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La somme des inverses des carrés



  1. #1
    martini_bird

    La somme des inverses des carrés


    ------

    Bonjour à tous,

    une superbe identité dû à Euler est la suivante:



    La première question est: comment démontre-t-on ce résultat?
    Mais ce qui m'intéresse surtout, c'est: connaissez-vous des démonstrations originales?

    En effet, il y a deux méthodes archi-connues, à savoir:
    1) la deuxième démonstration d'Euler (la première n'étant pas rigoureuse) qui est fondée sur le développement de la cotangente en série entière de deux façons différentes (d'un part à l'aide des nombres de Bernoulli, d'autre part à l'aide des * )

    2) Le développement en série de Fourier de la fonction x->x² sur ]-pi, pi[

    Je vais regarder dans mes archives car je crois me rappeler d'une autre méthode... Suite aux prochains posts, et surtout n'hésitez-pas si dans votre vie de taupin (ou dans une autre vie ) vous avez vu des approches différentes!

    Merci d'avance!

    PS: Pour ceux qui sont intéressés, je peux détailler les démonstrations sus-exposées.

    * La fonction est la fonction définie sur le demi-plan {Re(s)>1} par

    Plus de détail ici

    -----

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  3. #2
    matthias

    Re : La somme des inverses des carrés

    Citation Envoyé par martini_bird
    2) Le développement en série de Fourier de la fonction x->x² sur ]-pi, pi[
    c'est pas x -> x ?

    Pour la première, je veux bien plus d'infos

  4. #3
    C.B.

    Re : La somme des inverses des carrés

    De mémoire, il y a une démonstration avec des intégrales (on peut transformer cette somme infinie en intégrale infinie). Cette démonstration doit pouvoir se trouver dans de nombreux livres d'exercices de prépa

  5. #4
    Lord

    Re : La somme des inverses des carrés

    Soit Pn l'unique polynôme tel que
    Pn(cotan(t)^2)=sin((2n+1)t)/sin(t)^(2n+1)
    (Pour le calculer, utiliser la formule de Moivre pour développer sin((2n+1)t) )

    Ses racines sont les x_k=cotan(k.pi/(2n+1))^2
    On obtient x1+..+xn=n(2n-1)/3

    De plus pour t entre 0 et pi/2: cotan(t)^2<=1/t^2<=1+cotan(t)^2

    D'où ....
    Suis-je Amour le Phébus, Lusignon ou Biron ?

  6. #5
    martini_bird

    Re : La somme des inverses des carrés

    Citation Envoyé par matthias
    c'est pas x -> x ?

    Pour la première, je veux bien plus d'infos
    Ben non, car avec x->x tu ne fais apparaître que "n" au dénominateur et pas "n²".
    Avec x², tu obtiens la formule:



    et il ne reste plus qu'à faire x=pi.

    Bien à toi.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : La somme des inverses des carrés

    f(x) -> x sur ]-pi;pi] périodique ...
    La formule de Parseval donne bien le résultat demandé

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  10. #7
    Colas

    Re : La somme des inverses des carrés


  11. #8
    martini_bird

    Re : La somme des inverses des carrés

    Citation Envoyé par matthias
    f(x) -> x sur ]-pi;pi] périodique ...
    La formule de Parseval donne bien le résultat demandé
    You're right, je n'avais pas pensé à Parseval.

  12. #9
    matthias

    Re : La somme des inverses des carrés

    Citation Envoyé par martini_bird
    You're right, je n'avais pas pensé à Parseval.
    J'ai pas de mérite, c'est textuellment mon cours de Spé

  13. #10
    Quinto

    Re : La somme des inverses des carrés

    Par les résidus ca se fait bien si je ne me trompe pas...
    Reste a retrouver la fonction qui marche, il me semble cotan(x)/Pix^2, ou quelque chose qui y ressemble, je rechercherai...

  14. #11
    martini_bird

    Re : La somme des inverses des carrés

    Salut,

    c'est ça au coefficient près. C'est la preuve 8 dans le pdf de Colas.

  15. #12
    Eric78

    Re : La somme des inverses des carrés

    Citation Envoyé par martini_bird
    You're right, je n'avais pas pensé à Parseval.
    Au passage, Parseval appliqué à x->x^2 donne la formule sigma(1/k^4)=pi^2/90.
    (cf le sujet d'aujourdhui des CCP )
    Pour un TPE sur la cryptographie ou les trous noirs, allez voir mon profil.

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  17. #13
    miklmikl

    Re : La somme des inverses des carrés

    Citation Envoyé par Lord Voir le message
    Soit Pn l'unique polynôme tel que
    Pn(cotan(t)^2)=sin((2n+1)t)/sin(t)^(2n+1)
    (Pour le calculer, utiliser la formule de Moivre pour développer sin((2n+1)t) )

    Ses racines sont les x_k=cotan(k.pi/(2n+1))^2
    On obtient x1+..+xn=n(2n-1)/3

    De plus pour t entre 0 et pi/2: cotan(t)^2<=1/t^2<=1+cotan(t)^2

    D'où ....

    Pourrais tu expliquer clairempent comment tu établis ce résultat stp ???
    Merci, c'est très urgent !!!!!!
    Merci d'avance

  18. #14
    Electrofred

    Re : La somme des inverses des carrés

    J'avais lu sur un vieux topic de ce forum (que je ne retrouve plus)qu'on pouvait démontrer la limite de cette série uniquement avec une décomposition en éléments simples et les formules de duplication de trigo.
    Mais personne n'a indiqué comment faire. Je suppose que cette démonstration, si elle existe, est très astucieuse, étant donné que les outils utilisés sont relativement simples.
    Si vous pouvez m'éclairer je suis intéressé.

    Merci d'avance.

  19. #15
    God's Breath

    Re : La somme des inverses des carrés

    Bonjour,

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Mais ce qui m'intéresse surtout, c'est: connaissez-vous des démonstrations originales?
    Sans aucune originalité, voici une compilation de 14 preuves.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  20. #16
    -Zweig-

    Re : La somme des inverses des carrés

    Salut,

    miklmikl : Voir mon corrigé, exercice 2 : http://www.uniontvdfrance.com/images...plexes_fin.pdf

  21. #17
    CM63

    Re : La somme des inverses des carrés

    En effet, très joli démonstration.

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