Nombres complexes

**luca** · 21/12/2005, 08h45

Bonjour tout le monde pendant les vacances, j'ai un devoir à rendre à faire sur les complexes mais je n'y comprend rien!

Sujet:
Pour tout nombre complexe z on pose:
P(z)=z³+2(1-racine(3))z² + 4(1-racine(3))z+8
Avec racine correspondant au racine carrée.

1a/ Montrer que ¨(z)=(z+2)(z²-2*racine(3)z+4)
1b/ Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P(z)=0

2/On considére les nombres complexes suivants:
Z0=-2
Z1=racine(3)-i
Z2=racine(3)+i

Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants:
Z0
Z1
Z2
Z1⁹
Z2¹⁹⁹⁷/Z0Z1

On donnera pour chaque nombre complexe son argument principal, c'est à dire l'argument élément de l'intervalle ]-pi ; pi]
On écrira les modules sous la forme: aⁿ avec n entier nturel et aréel positif.

Est ce que quelq'un peut m'aider s'il vous plait!

**Brikkhe** · 21/12/2005, 09h05

Tu n'espères qd meme pas qu'on va le faire à ta place?? non mais!

Tu as cherché j'imagine? Tu as donc du avoir quelques idées? Lesquelles?

@pluche!

PS: A la fin d'une question, on met un '?' et non un '!'...

**luca** · 21/12/2005, 09h35

Oui j'ai cherché!

Mais la premiére question a/ J'ai rien compris et pour la partie b/
je suis arrivé à 0=z³+2z²-2racine(3)z²-4racine(3)z+12
Mais je suis pas sur que se soit bon!

Aprés pour mettreen forme trigonométrique sa devrait aller mais celui qui me pose probléme c'est le calcul de Z2¹⁹⁹⁷/Z0Z1

Si on pouvait m'aider pour ces trois question, je pense que je pourrais m'en sortir aprés!

**Brikkhe** · 21/12/2005, 09h49

donc, pour la a...
Dans cette situation, il est souvent plus simple de partir de l'expression qu'on nous donne, ici:
P(z)=(z+2)(z²-2*racine(3)z+4)

Développes (z+2)(z²-2*racine(3)z+4) et regardes ce que tu obtiens...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ginkoTA** · 21/12/2005, 09h56

Envoyé par luca

$\text{[math]}$

1a/ Montrer que $\text{[math]}$

Comment montrer que ces deux polynomes sont égaux... tu n'as vraiment pas d'idée ?

[EDIT]... croisement avec Brikkhe...

**Brikkhe** · 21/12/2005, 10h02

en LaTex, c'est encore plus visible (pour moi en tout cas!

)

[EDIT#4] en meme temps, ici, la fonction n'est pas compliquée, partir de l'une ou de l'autre revient au même...[/EDIT]

**luca** · 21/12/2005, 10h10

Justement j'ai dévelloper (z+2)(z²-2*racine(3)z+4)
Et j'obtient
P(z)=z³-2*racine(3)z²+4z + 2z²-4*racine(3)z+8

Mais je n'en suis pas sur!

Aprés pour montrer que les deux polynome sont égaux, je pense qu'en mettant: polynome1=polynome2 et en résolvant comme un équation classique, sa doit être possible, mais la je vais pas le faire car je suis sur à 98% que mon dévelloppement et faux!

**ginkoTA** · 21/12/2005, 10h24

Ton développement est juste.
Tu n'as plus qu'à mettre ensemble tes facteurs en z², puis tes facteurs en z, pour arriver à ta première définition de P(x).

**Brikkhe** · 21/12/2005, 10h36

Ne le prends pas mal mais tu n'essayes pas et tu ne cherches pas plus loin que le bout de ton nez ("j'esssaye pas, je suis sur d'avoir faux")... tu n'y arriveras jamais si tu continu avec cette méthode!

**luca** · 21/12/2005, 11h48

P(z)=z3-2*racine(3)z²+4z + 2z²-4*racine(3)z+8

Alors j'ai factorisé mais je n'obtient pas le résultatvoulu :
P(z)=z3-2*racine(3)z²+4z + 2z²-4*racine(3)z+8
P(z)=z(z² - 2*racine(3)z + 4 - 4racine(3) + 4)
P(z)=(z+2)[z²-2racine(3)z + 2 - 4racine(3)]

Je n'arrive pas à me débarrassé de 4racine(3)
Donc si on pouvait me donner un truc pour pouvoir dévelloper sa serait bien! Merci d'avance!

invite43219988 · 21/12/2005, 12h34

P(z)=z3-2*racine(3)z²+4z + 2z²-4*racine(3)z+8
P(z)=z(z² - 2*racine(3)z + 4 - 4racine(3) + 4)
P(z)=(z+2)[z²-2racine(3)z + 2 - 4racine(3)]

Tu es quand même en train d'essayer de retrouver l'expression que tu as développée juste avant et pour couronner le tout tu n'y arrives pas !

P(z)=z3-2*racine(3)z²+4z + 2z²-4*racine(3)z+8
Là tu te débrouilles pour avoir quelque chose de la forme :
az^3+bz²+cz+d
et tu vérifies après que les coefficients correspondent bien à la forme donnée.

**ginkoTA** · 21/12/2005, 12h41

Bon... le calcul est en effet faux des la premiere ligne...
Une autre methode, si tu ne veux pas factoriser, consisterait à développer la première expression de P(x) et comparer les deux expressions.

**luca** · 21/12/2005, 12h44

déja je voudrait savoir si je pe ou non regorupé 2 et 2racine(3) si oui sa me simplifiré déja la vie!

**ginkoTA** · 21/12/2005, 12h46

Bien sûr !
$\text{[math]}$ .......
On va finir par y arriver !

**luca** · 21/12/2005, 12h54

Je vien de reprendre sa tranquillement
P(z)=z3-2*racine(3)z²+4z + 2z²-4*racine(3)z+8
P(z)=z3-2*racine(3)z²+2z²+4z-4*racine(3)z+8
P(z)=z3 -2(1-racine(3))z²+4(z-racine(3)z+8

Je croi que c'est bon puisque j'ai l'expression recherché!

Merci à tous je vais essayé la deuxiéme question maintenant!

**Brikkhe** · 21/12/2005, 13h04

Envoyé par ginkoTA

Bien sûr !
$\text{[math]}$ .......
On va finir par y arriver !

euh... j'ai un gros doute la!!

tu la tiens d'où la 1ere ligne dans ton message précédent?
(cad celle-ci: P(z)=z3-2*racine(3)z²+4z + 2z²-4*racine(3)z+8)

PS: tu as des signes différent dans l'équation que tu as par rapport à celle que tu veux obtenir au début... mais tu t'en moques, tu fais comme si de rien n'était... lol tu ferais un bon physicien!

**ginkoTA** · 21/12/2005, 13h07

Quelle première ligne ? (OK, merci)

Sinon, luca, il y a un probleme de signe sur ton calcul du #15

**Brikkhe** · 21/12/2005, 13h09

Envoyé par luca

Je vien de reprendre sa tranquillement
P(z)=z3-2*racine(3)z²+4z + 2z²-4*racine(3)z+8

celle-ci .

**luca** · 21/12/2005, 13h14

on veut P(z)=z3+2(1-racine(3))z² + 4(1-racine(3))z+8

en partant de:
P(z)=(z+2)(z²-2*racine(3)z+4)

je dévellope et j'obtien:
P(z)=z3-2*racine(3)z²+2z²+4z-4*racine(3)z+8

je factorise en faisant attention aux signe cette fois:
et je retrouve bien P(z)=z3+2(1-racine(3))z² + 4(1-racine(3))z+8

**ginkoTA** · 21/12/2005, 13h20

Bien. Plus qu'à passer au 1.b.

**Brikkhe** · 21/12/2005, 13h24

résoudre l'une revient à résoudre l'autre (puisque tu viens de montrer qu'elles étaient égales) donc résouds (z+2)(...) ce sera plus simple...

@pluche!

**luca** · 21/12/2005, 15h00

ok merci je vais essayer et je vous tiensau courants!

**luca** · 21/12/2005, 15h15

Alors(z+2)(z²-2racine(3)z+4)=0

il faut que:
z+2=0
z=-2

et
z²-2racien(3)z+4=0
z²-2racine(3)z=-4
z²-z=-4/(2racine(3))
z²-z=-4racine(3)/6
z-z=racine(-4racine(3)/6)
et donc la je suis bloqué j'aurais tendance à dire qu'il y a pas de solution mais je pense que c'est plutot une erreur de ma part!

**ginkoTA** · 21/12/2005, 15h21

Envoyé par luca

z²-2racine(3)z=-4
z²-z=-4/(2racine(3))
z²-z=-4racine(3)/6
z-z=racine(-4racine(3)/6)

?????? Tu t'es relu ???
Tu as un trinome du second degre. Tu n'as pas vu les discriminants ? (a priori si si tu travailles sur des complexes... alors utilise un discriminant !)

**luca** · 21/12/2005, 17h05

a oui exacte merci de me le faire remarquer!
Je suis incorigible la dessus, j'y pense jamais enfin en cours de math seulement!

**luca** · 21/12/2005, 17h28

delta=b²-4ac
delta=(2racine3)²-4*1*4
delta=12-16
delta=-4

j'tulise donc la formule des x avec i
D'ou:
x1=[-b+i*racine(delta)]/2a
x1=[-2racine(3)+i*racine(-4)]*2
x1=-2racine(3)/2 + 2i/2
x1=-racine(3)+i

x=[-b-i*racine(delta)]/2a
x1=[-2racine(3)-i*racine(-4)]*2
x1=-2racine(3)/2 - 2i/2
x1=-racine(3)-i

Je viens d'essayer de calculer les racines mais j'appéle sa du bricolge caril mesemble que dans une racine, on ne peut pas avoir de signe - mais je ne sais pas comment m'en débarassé.

**Brikkhe** · 21/12/2005, 18h23

c'est encore faux...

je confirme, tu es "incorrigible"!

-b ne fait pas $\text{[math]}$ puis que b= $\text{[math]}$ donc -b= $\text{[math]}$ ...

attendant ta prochaine erreur...

**ginkoTA** · 22/12/2005, 08h07

Envoyé par luca

x1=[-b+i*racine(delta)]/2a
x1=[-2racine(3)+i*racine(-4)]*2

Non, attention aux notations (au signe sur b aussi, mais je ne reviens pas dessus, ca a déjà était mentionné).
Tu as trouvé $\text{[math]}$ . A ta place, je n'écrirai pas $\text{[math]}$ , en effet, la notation racine est en principe sous entendue comme allant des réels dans les réels.
De plus, la racine de -4 est EGALE à 2i. Le mieux est donc de remplacer directement ta notation $\text{[math]}$ par 2i.

De plus, la formule que tu donnes en première ligne est fausse. Que $\text{[math]}$ soit positif ou négatif ne change rien et tu dois continuer à avoir :

Envoyé par luca, correction

$\text{[math]}$

Je te laisse reprendre... sans erreurs cette fois s'il te plaît... cours de maths ou pas cours de maths, un exo de maths reste un exo de maths...

invite43219988 · 22/12/2005, 09h37

De plus, la racine de -4 est EGALE à 2i.

J'aurais plutôt dit que c'est (2i)² qui est égal à -4

**Brikkhe** · 22/12/2005, 09h57

lol! il a dit la racine de -4 est EGALE à 2i

je crois qu'il y en a un qui aurait mieux fait de se taire...

@pluche!

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