Somme des 1/P

[CM63]

Une question à laquelle je devrais avoir une réponse rapide, juste pour la noter quelque part : à quoi est égale la somme des inverses des nombres premiers :

S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... =

Merci pour vos réponses.
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[invitedef78796]

Salut,

Et bien en fait elle vaut ! La série des inverses des nombres premiers est divergente.

On peut montrer un résultat beaucoup plus fort à savoir que est équivalent à où désigne le n-ième nombre premier.

Cordialement,

[invitec053041c]

Bonsoir.
Je doute qu'il y ait une formule du terme général de cette suite... D'autant plus que lorsque l'on tient un nombre premier p, il est très difficile de savoir quel sera le prochain nombre premier.

[invite4ef352d8]

Elle diverge et la somme partielle est équivalente a ln(ln(n)).


en revanche je ne suis pas sur du Pn ~ n*ln n.

on a en effet Pn/(n*ln n) qui est borné et qui converge "en un certain sens vers 1" (par exemple en moyenne de Cesaro ca doit marcher...) mais ne je suis pas sur qu'on est une "vrai" convergence vers 1 de Pn/(n*ln n) vers 1... c'est le cas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[CM63]

Salut,

Et bien en fait elle vaut ! La série des inverses des nombres premiers est divergente.

On peut montrer un résultat beaucoup plus fort à savoir que est équivalent à où désigne le n-ième nombre premier.

Cordialement,

Elle est équivalente à n * ln(n) c'est ça? Ah oui la suite des nombres premiers.

Oui, en y réfléchissant, la série des inverses des nombres premiers doit être divergente, puisqu'on doit pouvoir l'exprimer en fonction de la série harmonique, qui est divergente.

Merci, IceDL.

Bon je vais chercher une série convergente qui fait intervenir les nombres premiers. Eh bien voilà : la somme des inverses des carrés des nombres premiers. Combien elle vaut?

[invite4ef352d8]

"puisqu'on doit pouvoir l'exprimer en fonction de la série harmonique, qui est divergente."


c'est un peu plus compliqué que ca en fait... mais en tres gors, on exprime la somme des ln(1-1/p) en fonction du logaritme de la serie harmonique (meme si ce n'est pas exactement ca, mais c'est de la que viens le ln (ln(n))... )


sinon la somme des 1/p² elle vaut... la somme des 1/p² ! on peut en calculer une valeur numérique... a vu de nez je dirais au tour de 1.45...

accesoirement, ca vaut aussi :

Somme des mu(k)/k*ln(Zeta(2k)), pour k allant de 1 a +infinit.

ou mu désigne la fonction de mobius
et Zeta la fonction Zéta de rieman
sachant que les Zeta(2k) s'exprime en terme de nombre de Bernouilli, ca donne une formule peut-etre un peu plus efficace pour le calcule : la convergence est géométrique de raison 1/4... contre une convergence en 1/n pour la première formule...



en revanche si tu veux des jolie somme de nombre premier, la somme des ln(1-1/p²) elle vaut ln(6)-2ln(Pi) (ou encore -ln(Pi²/6)...)

[CM63]

Merci pour ta réponse. En effet le résultat n'est pas simple, pusiqu'il fait intervenir d'autres fonctions définies par des intégrales.

Prenons autre chose :

u₀ = 1 , u₁ = 1 , u_n = u_n-1 + u_n-2 (suite de Fibonacci).

Combien vaut la somme des inverses de ses termes?

[invitedef78796]

Elle diverge et la somme partielle est équivalente a ln(ln(n)).


en revanche je ne suis pas sur du Pn ~ n*ln n.

Si à priori c'est le théorème des nombres premiers ; si tu veux (mais c'est équivalent), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à est équivalent à .

D'ailleurs si tu utilise l'équivalent , tu retrouves la divergence de la serie en question (c'est le cas limite des séries de Bertrand).

Cordialement,

[invite4ef352d8]

pareil, il y a pas grand chose à en dire, la valeur ne de la somme ne s'exprime pas en terme de fonction usuelle, tous ce qu'on peut faire c'est en donner d'autre expressions (aussi sous forme de sommes infinit).

[invitedef78796]

Merci pour ta réponse. En effet le résultat n'est pas simple, pusiqu'il fait intervenir d'autres fonctions définies par des intégrales.

Prenons autre chose :

u₀ = 1 , u₁ = 1 , u_n = u_n-1 + u_n-2 (suite de Fibonacci).

Combien vaut la somme des inverses de ses termes?

Là pour le coup chacun des termes de la suite se calcule explicitement et la série des inverses converge (équivalence au terme général d'une suite géométrique de raison inféreiure à 1) mais pour calculer la somme des inverses c'est non-trivial.

Je crois qu'on a réussi à démontrer que cette somme est un nombre irrationnel (il y a même un livre là-dessus cf. google : http://www.springerlink.com/content/ceukmkdkq26gbthv/ je ne sais pas de quel niveau c'est).

[CM63]

Ah! Tu me rassures. J'étais parti pour chercher l'expression du terme général en fonction du nombre d'or et de l'inverse de son opposé...

Je vais regarder ton lien.

[CM63]

Irrationnel, d'accord, mais peut-être algébrique tout de même? Je chercherai une expression en fonction du nombre d'or.

Sinon, vous pouvez toujours chercher aussi :

S = 1 + 1/u₂ + 1/u₂u₃ + 1/u₂u₃u₄ + ... , où u_n est encore le terme général de la suite de Fibonacci.

En attendant, je verrai cela demain.

[invite4ef352d8]

euh... y a pas une expression du produit de terme succesif d'une suite récurente linéaire ?

[invite986312212]

Je crois qu'on a réussi à démontrer que cette somme est un nombre irrationnel (il y a même un livre là-dessus cf. google : http://www.springerlink.com/content/ceukmkdkq26gbthv/ je ne sais pas de quel niveau c'est).

en fait c'est juste un article de 6 pages d'un certain Daniel Duverney, je viens de regarder rapidement, ça a l'air élémentaire (pas de références à des concepts ésotériques)

[CM63]

Ok, je reprendrai la suite de Fibonacci sur un autre fil, nous nous sommes un peu égarés.

Reprenons la sommes des inverses des nombres premiers. Si je prends la série alternée, elle doit être convergente, puisque (je cite le théorème) :
- elle est alternée,
- la suite de la valeur absolue de son terme général décroit et tend vers 0.

D'ailleurs je n'ai jamais compris pourquoi on disait "décroit et tend vers 0". Vous pouvez me donner un exemple de suite positive qui tende vers 0 sans décroitre? Et dont la série alternée diverge?

Bon donc, à quoi est égal :

S = 1 -1/2 + 1/3 - 1/7 + 1/11 - ... + (-1)⁽ⁿ⁺¹⁾/p_n , où p_n est n^ième nombre premier ?

[invite4ef352d8]

Pour le contre exemple c'est assez simple :

la suite Un qui vaut 0 pour n impaire et 1/n pour n paire !

elle est positive tend vers 0, mais la somme des (-1)^n*Un diverge.


quand a la somme des (-1)^n/Pn, c'est toujour pareil, on peut rien en dire ! (mis a part qu'elle converge vers un réel qu'on peut calculer numériquement, mais dont il n'y a vraissemblablement aucune expression à donné... enfin en tous cas aucune expression connu...)

[CM63]

Pour le contre exemple c'est assez simple :

la suite Un qui vaut 0 pour n impaire et 1/n pour n paire !

elle est positive tend vers 0, mais la somme des (-1)^n*Un diverge.

Fuuuuu! (y'a pas de smily pour siffler!) Alors là pardon! Tu m'en bouches un coin! MOsieur Ksilver! Que ne déroulé-je le tapis pour toi?!

Oui bon ben je n'avais pas réalisé. Ok

Dommage qu'il n'y ait pas d'expression simple pour la somme des inverses des nombres premiers. Je ne repars pas battu