvient facilement à contredire que P est à racines distinctes.
Minoration du nombre de racines de P²+P' sur un tel intervalle :
P²+P' est >0 en b et en b' car P' s'y annule, P non.
P²+P' est <0 en a car P(a)=0 et P(a)<0 vu le choix d'intervalle qui a été fait.
De là on a que P²+P' s'annule au moins une fois entre b et a et une fois entre a et b'.
Réflexion sur une tentative de majoration du nombre de racines de P²+P' entre b et b'
P" s'annule une fois et une seule entre b et b', même type d'argument, disons en c.
Quitte à changer P(X) en P(-X), on peut supposer b<a<=c<b'
P décroît strictement entre b et b' car P'< sur ]b,b'[, donc vu le changement de signe de P en a, P² décroît entre b et a , croît entre a et b'.
P' décroît entre b et c, croît entre c et b'.
Entre b et a P²+P' est donc strictement décroissante et ne s'annule donc qu'une fois.
Entre a et b', P²+P' croît entre c et b' mais il est difficile d'affirmer quoi que soit (en tout cas de manière rapide) sur les variations de P²+P' entre a et c, à part que ce polynôme change de variation au moins une fois. Il est difficile aussi de montrer quelque chose sur la convexité de P²+P'.
Si on parvient à montrer quelque chose du type, pour un polynôme P, si P"' s'annule entre une racine de P et une racine de P" alors P' s'annule aussi entre ces racines (ça ne me semble pas, a priori, abérant mais je n'ai aucune idée sérieuse de preuve pour l'instant) alors on a facilement que P"' est >0 entre a et c, et (P²+P')"=2PP"+2P'²+P"'>0 P²+P' est convexe entre a et c, le changement de variation de P²+P' ne peut se produire qu'une fois entre a et c et de là on montre que P²+P' ne s'annule qu'une fois entre a et b'. On a alors un début de majoration (il reste les deux branches asymptôtiques).
Maintenant, la majoration du nombre de racines est peut être à chercher de manière globale et non locale.
