des nombre ordinaux transfinis négatifs, est-ce que ça existe ?

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je n'ai rien trouvé sur wikipédia à ce sujet.

Est-ce que l'on ne pourrait pas former des nombres ordinaux tranfinis négatifs en modifiant le sens de l'écriture (et au prix je l'avoue d'une entourloupe qui m'échappe)

actuellement on a :

0 = {} (ensemble vide)
1 = {0} = { {} }
2 = {0,1} = { {}, { {} } }
3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }

pourrait-on écrire :

0 = {}
-1 = {0} = -{ {} } (c'est là qu'il y a l'entourloupe pour le signe négatif)
-2 = {1,0} = { { {} }, {} } = {0,-1} = { {}, -{ {} } } = - {0,1}
-3 = {2,1,0} = {{ {}, { {} } },{ {} } ,{}} ) = {0,-1,-2} = {{},-{ {} } ,{ {}, -{ {} } }}

? où est-ce complètement absurde ?
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[invite4ef352d8]

Bonsoir.

rien ne t'empeche de le faire, mais je vois vraiment pas à quoi ca pourait bien servir !

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Bonsoir.

rien ne t'empeche de le faire, mais je vois vraiment pas à quoi ca pourait bien servir !

j'ignore si c'est du solide (dans l'hypothèse où cette écriture est correcte) , ça reste très intuitif. J'ai dans l'idée qu'avec cette approche on pourrait retrouver toute ou partie de l'algèbre grace aux nombres tranfinis et peut être leur trouver une application en physique où l'on est souvent gèné par la notion d'infini :
par exemple avec -ω on pourrait peut être écrire -ω+ω=0 ou -ω+ω2=ω

[Médiat]

j'ignore si c'est du solide (dans l'hypothèse où cette écriture est correcte) , ça reste très intuitif. J'ai dans l'idée qu'avec cette approche on pourrait retrouver toute ou partie de l'algèbre grace aux nombres tranfinis et peut être leur trouver une application en physique où l'on est souvent gèné par la notion d'infini :
par exemple avec -ω on pourrait peut être écrire -ω+ω=0 ou -ω+ω2=ω

Tu vas avoir du mal à justfier que (1 + ω) - ω est différent de 1 + (ω - ω), quant à (ω + 1) - ω, je ne vois pas ce que cela peut être ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

rien ne t'empeche de construire des ordinaux négatif. en revanche avant de parler de soustraction d'ordinaux, il va falloir la définir et ce n'est pas du tous evident ca par contre, etant donné a qu'elle point l'addition des ordinaux n'est pas une bonne loi de composition : je te rapelle par exemple que 1+w=w, mais que w+1 est dfférent de w. difficile de construire une soustraction pertinente la dessus...

[invite4ef352d8]

Enfin je vois pas trop à quoi tu pense en algébre, mais si tu veux mon avi, les ordinaux ne sont pas du tous la notion d'infinit qui est pertinente en physique !
les cardinaux aurait déja un peu plus de sens. mais à priori c'est plutot la th des distributions qui donne les notions "d'infinit" les plus justes (bien sur ca dépend des situation physique...)

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Tu vas avoir du mal à justfier que (1 + ω) - ω est différent de 1 + (ω - ω), quant à (ω + 1) - ω, je ne vois pas ce que cela peut être ...

ça reste très fragile mais dans mon idée
(1 + ω) - ω = 0 ( <=> ω - ω ?)
(ω + 1) - ω = 1 ( <=> ω + 1 - ω = [ω + (- ω)] + 1 ... ce 1 "ne serait pas élément de ω dans ce calcul" ?)

rien ne t'empeche de construire des ordinaux négatif. en revanche avant de parler de soustraction d'ordinaux, il va falloir la définir et ce n'est pas du tous evident ca par contre, etant donné a qu'elle point l'addition des ordinaux n'est pas une bonne loi de composition : je te rapelle par exemple que 1+w=w, mais que w+1 est dfférent de w. difficile de construire une soustraction pertinente la dessus...

ça ne reste qu'une piste plus que vague : peut être que la soustraction porte seulement sur la partie interne de ω et sur ω lui même (le -ω)

[invite4ef352d8]

les ordinaux sont avant tous des ensembles bien ordoné, c'est à partir de la qu'on définit la somme, le produit et meme la division d'ordinaux. il faudrait trouvé une définition similaire de la soustraction, et je vois vraiment pas comment.

[Médiat]

ça reste très fragile mais dans mon idée
(1 + ω) - ω = 0

Et comme 1 + (ω - ω) = 1 + 0 = 1, tu as bien (1 + ω) - ω différent de 1 + (ω - ω), ce qui ne vas pas rendre les choses faciles.

(ω + 1) - ω = 1 ( <=> ω + 1 - ω = [ω + (- ω)] + 1 ... ce 1 "ne serait pas élément de ω dans ce calcul" ?)

L'addition des ordinaux consiste à ajouter le deuxième ordinal à la fin du premier, je peux comprendre que la soustraction retire le deuxième à la fin du premier, et je vois toujours pas ce que peut-être (ω + 1) - ω (par exemple), puisque le premier ne finit pas comme le second.

Bien sur, rien ne t'interdit de définir ne nouveaux ensembles à partir des ordinaux , et rien ne t'empèche de définir une nouvelle opération sur ces nouveaux ensembles, mais il faudrait une définiton formelle.

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Bien sur, rien ne t'interdit de définir ne nouveaux ensembles à partir des ordinaux , et rien ne t'empèche de définir une nouvelle opération sur ces nouveaux ensembles, mais il faudrait une définiton formelle.

comme je l'ai dit, ce n'est qu'une approche intuitive, d'ailleurs l'écriture proposée dans le premier post ne tient par la route. Tout ça manque effectivement de formalisme si il y quelque chose à gratter de ce coté là.

Merci pour vos réponses, je met le sujet en stand by.

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et je vois toujours pas ce que peut-être (ω + 1) - ω (par exemple), puisque le premier ne finit pas comme le second.

pour ce que je comprends des nombres transfinis (ω + 1) reviendrait à considérer un infini ω₁ à coté duquel on démarre un nouvel infini ω₂ d'où le signe + . Un peu comme si on considérait une droite ω₁ et que desous on faisait un segment de droite de direction ω₂=ω₁

si cette compréhension est correcte faire -ω repérsenterait l'opposé de la droite, il ne resterait alors que le segment

[Médiat]

pour ce que je comprends des nombres transfinis (ω + 1) reviendrait à considérer un infini ω₁ à coté duquel on démarre un nouvel infini ω₂ d'où le signe + . Un peu comme si on considérait une droite ω₁ et que desous on faisait un segment de droite de direction ω₂=ω₁

si cette compréhension est correcte faire -ω repérsenterait l'opposé de la droite, il ne resterait alors que le segment

D'abord une remarque : évite les indices sur ω car ils ont une signification "officielle" (ω₁ = ω et ω₂ est le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans ω).

Il est très facile de se représenter 1 + ω ou ω + 1 (il faut en profiter ce n'est pas toujours aussi simple), comme l'a rappelé Ksilver, les ordinaux sont des ordres (des bons ordres mêmes), il faut donc se les représenter comme tel.

Pour ω, c'est l'ordre qui correspond à IN : un plus petit élément, chaque élément a un successeur, chaque élément a un prédécesseur, sauf le plus petit.
1 + ω s'obtient en mettant un élément avant ceux de ω (comme si on ajoutait -1 à IN), on "sent" bien que du point de vue l'ordre on n'a rien changé : un plus petit élément, chaque élément a un successeur, chaque élément a un prédécesseur, sauf le plus petit. Pour le formaliser (pas très proprement puisque je vais utiliser IN et non ω, mais ce sera plus clair), l'application f : définie par f(n) = n + 1 est évidemment un isomorphisme de bons ordres.

Par contre pour ω + 1 on ajoute un élément après les éléments de ω, et là l'ordre est fondamentalement différent : il existe un plus grand élément (qui n'a donc pas de successeur) et il n'a pas de prédécesseur ! Il est donc impossible de trouver un isomorphisme de bons ordre entre ω et ω + 1 puisque l'image (ou l'image réciproque) du plus grand élément de ω + 1 devrait être un plus grand élément de ω qui n'en a pas.