Bonjour,
Voici un problème qui me tracasse :
je ne vois pas pourquoi Pi intervient dans la formule
somme(1/k^2,k=1..infini)=(Pi^2)/6
En quoi le rapport du périmètre d'un cercle et de son diamètre est-il lié à la somme des carrée des inverses ?
Quelqu'un a t'il une interprétation géométrique ?
Salut,
tu peux essayer de regarder ce fil et en particulier le doc au message #7. La somme des inverses des carrés est en fait reliée au développement de la cotangente.
Sinon,est une grandeur universelle qui intervient quasiment partout en mathématiques (voir par exemple l'aiguille de Buffon).
Cordialement.
J'aimerai bien trouver une interprétation géométrique du genre 2*somme(k,k=1..n)=n(n+1) (nombre de points dans un maillge rectangulaire de côté n et n+1 ), ou somme(k^2,k=1..n)=6*n(n+1)(2*n +1) (parallélepilpède maillé, de côté n,n+1 et 2n+1, qu'on décompose en 6 pyramides se rejoignant au centre, ayant chacune à mon avis le même nombre de points).
J'ai essayé de faire une interprétation géo de la formule et la seule chose que j'ai trouvé c'set que on peut l'écrire sum(1/(Pi*k^2))=Pi/6.
Or 1/(Pi*k^2) étant l' aire de la base d 'un cylindre de rayon k, on peut voir 1/(Pi*k^2) comme la hauteur d'un cylindre de volume 1. En empilant tous ces cylindres, on obtient le périmètre du cercle de rayon 1/6....Mais je ne vois pas comment tous ces cylindres donnent le périmètre d' un cercle ...As-tu une autre idée ?
Je pense que martini_bird voulait te dire justement qu'il ne fallait pas considérer
Il ne faut donc pas chercher de rapport...
C'est comme si tu cherchais le rapport entre le nombres de dents que tu as dans la bouche et la largeur du bus d'adresses de ton microprocesseur (=32 dans les 2 cas)
(désolé pour l'exemple pourri, j'ai pas trouvé mieux)
Au risque de raconter n'importe quoi... !
Comme le disent g_h et martini_bird, il n'y a pas de rapport direct avec le cercle.
Le fait que
Julien
Ca ne signifie pas qu'on ne peut pas trouver d'interprétation géométrique. Par contre le fait que PI soit élevé au carré ne plaide pas pour la simplicité d'une éventuelle construction géométrique illustrant ce résultat.Envoyé par 09Jul85
Bonjour, merci pour ton lien.Salut,
Sinon,
Pourrait-tu me présenter brièvement en quoi consiste l' "aiguille de Bufon"?
Salut,
L'aiguille de Buffon consiste à jeter une aiguille sur un réseau de lignes parallèles régulièrement espacées. On peut montrer que, si l'aiguille est plus courte que l'espacement entre deux lignes, la probabilité que l'aiguille coupe une ligne dépend de
Buffon a imaginé cette expérience: on laisse tomber une aiguille de longueur k<1 cm sur un sol rayé dont les lignes (droites et supposées très fines) sont espacées d'un centimètre. La probabilité pour que l'aiguille chevauche une ligne vaut
Voici une apparition inattendue du nombre
Cordialement.
[EDIT]Grillé par Coincoin...
Et en plus ma formule elle est mieux : je suis pas obligé d'exprimer k en cm, espèce de matheux ![EDIT]Grillé par Coincoin...
Pour une fois que j'essayais de simplifier la chose en lui donnant un aspect physique concret!Et en plus ma formule elle est mieux : je suis pas obligé d'exprimer k en cm, espèce de matheux !
Vilain canard!
Le physicien aurait dit que k était le rapport des longueurs. Faut être chimiste pour croire que 1 cm=1 et qu'on peut l'enlever de la formule... Et normalement, le matheux ne parle pas de centimètre, ce concept ne lui est pas du tout familier. Bref, fin du hors-sujet...Pour une fois que j'essayais de simplifier la chose en lui donnant un aspect physique concret!
merci bcp pour toutes vos explications.
Je ne sais pas comment on démontre proprement la formule de proba pour l'aiguille de Buffon, mais je me demande si dans ce cas la on ne peut pas trouver une interprétation géométrique de la présence de Pi. Désolé pour le manque de rigueur qui va suivre, je pense qu'il y a pleins de trucs faux, mais bon, je vous dit ce qui m'est passé par la tête.
Je décompose une bande en une infinité de cercles tangents à 2 bandes succesives, donc de diamètre Pi*d/2. ( je sais ca commence mal...)
Je me dis que pour trouver la probabilité il suffit de trouver la probabilité qu'une aiguille lancée sur un de ces cercles coupe le point tangent du haut (celui du bas correspondant à l bande située en dessous)
Je considère une certaine orientation d'aiguille.
Je discrétise l'aiguille de longueur l en l points et le cercle en Pi*d/2 points.
En un point donné l'aiguille a l solution pour se placer.
Or seul 2/(Pi*d) de ces points correpondent à un point d'intersection. La probabilité pour cette orientation donné est donc de 2l/(Pi*d), égale pour toutes les orientations, donc on a la même formule dans le cas géneral.
Qu'en pensez-vous ?
Pi ne serait pas par ailleur le rapport de la longueur d'un fleuve et de la distance à vol d'oiseau de l'embouchure jusqu'à la source ?
a+
Certains voient PI et le nombre d'or partout.
C'est généralement proche de 3, de la à y trouver PI ...
