Nombres transfinis et HC

[invite21126052]

mais d'ailleurs, est-ce que dire qu'un nombre est infini a un sens? (je ne parle pas du développement décimal!) ??

un ensemble constitué d'une infinité d'éléments, ok, mais un nombre infini?
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[martini_bird]

mais d'ailleurs, est-ce que dire qu'un nombre est infini a un sens? (je ne parle pas du développement décimal!) ??

un ensemble constitué d'une infinité d'éléments, ok, mais un nombre infini?

C'est la théorie des nombres transfinis de Cantor: puisque l'on peut voir les entiers naturels comme les cardinaux des ensembles finis, il est naturel de considérer les cardinaux des ensembles infinis. Par exemple, est le cardinal de tout ensemble équipotent à IN.

Mais tu t'en doutes ces nombres ont des propriétés singulières ( ou et même ).

Cordialement.

[invite21126052]

ah oui, effectivement, j'en avais déjà très vaguement entedu parler...
et , ce serait pas le cardinal de IR?

en tout cas, je ne savais pas qu'ils avaient un statut de nombre... j'y avais jamais vraiment réfléchi en fait!

merci bien pour ces précisions...

[martini_bird]

et , ce serait pas le cardinal de IR?

Celà s'appelle l'hypothèse du continu: IR est-il le plus petit ensemble infini qui ne puisse être mis en bijection avec IN?

C'est un problème indécidable: on pourrait poser que le cardinal de IR vaut sans que celà entraîne de contradiction logique.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Celà s'appelle l'hypothèse du continu: IR est-il le plus petit ensemble infini qui ne puisse être mis en bijection avec IN?

C'est un problème indécidable: on pourrait poser que le cardinal de IR vaut sans que celà entraîne de contradiction logique.

Cordialement.

Salut martini, juste une petite question pour me rassurer : est bien le cardinal de n'est-ce-pas ?

[martini_bird]

Salut martini, juste une petite question pour me rassurer : est bien le cardinal de n'est-ce-pas ?

Désolé, mais on peut mettre en bijection avec l'ensemble des applications de IN dans {0,1} (en utilisant les fonctions caractéristiques).
Or le développement binaire des nombres réels nous donnent (presque*) une bijection de IR (ou ]0,1[ si tu préfères) dans .

Ainsi est en bijection avec IR et l'hypothèse du continu revient à l'égalité .

L'hypothèse continu généralisée s'écrit d'ailleurs .

Cordialement.

* presque, car par exemple 0,0111...=0,1. Un petit passage au quotient résoud le problème.

[Gwyddon]

Beuh...

Ok je me disais bien que ça n'allait pas après avoir posté ce message, à cause des dvts des réels....

Bon cela me fait poser une seconde question : est le cardinal de quel ensemble ??

Parce que à la base, quand j'ai écris (à tort) que , je pensais au théorème de Cantor sur les ensemble infinis. Puisque , je pensais (à tort !) que le suivant était, avec ce théorème, pour ...

Quelques éclaircissements seraient donc la bienvenue

[martini_bird]

est le cardinal du plus petit ensemble infini non-dénombrable.
Comme tu dis, il est naturel de penser que P(IN) (ou IR) est le meilleur candidat pour jouer ce rôle (et Cantor a tenté toute sa vie de le montrer).
Mais c'est indécidable: on ne peut pas déterminer |P(IN)| sans introduire un nouvel axiome...

Cordialement.

[matthias]

Existe-t'il des théories mathématiques (ou même juste quelques théorèmes remarquables) s'appuyant sur l'hypothèse du continu (ou l'inverse) ?

[martini_bird]

Existe-t'il des théories mathématiques (ou même juste quelques théorèmes remarquables) s'appuyant sur l'hypothèse du continu (ou l'inverse) ?

L'hypothèse du continu est visiblement très utile pour la théorie de la continuité automatique dans les algèbres de Banach (sous quelles conditions sur les algèbres de Banach A et B un homomorphisme est continu?). J'ai trouvé ceci où il est même fait usage sur la fin de l'hypothèse du continu généralisée.
Esterle et Dales ont aussi montré grâce à HC l'existence d'homomorphismes discontinus. Cependant, je ne connais pas bien cette théorie... Essayez google.

Je vous invite, même si ce n'est pas tout à fait à propos de HC, à lire cette article sur l'infini mathématique.
Il y a aussi le théorème de Goodstein, qui est un bel exemple, concret de surcroît, de théorème indémontrable dans l'axiomatique de Peano.

Cordialement.

PS: je scinde la discussion, puisque l'on s'éloigne franchement de la question d'ourartou.

[invitea77054e9]

J'ai une petite question par rapport à la dénombrabilité:
Si on considère une famille finie d'ensembles dénombrables, alors leur produit cartésien est dénombrable, mais qu'en est-il si on considère, par exemple, le produit cartésien d'un ensemble dénombrable par un ensemble non dénombrable? Est-il dénombrable?

[martini_bird]

J'ai une petite question par rapport à la dénombrabilité:
Si on considère une famille finie d'ensembles dénombrables, alors leur produit cartésien est dénombrable, mais qu'en est-il si on considère, par exemple, le produit cartésien d'un ensemble dénombrable par un ensemble non dénombrable? Est-il dénombrable?

Prenons pour fixer les idées le produit IRxIN: s'il était dénombrable, IR le serait aussi!

On doit d'ailleurs pouvoir démontrer qu'étant donné un produit cartésien fini, le cardinal du produit est celui du plus "gros" facteur.

Cordialement.

[Gwyddon]

Prenons pour fixer les idées le produit IRxIN: s'il était dénombrable, IR le serait aussi!

On doit d'ailleurs pouvoir démontrer qu'étant donné un produit cartésien fini, le cardinal du produit est celui du plus "gros" facteur.

Cordialement.

Par exemple (corrigez-moi si c'est faux !) en injectant ce facteur dans le produit cartésien, du genre :

Si A est le plus "gros" facteur, on introduit

[C.B.]

Beuh...

Ok je me disais bien que ça n'allait pas après avoir posté ce message, à cause des dvts des réels....

Bon cela me fait poser une seconde question : est le cardinal de quel ensemble ??

Tu voudrais que l'on "exhibe" un ensemble particulier de cardinal ?

Si c'est bien cela ta question, on démontre trivialement à partir de la théorie des ordinaux que l'ensemble des bons ordres sur est de cardinal .

Parce que à la base, quand j'ai écris (à tort) que , je pensais au théorème de Cantor sur les ensemble infinis. Puisque , je pensais (à tort !) que le suivant était, avec ce théorème, pour ...

Quelques éclaircissements seraient donc la bienvenue

Dans la théorie des ensembles, il y a un certain nombre de problèmes "indécidables" (on ne peut ni les prouver ni prouver leur négation).
La formule est indécidable.

Existe-t'il des théories mathématiques (ou même juste quelques théorèmes remarquables) s'appuyant sur l'hypothèse du continu (ou l'inverse) ?

Certains résultats de théorie des modèles utilisent l'hypothèse généralisée du continu. Mais je ne saurais pas donner plus de détails.

Prenons pour fixer les idées le produit IRxIN: s'il était dénombrable, IR le serait aussi!

On doit d'ailleurs pouvoir démontrer qu'étant donné un produit cartésien fini, le cardinal du produit est celui du plus "gros" facteur.

Cordialement.

En effet, pour cela il suffit de montrer que si A est infini alors pour tout k fini A^k est en bijection avec A.
Il suffit même de le démontrer pour k=2

Pour le démontrer on considère l'ensemble E des parties J de A telles qu'il existe une surjection de J sur J*J

Par le théorème de Zorn, l'ensemble E admet un élément maximal I.

Montrons que I est égal à A privé d'un nombre fini de points.

Par l'absurde : si A-I est infini, alors il existe une partie B dénombrable de A-I (conséquence l'axiome du choix).

Soit f1 une surjection de I sur I*I
Soit i un élément de I
Soit C et D deux parties de I dénombrables et disjointes (I ne peut pas être fini) ne contenant pas i.

Soit f2 une bijection de C sur B
Soit f3 une bijection de D sur B
Soit f4 une bijection de B sur B²

On définit g de la manière suivante :

g(x,i)=x
g(x,c)=(x,f2(x)) pour c appartenant à C
g(x,d)=(f3(x),x) pour d appartenant à D
Dans les autres cas g(x,y)=i

G est une surjection de I² dans
Soit h définit par :

h(x)=g(f1(x)) si x appartient à I
h(b)=f4(b) pour x appartenant à B.

h est surjective, ce qui contredit la maximalité de I.

On résout facilement le fait qu'il manque un nombre fini de point (en résolvant dans N, puis en considérant un sous ensemble dénombrable de I).

Remarque : Ce théorème nécessite l'axiome du choix, il ne peut pas être démontrer sans l'axiome du choix.

[C.B.]

J'ai oublié de préciser dans mon message précédent que du fait que l'on a une injection de A dans A^k et une surjection de A dans A^k, ces deux ensembles sont en bijection.

[C.B.]

C'est la théorie des nombres transfinis de Cantor: puisque l'on peut voir les entiers naturels comme les cardinaux des ensembles finis, il est naturel de considérer les cardinaux des ensembles infinis. Par exemple, est le cardinal de tout ensemble équipotent à IN.

Mais tu t'en doutes ces nombres ont des propriétés singulières ( ou et même ).

Cordialement.

Cantor utilise aussi les ordinaux.
En fait, les ordinaux sont plus simple à définir, et permettent de définir simplement les cardinaux (en utilisant l'axiome du choix).
Il est aussi possible de définir les cardinaux sans l'axiome du choix, auquel cas, on aura une définition plus complexe et non-équivalente.

Un ordinal est un ensemble bien ordonné. Les ordinaux vérifie la propriété suivante : Tout ensemble bien ordonné est isomorphe (pour l'ordre) à un seul et unique ordinal.

Ainsi les ordinaux permettent de caractériser les bons ordres.

munit de son ordre naturel est le plus petit ordinal, on le note

Des exemples d'ordinaux infinis :




Il faut noter que .

L'article de Wikipédia sur les nombres transfinis : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini

Une définitionn des ordinaux :
http://www.les-mathematiques.net/a/a/a/node3.php3

et on prolonge l'ordre de à en disant que est un élément maximum de .

A partir de là, en utilisant le théorème de Zermelo (tout ensemble est bien ordonnable) on peut en définir les cardinaux en disant que le cardinal d'un ensemble est le plus petit ordinal qui est en bijection avec ce cardinal.

[matthias]

Par le théorème de Zorn, l'ensemble E admet un élément maximal I.

On parle souvent d'axiome de Zorn. Tu parles de théorème. Dans quel système axiomatique est-ce un théorème ? Faut-il utiliser l'axiome du choix ou autre ?

[Gwyddon]

D'après mon cours de 1ere année, le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix. Du coup, si c'est ce dont C.B. parle, ce lemme est indémontrable sans l'axiome du choix (et vice-versa). Sinon, le "théorème de Zorn" est bien un théorème

[C.B.]

C'est cela : on retrouve cet énoncé sous plusieurs noms :
"Lemme de Zorn", "Théorème de Zorn" "Axiome de Zorn".

Le "Lemme de Zorn" est équivalent à l'axiome du choix, c'est pourquoi on parle parfois "d'axiome de Zorn".

Ce théorème dit que :
"Tout ensemble inductif admet un élément maximal"

Il peut être énoncé ous la forme suivante :
Si X est un ensemble ordonné tel que toute partie bien ordonnée de X admet un majorant, alors X admet un élément maximal.

[doryphore]

On l'utilise notamment pour démontrer le théorème de Krull sur les idéaux. En tout cas, c'est l'application la plus courante que j'en ai eu.

Si I est un idéal de A et I<A (inclus strictement) alors, il existe un idéal m de A tel que I<=m et m maximal.

[matthias]

Le "Lemme de Zorn" est équivalent à l'axiome du choix, c'est pourquoi on parle parfois "d'axiome de Zorn".

Ce théorème dit que :
"Tout ensemble inductif admet un élément maximal"

Il peut être énoncé ous la forme suivante :
Si X est un ensemble ordonné tel que toute partie bien ordonnée de X admet un majorant, alors X admet un élément maximal.

Il me semblait bien qu'il devait y avoir un rapport avec l'axiome du choix, mais je ne savais pas qu'ils étaient équivalents. Etant donné qu'il est très pratique (il me semble qu'on peut l'utiliser pour démontrer le théorème de Cauchy-Lipschitz sur les solutions maximales d'équa-diff rapidement), je vais essayer de trouver une démonstration de cette équivalence.
Si quelqu'un a un lien intéressant, qu'il n'hésite pas.

[Gwyddon]

On l'utilise notamment pour démontrer le théorème de Krull sur les idéaux. En tout cas, c'est l'application la plus courante que j'en ai eu.

Si I est un idéal de A et I<A (inclus strictement) alors, il existe un idéal m de A tel que I<=m et m maximal.

Autre application : tout espace vectoriel admet des bases. La démo est exactement la même (dans sa structure) que pour le théorème de Krull.

[doryphore]

Autre application : tout espace vectoriel admet des bases. La démo est exactement la même (dans sa structure) que pour le théorème de Krull.

On me l'avait honteusement caché en Sup...
C'est quoi la relation d'ordre ?

[C.B.]

On me l'avait honteusement caché en Sup...
C'est quoi la relation d'ordre ?

L'inclusion.
On applique le théorème à l'ensemble des familles libres de l'espace vectoriel.

[Gwyddon]

On me l'avait honteusement caché en Sup...

Cela ne m'étonne pas, le prof nous avait prévenu ce jour-là que c'était une journée "culturelle"

Il est bien évident que si je sors le lemme de Zorn le jour de l'oral, l'examinateur sort le bazooka (déjà qu'avec les espaces vectoriel quotients il le fait, alors que c'est déjà moins hors programme que Zorn...)

[doryphore]

L'inclusion.
On applique le théorème à l'ensemble des familles libres de l'espace vectoriel.

Merci.

Cela ne m'étonne pas, le prof nous avait prévenu ce jour-là que c'était une journée "culturelle"

Il y en a qui ont de la chance!!
Pour moi, c'était formatage concours... Rien de très motivant...