La somme des inverses des carrés

[martini_bird]

Bonjour à tous,

une superbe identité dû à Euler est la suivante:



La première question est: comment démontre-t-on ce résultat?
Mais ce qui m'intéresse surtout, c'est: connaissez-vous des démonstrations originales?

En effet, il y a deux méthodes archi-connues, à savoir:
1) la deuxième démonstration d'Euler (la première n'étant pas rigoureuse) qui est fondée sur le développement de la cotangente en série entière de deux façons différentes (d'un part à l'aide des nombres de Bernoulli, d'autre part à l'aide des ^* )

2) Le développement en série de Fourier de la fonction x->x² sur ]-pi, pi[

Je vais regarder dans mes archives car je crois me rappeler d'une autre méthode... Suite aux prochains posts, et surtout n'hésitez-pas si dans votre vie de taupin (ou dans une autre vie ) vous avez vu des approches différentes!

Merci d'avance!

PS: Pour ceux qui sont intéressés, je peux détailler les démonstrations sus-exposées.

* La fonction est la fonction définie sur le demi-plan {Re(s)>1} par

Plus de détail ici
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[matthias]

2) Le développement en série de Fourier de la fonction x->x² sur ]-pi, pi[

c'est pas x -> x ?

Pour la première, je veux bien plus d'infos

[C.B.]

De mémoire, il y a une démonstration avec des intégrales (on peut transformer cette somme infinie en intégrale infinie). Cette démonstration doit pouvoir se trouver dans de nombreux livres d'exercices de prépa

[invitec7b3f097]

Soit Pn l'unique polynôme tel que
Pn(cotan(t)^2)=sin((2n+1)t)/sin(t)^(2n+1)
(Pour le calculer, utiliser la formule de Moivre pour développer sin((2n+1)t) )

Ses racines sont les x_k=cotan(k.pi/(2n+1))^2
On obtient x1+..+xn=n(2n-1)/3

De plus pour t entre 0 et pi/2: cotan(t)^2<=1/t^2<=1+cotan(t)^2

D'où ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

c'est pas x -> x ?

Pour la première, je veux bien plus d'infos

Ben non, car avec x->x tu ne fais apparaître que "n" au dénominateur et pas "n²".
Avec x², tu obtiens la formule:



et il ne reste plus qu'à faire x=pi.

Bien à toi.

[matthias]

f(x) -> x sur ]-pi;pi] périodique ...
La formule de Parseval donne bien le résultat demandé

[invite9b7da66e]

http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/etc/zeta2.pdf

[martini_bird]

f(x) -> x sur ]-pi;pi] périodique ...
La formule de Parseval donne bien le résultat demandé

You're right, je n'avais pas pensé à Parseval.

[matthias]

You're right, je n'avais pas pensé à Parseval.

J'ai pas de mérite, c'est textuellment mon cours de Spé

[Quinto]

Par les résidus ca se fait bien si je ne me trompe pas...
Reste a retrouver la fonction qui marche, il me semble cotan(x)/Pix^2, ou quelque chose qui y ressemble, je rechercherai...

[martini_bird]

Salut,

c'est ça au coefficient près. C'est la preuve 8 dans le pdf de Colas.

[invite3f53d719]

You're right, je n'avais pas pensé à Parseval.

Au passage, Parseval appliqué à x->x^2 donne la formule sigma(1/k^4)=pi^2/90.
(cf le sujet d'aujourdhui des CCP )

[invitedb90e3ad]

Soit Pn l'unique polynôme tel que
Pn(cotan(t)^2)=sin((2n+1)t)/sin(t)^(2n+1)
(Pour le calculer, utiliser la formule de Moivre pour développer sin((2n+1)t) )

Ses racines sont les x_k=cotan(k.pi/(2n+1))^2
On obtient x1+..+xn=n(2n-1)/3

De plus pour t entre 0 et pi/2: cotan(t)^2<=1/t^2<=1+cotan(t)^2

D'où ....

Pourrais tu expliquer clairempent comment tu établis ce résultat stp ???
Merci, c'est très urgent !!!!!!
Merci d'avance

[invitea250c65c]

J'avais lu sur un vieux topic de ce forum (que je ne retrouve plus)qu'on pouvait démontrer la limite de cette série uniquement avec une décomposition en éléments simples et les formules de duplication de trigo.
Mais personne n'a indiqué comment faire. Je suppose que cette démonstration, si elle existe, est très astucieuse, étant donné que les outils utilisés sont relativement simples.
Si vous pouvez m'éclairer je suis intéressé.

Merci d'avance.

[God's Breath]

Bonjour,

Mais ce qui m'intéresse surtout, c'est: connaissez-vous des démonstrations originales?

Sans aucune originalité, voici une compilation de 14 preuves.

[invite2220c077]

Salut,

miklmikl : Voir mon corrigé, exercice 2 : http://www.uniontvdfrance.com/images...plexes_fin.pdf

[CM63]

En effet, très joli démonstration.